Esta aula se insere em um bloco de três aulas que denominamos “Despoluição de lagos”, pertinentes ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemática inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC. As aulas pretendem organizar um ambiente provocador de aprendizagem e explorar as potencialidades pedagógicas da modelagem matemática. Nosso objetivo geral é abordar conteúdos como progressões geométricas, logaritmos, funções exponenciais, entre outros. Propomos uma atividade experimental como desencadeadora do processo, pois acreditamos que esse tipo de atividade possibilita momentos de reflexão e cooperação entre os alunos, além do aspecto lúdico e motivador que uma simulação permite desenvolver. Caso você tenha interesse em conhecer o bloco como um todo, as aulas estão organizadas na seguinte sequência: 1- "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático"; 2- "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos"; 3- "Despoluição de lagos: modelagem matemática, funções exponenciais e gráficos".

Nesta aula, a partir de um experimento prático, os alunos terão a oportunidade de trabalhar com alguns tipos de gráficos pouco usuais no Ensino Médio. Partindo da análise gráfica, perceberão como as características das variáveis e do domínio determinam o tipo de gráfico da função. Em particular, abordaremos diferenças entre variáveis contínuas e discretas. Além disso, os alunos poderão perceber que progressões geométricas e funções exponenciais são facetas diferentes de uma mesma idéia: funções cuja variável independente está no expoente.

Utilização de tabelas para organizar dados, conhecimentos sobre variáveis dependentes e independentes, exponenciais e progressões geométricas.

Recomendamos que esta aula seja realizada após as aulas "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático" e "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos", também publicadas no Portal.  No entanto, ela poderá ser realizada, partindo apenas dos dados e leis elaborados anteriormente nessas aulas.

Estratégias

• Aula expositiva para a problematização da atividade prática e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos.   

Recursos

• Roteiro para a realização do experimento “Simulando um lago em processo de despoluição” preenchido na aula "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático", publicada no Portal.

Atividades

Esta aula está dividida em três momentos. Em um primeiro momento o professor deve retomar o que foi realizado nas aulas anteriores "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático" e "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos" para situar os alunos e dar continuidade ao debate acerca do processo de modelagem matemática iniciado. A partir dos dados obtidos nas aulas anteriores, teceremos um debate acerca de análises gráficas. Com esta análise poderemos conversar sobre funções discretas e contínuas, traçando uma interlocução entre a representação gráfica e algébrica.   

Comentário 1: Como este texto é destinado a alunos do ensino médio, estamos usando o termo “contínuo” com uma conotação coloquial, que não corresponde necessariamente ao sentido matemático formal do termo.   

Comentário 2: Lembramos que a idéia de realizar as aulas "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático" e "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos" é uma sugestão. No entanto, se você ainda não tiver realizado as aulas "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático" e "Despoluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos" com sua turma, o roteiro do experimento, bem como o estudo dirigido a ele associado podem ser encontrados no Portal. Se esse for o seu caso, esteja atento, pois o tempo estimado para esta aula terá que ser maior.

Primeiro momento – Relembrando o experimento da aula "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático"

A primeira parte desta aula consiste na retomada dos dados obtidos na atividade experimental realizada na aula "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático". Se você não realizou a atividade com sua turma e não pretende fazê-la, salientamos a importância de informar os alunos sobre como foram obtidos os dados da tabela que será utilizada para a construção dos gráficos.

Ressaltamos que a realização do experimento ampliará a possibilidade de construção de significado por parte dos alunos. Mas se isso não for possível, antes de seguir com essa aula sugerimos que você leia atentamente o roteiro grifando as principais etapas realizadas do experimento.

O importante ao retomar (ou apresentar) os dados da tabela é relacioná-los ao experimento. Destacamos os itens a seguir, como aspectos importantes de serem ressaltados junto aos alunos:

• Na realização desta simulação, consideramos uma hipótese simplificadora: OS ORGANISMOS VIVOS DO LAGO PURIFICAM 1/5 (OU SEJA 20%) DA QUANTIDADE DE POLUENTE NO LAGO, DURANTE QUALQUER PERÍODO DE 24 HORAS.
• A quantidade inicial de poluente foi 200 mL.
• O experimento consistiu em substituir água poluída por água limpa. A troca de água foi realizada, supostamente, a cada período de vinte e quatro horas. Para tanto, dois copos de água poluída eram retirados do recipiente e substituídos por água limpa.
• Estes dois copos correspondiam a um quinto do volume total, pois no recipiente que simulou o lago foram colocados ao todo 10 copos de água.
• Embora o volume de água do lago continuasse o mesmo em cada etapa, o volume de poluente diminuiu sempre um quinto do restante na etapa anterior.

A variável n representa as trocas de água poluída por água limpa, feitas a cada período de tempo, e a(n) representa a quantidade de poluente restante no recipiente após a n-ésima troca. Observe os dados da tabela:

• a(2) = a(1) - 1/5 a(1)
• a(3) = a(2) - 1/5 a(2)
• a(4) = a(3) - 1/5 a(3)
• a(5) = a(4) - 1/5 a(4)

Note que, a cada etapa, o termo é dado pelo termo anterior subtraído de um quinto dele mesmo. Assim, se chamarmos de a(n) a quantidade de poluente no n-ésimo período de tempo, você poderá levar os alunos a concluírem que

a(n+1) = a(n) – (1/5) a(n) = (4/5) a(n)    ,      n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

Neste ponto, devemos recordar que a fórmula acima pode ser reescrita, de maneira equivalente, como uma fórmula que expressa a(n+1) em função de a(1) apenas. Isto pode ser feito inserindo outra coluna na tabela acima, que permitirá retomar os valores de cada etapa.

O importante é que os alunos percebam que para um período n qualquer a quantidade de poluente a(n) será

a(n) = (4/5)^n-1. a(1)   ,     n = 1, 2, 3, ...

A expressão anterior pode ser elaborada com maiores detalhes a partir da proposta desenvolvida na segunda aula: "Despoluição de lagos: modelagem matemática através de um experimento prático".

Recomendamos mostrar aos alunos que a lei obtida corresponde à expressão do termo geral da progressão geométrica de razão 4/5 e termo inicial a(1) = 200. Outra maneira de chamar atenção para este fato é dividindo cada termo pelo seu anterior tem como razão o 4/5.

• 160 / 200 = 16 / 20 = 4/5
• 128 / 160 = 32 / 40 = 4/5
• e assim por diante

Partindo do experimento chegamos a duas leis de formação equivalentes:

a(n) = (4/5). a(n-1)   ou   a(n) = (4/5)^n-1. a(1)

Segundo momento – Comportamento gráfico do modelo

Neste momento da aula, iniciaremos a discussão sobre a construção do gráfico que melhor representa nosso modelo. Para tanto, partiremos da marcação dos pontos obtidos na tabela em um plano cartesiano. É importante que esse registro seja feito em escala!

No eixo horizontal, representamos o período de despoluição, ou seja, os dados da variável n. No eixo vertical, registramos a quantidade de poluente, ou seja, a(n). Marcamos, portanto os pares ordenados (1;200), (2;160), (3;128), (4;102,4) e (5;81,92), etc.

1) De acordo com nosso modelo, faz sentido ligar estes pontos?  

Para responder esta pergunta, é preciso ter bem claro o que este gráfico representa!               

Lembre-se que no nosso experimento, registramos apenas a variação da quantidade de poluente a cada troca. Não faria sentido marcar o ponto correspondente a 1,5 trocas, por exemplo! Para ajudar o seu aluno a refletir sobre isso, você pode questioná-lo com a seguinte pergunta.

2) Nesse gráfico, que foi traçado a partir dos dados obtidos no nosso experimento, quais são as variáveis envolvidas?   

Você deve lembrar a seus alunos que a variável independente n, que é representada no eixo horizontal, corresponde às trocas. Já a variável dependente a representa a quantidade de poluente restante no lago modelo depois de cada troca. Como n corresponde às trocas, esta variável só pode assumir valores no conjunto dos números naturais. Portanto, o domínio da função representada no gráfico é o conjunto N e, por este motivo, o gráfico é formado por pontos isolados!             

Nesse momento, você pode falar do significado dos gráficos discretos. Converse com seus alunos:

3) Alguma vez você já havia construído um gráfico só de pontos?   

A progressão geométrica é um exemplo de gráfico formado por pontos. Isso acontece por que a progressão geométrica é determinada pelo número de termos n=1,2,3,..., n. Não existe o termo de posição 1,3, por exemplo. Quando uma variável assume apenas valores inteiros, dizemos que ela é discreta.

4) Você saberia dar o exemplo de outra função formada por pontos?   

Os seus alunos podem ter algum estranhamento com essa pergunta, pois, em geral, no ensino médio trabalha-se pouco com esse tipo de gráfico. Se eles tiverem dificuldades, você poderá dar diversos exemplos, como: o gráfico que representa a quantidade de pares de calçados de acordo com o tamanho, ou o gráfico que representa a quantidade de pessoas com uma mesma faixa etária.

Agora que pensamos sobre gráficos gerados por variáveis discretas, vamos refletir um pouco sobre variáveis contínuas. Como comentamos anteriormente, a maior parte dos gráficos trabalhados no ensino médio são curvas contínuas. Isto gera nos alunos uma tendência em sempre ligar os pontos. Para pensar nesta questão, vamos voltar ao nosso experimento. Uma sugestão é você perguntar aos seus alunos:

5) O que significaria traçar um gráfico contínuo num processo de despoluição de um lago?   

Será que as bactérias e outros organismos que ajudam a despoluir o lago o fazem sempre isso a cada período de 24 horas? Eles têm hora marcada e eliminam toda a quantidade de poluente num mesmo instante? É claro que não!

Na natureza, o processo de despoluição por microrganismos não ocorre dessa forma. O processo ocorre continuamente. Se quiséssemos coletar os dados de hora em hora ou de semana em semana, o processo continuaria acontecendo, porque um dia não passa sem que as horas passem, nem a semana sem que os dias passem, e assim sucessivamente. E em todos esses instantes, os microrganismos estão agindo. Assim, a poluição é eliminada continuamente. Logo, o gráfico contínuo como na figura II abaixo é mais adequado para representar a situação real.

Repare que, neste caso, precisamos introduzir outro tipo de variável. Substituiremos a variável discreta n, que representa as trocas, por uma variável contínua, que representa o tempo. Por convenção, geralmente utilizamos a variável x para representar grandezas contínuas. Assim, escolhemos as letras  e  para representar essas variáveis simplesmente por razões pedagógicas. No nosso exemplo, a mesma expressão algébrica deixaria de ser uma progressão geométrica da variável n e passaria a ser uma função exponencial da variável x:

f(x) = 200 . (4/5)^x

Agora, sugerimos que você peça que seus alunos construam o gráfico da função f.

Aproveite este exemplo para trabalhar com outras grandezas discretas e contínuas. É muito importante que os alunos saibam quando é possível ligar os pontos de uma função ou não.

Neste momento, é interessante que você faça uma recapitulação geral. Até agora, traçamos dois gráficos:

• No gráfico 1, representamos o experimento de simulação e a variável independente representava as trocas, por isso era discreta. ·        
• No gráfico 2, representamos o fenômeno real e a variável independente representava o tempo, por isso era contínua.

Podemos então propor a seguinte pergunta:

6) E se quiséssemos representar o experimento de simulação com a variável independente sendo o tempo? Qual seria o gráfico apropriado?

7) Será que o gráfico de pontos é a melhor resposta para esta pergunta?

Note que, com as perguntas 6 e 7, pretendemos abordar o comportamento da função do experimento a cada período de tempo (ou intervalo) e não mais a cada troca. Para tanto, você poderá mostrar aos alunos que, da forma como o experimento foi proposto, a quantidade de poluente não varia entre as trocas, ou seja, não varia a cada período de tempo. O que acontece na realidade são “saltos”, de um período para o outro, pois retiramos certa quantidade de poluente a cada troca.  Assim, a quantidade de poluente permanece a mesma até a próxima troca (isto é, fica constante dentro de cada período de tempo). Uma forma mais fiel de representar esse tipo de variação é através de um gráfico em degraus, como o mostrado abaixo.

Repare que no esboço acima, precisamos representar o ponto inicial de cada período entre as trocas por uma bolinha aberta. Caso contrário, teríamos um mesmo instante com duas quantidades diferentes de poluente – o que seria um absurdo!

Neste momento você pode construir um gráfico da quantidade de poluente em função do tempo no quadro-negro, representando apenas os pares ordenados. Então poderá abordar a seguinte pergunta:

8) Como podemos traçar o comportamento da quantidade de poluente no experimento ao longo do tempo?

Finalize então o gráfico desenhando o gráfico tipo escada. Não esqueça de chamar a atenção dos alunos para a necessidade de representar as bolinhas abertas.

Explique que o gráfico acima é o que melhor representa o nosso experimento devido à retirada em “saltos” da quantidade de poluente. Isso acontece por causa das hipóteses simplificadoras que utilizamos para montar o experimento, principalmente, a de que a despoluição (representada pelas trocas) ocorre em períodos discretos de tempo.             

No cotidiano existem outras situações que originam gráficos tipo escada. Uma corrida de táxi, por exemplo. Ou o aluguel de um carro. Proponha aos seus alunos que descubram outras leis que produzem gráficos de escadas.             

Este tipo de gráfico não é usualmente abordado no ensino médio. Por isso mesmo, consideramos que esta aula é uma ótima oportunidade para aprofundar a reflexão deles sobre as idéias de gráfico, domínio e sobre o significado das variáveis.

Para ver mais aplicações das progressões geométricas e dos logaritmos, acesse um excelente vídeo da série Arte & Matemática:

• http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001156.mp4    

Para informações sobre despoluição de águas acesse:  

• http://www.estadao.com.br/noticias/geral,despoluicao-do-rio-tiete-entra-na-terceira-fase-em-sao-paulo,324591,0.htm  
• http://www.cetesb.sp.gov.br/Institucional/tiete/tiete.asp   A história do rio Tietê  (São Paulo - SP) 
• http://www.portalbaiadeguanabara.org.br/portal/exibe_sub.asp?id_sub=50 A história da Baía de Guanabara (Rio de Janeiro - RJ) 

Avaliação contínua através da análise das respostas às perguntas feitas pelo professor e dos gráficos construídos pelos alunos.

O problema da despoluição apresentado acima pode ser usado como parte de uma avaliação. Principalmente se o nível de tolerância para considerar o lago poluído for variado.