• Usar conceitos como proporções, semelhança de triângulos e trigonometria para aferir distâncias inacessíveis;
• Trabalhar conceitos de grandezas e medidas;
• Experimentar de maneira prática os conteúdos citados.

É interessante que os alunos tenham os conteúdos abaixo consolidados:

• Sistemas de medidas;
• Proporções;
• Semelhança de figuras;
• Trigonometria básica.

Todas as ilustrações são do próprio autor.

Estimar uma medida razoável entre pontos inacessíveis é um problema antigo e bastante desafiador. Na prova da Olimpíada Brasileira de Astronomia (OBA) de 2009, nível 4, disponível em: (http://www.oba.org.br/sisglob/sisglob_arquivos/provas_gabaritos/2009/Prova%20nivel%204%20da%20XII%20OBA_2009.pdf), a primeira questão aborda como Galileu Galilei estimou a altura de montanhas lunares usando apenas uma luneta rudimentar e um pouco de geometria. O que veremos nesta aula é como utilizar conceitos matemáticos curriculares, como semelhança de figuras, proporções e trigonometria, de forma contextualizada, desafiadora e experimental para esse tipo de problema.  

Vamos analisar alguns desafios contextualizados. Como primeira atividade, reúna os alunos em grupos de quatro integrantes e lance o seguinte problema:

Como podemos calcular a distância entre dois arbustos, considerando a existência de um obstáculo entre eles (uma rocha, por exemplo)?

Neste momento é muito enriquecedor ouvir e discutir as idéias propostas pelos alunos. Certamente aparecerão diversas soluções inusitadas, algumas viáveis, outras nem tanto. A argumentação consciente do professor é muito importante neste tipo de discussão. Depois de longa discussão o professor pode apresentar uma solução que use a semelhança de triângulos.

• Um rolo de barbante;
• Uma trena ou fita métrica;
• Giz, se a atividade for realizada na quadra da escola, por exemplo.

Sugiro um espaço amplo para reproduzir o experimento. Se a escola não possuir arbustos e rochas, simule esta situação marcando pontos no piso da quadra esportiva da escola, por exemplo. O primeiro passo é se posicionar de forma que os pontos A e B estejam visíveis. Peça ajuda aos alunos, para que eles se posicionem conforme a sua orientação, para uma primeira demonstração.

Usando o barbante ou o giz, desenhe e meça os segmentos AC e CB. Os valores da figura são hipotéticos. Veja:

Dois triângulos serão semelhantes se dois lados de um triângulo forem respectivamente proporcionais a dois lados de outro triângulo, e se o ângulo compreendido entre esses lados for congruente. Este critério de semelhança é conhecido como lado-ângulo-lado ou LAL. Devemos criar um triângulo semelhante pelo critério LAL menor e livre do obstáculo.

Para isso, neste exemplo, dividimos por 2 os segmentos AC e BC. Discuta com os alunos o melhor valor ser adotado nesta divisão. Após a divisão desenhe o triângulo CDE. Como os lados do triângulo CDE são proporcionais aos lados do triângulo ABC, calcule a distância entre os arbustos multiplicando DE pelo valor adotado, neste caso 2.

Peça para cada grupo reproduzir o experimento em situações diferentes. É um bom momento para o professor avaliar a assimilação dos conceitos.

Como segunda atividade, lance agora outro desafio:

Como podemos calcular a distância entre as margens de um rio sem termos que atravessá-lo?

Depois de um novo debate, sugiro esta solução que usa novamente a semelhança de triângulos.

• Uma trena ou fita métrica;
• Giz, se a atividade for realizada na quadra da escola, por exemplo.

Podemos usar a quadra da escola como se fosse o rio. Faça uma demostração do experimento com a ajuda dos alunos. Primeiramente um aluno deve avistar e ficar em frente a um objeto que está na outra margem do “rio”. Pode ser uma pedra, ou uma pilastra no caso da quadra.

Posicione arbitrariamente os alunos conforme a figura abaixo e meça as distâncias BC e CD.

Oriente o aluno E para que o mesmo caminhe em linha reta, perpendicular a BD, até o momento em que o aluno C “esconda” o objeto em A. Novamente a idéia é criar triângulos semelhantes.

Discuta com os alunos como podemos garantir, com uma baixa taxa de erro, que o triângulo ABC seja semelhante ao triângulo CDE.

Peça novamente para cada grupo reproduzir o experimento em situações diferente.

Mais uma atividade desafiadora:

Como podemos calcular a altura de um longo pinheiro?

Quando propus uma tarefa parecida na gincana cultural da minha escola, percebi como o desafio aguça a criatividade dos alunos. Algumas equipes optaram pela semelhança de triângulos usando a sombra de objetos, outra escolheu a proporção tirada de uma foto com uma referência conhecida, outra tentou lançar um objeto verticalmente, cronometrou o tempo da queda e com um pouco de física fez uma estimativa (bom tema para discutir a função quadrática e a precisão dessa solução) e a equipe vencedora criou um inclinômetro caseiro e usou a trigonometria para calcular a altura com boa precisão. Surpreendentemente todas as equipes obtiveram valores relativamente próximos. Descreverei primeiramente a solução com a semelhança de triângulos.

Apenas uma trena ou fita métrica.

Este experimento exige um dia de sol. Podemos medir a altura da escola, do mastro da bandeira ou de uma árvore. Como atividade interdisciplinar o professor poderá discutir com os alunos como garantir a semelhança entre os triângulos. Será que os raios de sol chegam paralelos a superfície da Terra? Se usássemos a luz de um poste para projetar as sobras, a semelhança entre os triângulos estaria garantida?

Com valores hipotéticos, o cálculo abaixo determina a altura do pinheiro. Discuta a solução abaixo com os alunos.

Mais uma vez, peça para os alunos testarem o experimento no pátio da escola, por exemplo. Cada equipe deve estimar a altura de algum objeto.

Como atividade complementar, sugiro a utilização desses dois objetos de aprendizagem que desenvolvi. Este primeiro trabalha com a trigonometria. Nele consta:

• Um tutorial de como se constrói um inclinômetro escolar;
• Uma explicação de como a trigonometria pode solucionar esse tipo de problema; 
• E um simulador para o aluno testar seus conhecimentos.

(http://files.materialguilherme.webnode.com.br/200000000-5e7de5ec94/inclinometro5.swf) 

Uma atividade complementar bastante interessante é propor que cada grupo tente criar o seu próprio inclinômetro. O fechamento desta atividade pode ser uma demonstração onde cada grupo poderá demonstrar, na prática, o seu funcionamento.

Já esse segundo trabalha com a proporcionalidade e com a semelhança de triângulos:

Alturas inacessíveis 

Vários conteúdos abordados nessas atividades estão inseridos nos currículos bem como nos livros didáticos adotados pelas escolas, no entanto, a realização de experiências práticas enriquece sensivelmente a aula e estimula a criatividade. Penso que vale a pena adaptar os exemplos propostos de forma que a contextualização crie uma identidade com os alunos, potencializando ainda mais o envolvimento na aula.

Neste vídeo o professor Eduardo Wagner, em um curso no Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), mostra como calcular a altura do Pão de Açucar usando a trigonometria.

Parte 1: (http://www.youtube.com/watch?v=Gu2LKtoRNTQ) 

Parte2: (http://www.youtube.com/watch?v=r9VWn1Y9cqs&feature=related) 

O IMPA disponibiliza vários vídeos em (http://video.impa.br/) 

Todos os experimentos propostos permitem uma avaliação constante durante o processo. O professor pode lançar os desafios e avaliar como um aluno, ou a equipe, age na resolução dos mesmos. A criatividade deve ser valorizada, mas o professor deve, sempre, discutir com os alunos as vantagens e desvantagens de cada solução manifestada. Alguns questionamentos:

Das soluções apresentadas qual é a mais apropriada para cada situação?

• Como podemos garantir a semelhança dos triângulos em certas soluções?
• Se o Sol é uma esfera e emite luz em todas as direções, porque podemos considerar que os raios solares que chegam ao solo, onde o experimento está sendo feito, são paralelos?
• Por que as soluções trabalhadas apresentam resultados diferentes?
• O uso de fotografias e escalas podem oferecer boa precisão neste tipo de problema?

São questionamentos reflexivos e importantes para o professor avaliar se o conteúdo foi bem compreendido.