Esta aula se insere em um bloco de três aulas que denominamos “Despoluição de um lago”, pertinentes ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemática inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC. As aulas pretendem organizar um ambiente provocador de aprendizagem e explorar as potencialidades pedagógicas da modelagem matemática. Nosso objetivo geral é abordar conteúdos como progressões geométricas, logaritmos, funções exponenciais, entre outros. Propomos uma atividade experimental como desencadeadora do processo, pois acreditamos que esse tipo de atividade possibilita momentos de reflexão e cooperação entre os alunos, além do aspecto lúdico e motivador que uma simulação permite desenvolver. Caso você tenha interesse em conhecer o bloco como um todo, as aulas estão organizadas na seguinte sequência: 1- "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático"; 2- "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos"; 3- "Despoluição de lagos: modelagem matemática, funções exponeciais e gráficos".

Nesta aula, o aluno poderá aprender conceitos matemáticos como progressão geométrica e logaritmo, a partir de dados obtidos em uma experimentação prática que simula a despoluição de um lago e do processo de modelagem matemática. Esses conceitos serão abordados de forma integrada e contextualizada. Assim, ele poderá perceber que, quando trabalhos deste modo, esses conceitos são ferramentas importantes e necessárias que contribuem para encontrarmos respostas para uma questão matemática que surge a partir de um problema concreto, nesse caso a despoluição de um lago.

Multiplicação de números racionais, medidas de volumes, utilização de tabelas para organizar dados, conhecimentos sobre variáveis dependentes e independentes, noções de logaritmo.

 Recomendamos que esta aula seja realizada após a aula “Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático”, também publicada no Portal, em que o experimento já foi realizado e o modelo matemático começou a ser construído através de uma fórmula que é a expressão de uma progressão geométrica.

Estratégia

•  Aula expositiva para a problematização da atividade prática e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos

Recursos

•  Roteiro para a realização do experimento “Simulando um lago em processo de despoluição” preenchido na aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático", também publicada no Portal

Atividades

Esta aula está dividida em três momentos. Em um primeiro momento o professor deve retomar o que foi realizado na aula anterior "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático" para situar os alunos e dar continuidade ao processo de modelagem matemática iniciado. No segundo momento, o professor irá levantar um problema que os alunos terão de resolver utilizando o modelo construído. O professor pode estimular que os alunos formulem hipóteses, fomentando o diálogo e a argumentação entre eles. Por fim, no terceiro momento da aula, o professor irá resolver o problema proposto junto com a turma, utilizando o modelo matemático e o logaritmo como ferramenta matemática para resolver um problema real: o problema da despoluição de um lago.

Comentário: Lembramos que a idéia de realizar as aulas "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático" e "Poluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos" é uma sugestão. No entanto, se você ainda não tiver realizado a aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático" com sua turma, o roteiro do experimento, bem como o estudo dirigido a ele associado, podem ser encontrados no Portal. Se esse for o seu caso, esteja atento, pois o tempo estimado para esta aula terá que ser maior.

Primeiro momento – Relembrando o experimento da aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático"

A primeira atividade desta aula consiste em uma recapitulação da atividade experimental realizada na aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático", bem como das discussões realizadas a partir da atividade prática de simulação da despoluição de um lago. Para essa recapitulação, sugerimos que o professor peça aos alunos que peguem o roteiro que receberam na aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático"  e que relembrem todas as etapas realizadas no experimento. Depois, o professor deve solicitar que os alunos observem as perguntas do roteiro que responderam e corrigiram.

Quando os alunos tiverem feito isso, o professor deve retomar as questões lembrando o que foi discutido. É importante que o professor comente a tabela a seguir, preenchida a partir do experimento:

Após apresentar a tabela preenchida, o professor deve relembrar a apresentar a equação recursiva encontrada, explicando que se a(n) é a quantidade de poluente no n-ésimo período de tempo, então:

a_n+1 = a_n – 1/5 a_n = 4/5 a_n,      n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

Para que os alunos compreendam o significado desta equação, o professor pode explicar novamente que se trata de uma equação recursiva, em que o termo seguinte a_n+1 pode ser calculado se conhecermos o termo anterior a_n. Deste modo, o conhecimento do primeiro termo (a quantidade inicial de poluente despejada) permite determinar todos os demais termos.

Utilizando esta equação, o professor pode retomar, escrevendo no quadro o procedimento passo a passo em que as expressões se “aninham” umas dentro das outras. Veja:

• a₁ = 200 mL
• a₂ = (1 - 1/5) a₁ =  (4/5) a₁  = 160 mL
• a₃ = (4/5) a₂ = (4/5) (4/5) a₁ = (4/5)² a₁ = 128 mL     
• a₄ = (4/5) a₃ = (4/5) (4/5)² a₁ =  (4/5)³ a₁  = 102,4 mL     
• a ₅ = (4/5) a₄ = (4/5) (4/5)³ a₁ =  (4/5)⁴ a₁ = 81,92 mL ...

Faça com que os alunos percebam o padrão e concluam que

a_n = (4/5)^n-1 a₁ ,     n = 1, 2, 3, ...

Assim, o professor chega ao momento em que a aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático" parou, quando a expressão do termo geral da progressão geométrica de razão 4/5 e termo inicial a(1) foi encontrada. É interessante que o professor explique o conceito de progressão geométrica e retome o comportamento gráfico dessa progressão, conforme o roteiro.

Além disso, o professor deve reforçar que esse é o modelo matemático que a turma construiu a partir da simulação da despoluição de um lago e que pode ser utilizado para compreender e fazer previsões acerca do processo de despoluição.

Comentário: Em muitos casos, a idéia de progressão geométrica é apresentada na escola como um conjunto de fórmulas (n-ésimo termo, soma dos n primeiros termos, etc.). Nesta aula estamos sugerindo que a idéia de progressão geométrica apareça como uma ferramenta necessária para obter uma resposta para uma questão matemática que surgiu a partir de um problema concreto.

Você deve ter observado que, de acordo com a natureza do nosso modelo, a quantidade de poluente em cada período de tempo é dada pela multiplicação da quantidade no período anterior por uma mesma constante.

Assim, no trabalho com a modelagem, partimos da coleta de dados e, para analisar esses dados, os conceitos matemáticos surgem como ferramentas necessárias, que ganham significado naturalmente.

Segundo momento – Levantamento de um problema e de hipóteses para solucioná-lo

O professor pode começar esse momento da aula propondo a seguinte reflexão:   

“Na aula passada nós concluímos que o lago nunca ficará totalmente despoluído. Por esta razão precisamos escolher um patamar aceitável de poluição. Imagine que no experimento que realizamos o lago só poderá ser considerado despoluído quando a quantidade de poluente for inferior a 1 mL. Quantos dias, no mínimo, deverão se passar, a partir da mesma situação inicial (200 mL de poluente), para que esse patamar seja atingido?”

Permita que os alunos reflitam sobre a questão e levantem hipóteses. Nesse momento é importante escuta-los e o professor pode anotar as hipóteses no quadro.

É importante que o professor oriente os alunos, permitindo que eles percebam uma diferença entre o problema levantado na aula anterior e o que está sendo levantado agora: não se quer mais saber quanto de poluente fica no lago, mas quanto tempo deve se passar para que o lago possa ser considerado despoluído. Em outras palavras, queremos determinar n e não a_n.

Terceiro momento – Resolvendo o problema: relação entre modelagem matemática e logaritmo

Para resolver o problema colocado para a turma, o professor pode ir anotando a solução no quadro a partir do diálogo com os alunos.

Inicialmente, o professor deve voltar ao modelo construído na aula anterior que é a expressão da progressão geométrica a_n = (4/5)^n-1. a₁,  n = 1, 2, 3, ... e explicar que, de acordo com o novo problema proposto, a_n < 1. Logo:

a_n = (4/5)^n-1 . 200 < 1 ,   ou seja  ,   (4/5)^n-1 < 1/200

Peça que os alunos observem que a variável n aparece no expoente de 4/5.  

Assim, explique para a turma que, para encontrar o valor desta variável, precisamos aplicar o logaritmo.

Explique que o logaritmo é uma função crescente e que, por isso, podemos aplicá-lo nos dois lados da inequação:

log (4/5)^n-1 < log (1/200)

Em seguida, podemos aplicar a propriedade de logaritmos log (a^b) = b . log(a)

(n-1) log (4/5) < log (1/200)

Para encontrar os valores de n que satisfazem a inequação acima precisamos dividir ambos os membros por log(4/5). Explique que, como (4/5) = 0,8 < 1, temos que log(4/5) < 0. Assim, o sinal da desigualdade deve ser invertido:

n-1 > log (1/200) / log (4/5)

Então, n deve satisfazer

n  > 1 + log (1/200) / log (4/5)

Com auxílio de uma calculadora, você pode conduzir que seus alunos cheguem a um resultado aproximado: n > 24,74398604. É importante chamar atenção dos alunos que este resultado é aproximado, pois uma calculadora sempre trabalha com aproximações. Assim, a quantidade de poluente será inferior a 1 mL somente quando tiverem  passado 25 dias a partir da descarga inicial de poluente.

Comentário:

Logaritmos são às vezes considerados como um dos pontos mais difíceis do Ensino Médio e também um dos mais distantes de aplicações, ainda que continue sendo uma das funções mais importantes da Matemática. Uma das contextualizações possíveis é o ensino de logaritmo dentro da modelagem matemática, como estamos propondo nesta aula.

Você deve ter percebido a importância e a utilidade do logaritmo para a resolução do problema anterior. Como já dissemos em outros momentos, os estudos com modelos matemáticos e simulações contextualizam, revelam a necessidade e enfatizam o poder das ferramentas matemáticas na resolução de problemas.

Assim, você pode mostrar para seus alunos que no processo de construção de um modelo matemático para estudar a despoluição de um lago, tivemos que resolver equações e inequações exponenciais. Para isso, o logaritmo foi bastante importante. Você pode comentar ainda que esse é apenas um exemplo da relevância dessa ferramenta matemática na atualidade e pode dar outros exemplos.

Ressalte ainda que, assim como ocorreu com a idéia de progressão geométrica, o logaritmo apareceu como uma ferramenta necessária para a solução do problema da despoluição. De fato, precisamos dele para resolver uma inequação exponencial, que permitiu encontrar o tempo transcorrido para que a quantidade de poluente atingisse um patamar aceitável.

Para ver mais aplicações das progressões geométricas e dos logaritmos, acesse um excelente vídeo da série Arte & Matemática:

• http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001156.mp4    

Para informações sobre despoluição de águas acesse:  

• http://www.estadao.com.br/noticias/geral,despoluicao-do-rio-tiete-entra-na-terceira-fase-em-sao-paulo,324591,0.htm   
• http://www.cetesb.sp.gov.br/Institucional/tiete/tiete.asp   A história do rio Tietê  (São Paulo - SP)  
• http://www.portalbaiadeguanabara.org.br/portal/exibe_sub.asp?id_sub=50 A história da Baía de Guanabara (Rio de Janeiro - RJ)

A avaliação desta aula pode ser feita através da análise das respostas às perguntas feias pelo professor. O professor pode avaliar o que os alunos aprenderam na aula anterior no momento de recapitular a aula "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático". Além disso, o professor pode avaliar o acompanhamento e o envolvimento dos alunos nas discussões. Pode ainda avaliar os alunos por meio das dúvidas e questões que surgirem.

O problema da despoluição apresentado nesta aula pode sofrer pequenas alterações para ser usado como parte de uma avaliação.