·        Avaliar a diferença entre grandezas vetoriais e grandezas escalares.

 ·        Resolver operações envolvendo vetores.

 ·        Utilizar métodos geométricos para determinar soma de vetores.        

·        Conhecimento de unidades de massa, comprimento, tempo e noção de medidas.

Atividade I   

             Sugerimos o professor inicie sua aula dizendo que em física existem grandezas que ficam bem definidas se for informado seu valor e sua unidade, essas são conhecidas como grandezas escalares. São exemplos de grandezas escalares: comprimento, temperatura, tempo, massa, volume, área, etc,.

            Outras grandezas como força, velocidade, deslocamento não ficam bem esclarecidas se fornecermos apenas seu valor e unidade. Sendo necessário também conhecer a direção e sentido dessas grandezas. Elas são denominadas de grandezas vetoriais.

            A partir desse momento faça a seguinte proposição para a turma:

            Suponha que estivéssemos num terreno plano e limpo e que alguém nos informasse a existência de um objeto valioso de pequenas dimensões, enterrado a 1,0 m de profundidade e a 20,0 m de um ponto estrategicamente marcado naquele local, fornecendo a ferramenta para cavar o buraco e informando; tal tesouro pertencerá a quem encontrá-lo com uma única tentativa de marcar o ponto a ser cavado. Pergunte para a turma.

         Alguns de vocês serão capazes de encontrar com uma única tentativa, o local onde se encontra o tesouro, com apenas essa informação?

         Com essa dica temos uma infinidade de pontos possíveis. Uma circunferência inteira de raio igual a 20 m, toda linha branca do esquema A, da Figura 01, cujo comprimento é aproximadamente 126 metros.

         Agora vamos supor que a pessoa dê mais uma informação dizendo que o ponto está numa direção leste-oeste que passa pelo ponto de referência. Pergunte então para a turma.

         Quem é capaz de garantir que encontra o local procurado com apenas uma tentativa?

          Provavelmente algum aluno responderá que sim, mas a reta na direção leste oeste passando pelo ponto de referência, corresponde ao diâmetro da circunferência e identifica dois pontos, em branco no esquema B da Figura 01, e com uma única tentativa precisará contar com a sorte.

          Por fim, diga a eles que a pessoa resolve informar que além da direção o ponto tem o sentido para oeste. Pergunte para a turma: nesse caso, alguém teria dificuldade em localizar o ponto onde está enterrado tal objeto? Se alguém tiver dúvida, explique como deverá proceder para achar o local.

          Nessas circunstâncias, com essas três informações, o ponto de referência passa a ser único e basta medir a partir do ponto de referência 20 metros na direção leste-oeste, orientando o sentido para oeste e o ponto está localizado, único ponto em branco no esquema C da Figura 01. Neste esquema o segmento de reta com início no ponto de referencia e 20 m de comprimento, tem uma seta na outra extremidade indicando o sentido oeste, onde se encontra o ponto procurado.

        O professor então deve afirmar que em Física, algumas grandezas para ficarem bem caracterizadas além da intensidade, precisam informar sua direção e seu sentido. Essas grandezas são denominadas de grandezas vetoriais, cuja soma obedecem as mesmas regras dos vetores.

         Vetor é uma entidade matemática usada para representar grandezas que para ficarem bem caracterizadas necessitam, além de um número que determina sua intensidade, também precisa conhecer sua direção e seu sentido para que sejam perfeitamente definidas. O vetor é representado por um segmento de reta orientado, como no esquema C da Figura 01.

        A Figura 02 ilustra a representação de um vetor, cujo módulo ou intensidade é de 5 unidades. O vetor tem origem e extremidade como mostra na figura e o símbolo do vetor é escrito por uma letra minúscula com uma setinha sobre a letra ou por duas letras maiúsculas correspondentes a origem e a extremidade do vetor como na Figura 02. O segmento de reta que representa o vetor indica sua direção, enquanto que a seta na extremidade do vetor indica seu sentido.

Atividade II

              Utilizando uma trena ou uma fita métrica peça a um grupo de alunos que meçam a distância de um canto da sala até o canto adjacente e considere o ponto de partida (inicial) de A e o de chegada no canto adjacente de B. Depois meça a distância do canto B até o outro canto, próximo de B, denomina esse terceiro ponto de C. Esses pontos estão esquematizados e representados na Figura 03, abaixo.

         Pergunte à turma: uma pessoa sai do ponto A e chega no canto B depois vai até o ponto C caminhando sempre ao lado da parede. Qual a distância que ele caminha nesse percurso?

          Suponha que a sala seja como na figura, um retângulo de 8mX6m. Ele caminhará 8,0 + 6,0 = 14,0 metros.

            Faça agora a seguinte pergunta para os alunos: se uma pessoa sair do ponto A, passando por B e depois chegando a C, qual o deslocamento total efetuado pela pessoa?

             Se necessário lembrar aos alunos que deslocamento é o segmento de reta que une o ponto inicial ao final. Neste caso, trata-se da hipotenusa de um triângulo retângulo, é só aplicar o teorema de Pitágoras conforme contempla a Figura 04. Nesta figura os segmentos (vetor AB) e (vetor BC) representam os deslocamentos percorridos pela pessoa ao caminhar do canto A ao canto oposto C, passando por B. O segmento de reta em vermelho representa o vetor AC que é o vetor resultante, ou seja, o deslocamento da pessoa em todo percurso considerado é:

              (AC)² = 8² + 6² 

              (AC)² = 64 + 36

                  AC = (100)^1/2

                  AC = 10 m 

          Após correção do exercício, informe a turma que o esquema da Figura 04 representa um método gráfico da soma de vetores, denominado de método do polígono. Este método tem a vantagem de ser possível somar vários vetores graficamente. Para isso os vetores devem ser representados de tal modo que a origem do segundo vetor a ser somado coincida com a extremidade do primeiro vetor, a origem do terceiro com a extremidade do segundo e assim por diante de tal modo que sempre a origem do vetor seguinte coincida com a extremidade do vetor anterior.

Atividade III

           A Figura 05 ilustra a soma de 5 vetores pelo método do polígono, onde o vetor R é o vetor resultante da soma dos vetores a, b, c, d, e.

         Outro método de determinar graficamente a soma de dois vetores é denominado de método do paralelogramo ilustrado na Figura 06. Nela os dois vetores são desenhados de modo que suas origens coincidam. Em seguida, a partir da extremidade de cada vetor traçam-se uma reta paralela ao outro vetor, linhas auxiliares tracejadas. O vetor resultante terá sua origem, na origem dos vetores e extremidade no ponto de intersecção das linhas tracejadas, vetor R na figura.

           Peça aos alunos que determine graficamente a soma dos vetores representados na Figura 07 abaixo usando os dois métodos comentados. Primeiro pelo método do polígono depois pelo método do paralelogramo e comparar os vetores resultantes nos dois casos.

          Obs. Informar aos alunos que dois vetores são iguais quando possuem iguais todas as propriedades que caracterizam um vetor, ou seja, mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido, não necessariamente que esteja no mesmo lugar.

         Deverão fazer os esquemas como representado na Figura 08, esquema A (método do polígono) e esquema B (método do paralelogramo). Comparando os vetores resultantes nos dois casos, em vermelho, verifica-se que eles têm mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade (mesmo tamanho), que pode ser aferido com uma régua escolar. Conclui-se que são iguais como era de se esperar, uma vez que os dois métodos são válidos.

Atividade IV 

            Agora considere dois vetores u e v que formam entre si um ângulo â, conforme representado na Figura 09. Também nessa figura está representada a soma desses vetores pelo método do paralelogramo e pelo método do polígono. O valor do vetor resultante R é dado pela expressão: R = ( u² + v² + 2.u.v.cosâ )^1/2 expressão que também está contida na Figura 09. Observe que esta expressão está coerente com a lei dos co-senos em um triângulo qualquer, uma vez que o ângulo oposto ao lado representado por R é (180^o – â) e cos(180^o – â) = -cosâ. O ângulo a (â) está representado na Figura 09 mostrando que se somado ao ângulo oposto ao lado R, formam um ângulo raso, 180 graus.

         Peça então aos alunos que usando o esquema da Figura 09, considere os seguintes valores: u = 15 unidades, v= 12 unidades e â = 37^o, cos37^o = 0,80; calcular o valor de R.

         Deverão encontrar:

                                R = (15² + 12² + 2.15.12.0,80)^1/2 

                                R = (225+ 144 + 288)^1/2

                                R = (657)^1/2  

                                R = 25,6 unidades, aproximadamente

          Peça para os alunos resolverem em grupos ou individualmente o seguinte exercício.

          Dois vetores de 20 unidades e 30 unidades formam entre si um ângulo de 60 graus. Sendo cos60 = 0,50 pede-se:

 ·        1. Determinar a soma desses dois vetores pelo método do polígono.

 ·        2. Determinar a soma desses dois vetores pelo método do paralelogramo.

 ·        3. Calcular o módulo do vetor resultante da soma desses vetores.

           Sugerimos que o professor acesse a seguinte simulação sobre soma de vetores (método do polígono e do paralelogramo) que se encontra disponível no portal do professor e verifique a possibilidade de utilizá-lo em sua aula. A simulação se encontra no seguinte endereço:

   http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=21283 

    Também no Portal se encontra outra simulação sobre componentes retangulares de um vetor no seguinte endereço:   http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19518 

            Os exercícios propostos durante a aula são suficientes para verificação do aprendizado do conteúdo exposto, mas o professor se preferir poderá formular outros mais e pedir que resolvam em equipes ou individualmente.