• Trabalhar com os conceitos de função, área superficial e volume;
• Demonstrar como a relação volume x área superficial pode afetar uma questão de economia;
• Demonstrar como pode ser feita uma análise que busca a otimização de recursos na produção de embalagens;
• Reconhecer a importância desse conhecimento em situações do dia a dia.

Ter bem consolidado os conceito de área superficial e volume.

Todas as ilustrações são do autor.

Dois sólidos geométricos com formas diferentes e volumes iguais têm, necessariamente, áreas superficiais iguais? Não! Mas qual a relação deste questionamento com a economia? Discuta com seus alunos. Quando grandes silos, reservatórios e até mesmo embalagens são projetadas, este tema ganha importância. A ideia é criar esses recipientes com o menor gasto material possível e isso está diretamente relacionado com a área superficial do mesmo. A natureza já sabia disso, tanto que as abelhas constroem suas colméias otimizando o espaço e usando a menor quantidade de cera na construção dos alvéolos.

Como atividade de introdução, proponho que os alunos formem grupos e recebam o seguinte questionamento. Com que formas regulares iguais podemos construir um mosaico sem que haja espaços entre as formas? Os alunos concluirão que as formas possíveis são os triângulos equiláteros, quadrados ou hexágonos. Discuta com seus alunos o porquê das outras formas não servirem. Relacione essas conclusões com o fato dos ângulos internos dessas figuras serem divisores de 360. 

Vamos considerar agora, prismas com bases isoperimétricas. Cada grupo deve receber três tiras de cartolina com dimensões 12 x 1 cm cada. Pensando em prismas com essas bases, peça para os grupos construírem os três prismas com dobraduras. Veja na figura abaixo:

Peça agora para que eles calculem o volume de cada prima. Os alunos perceberão que os volumes dos prismas serão aproximadamente 6,92 cm³, 9 cm³ e 10,38 cm³ respectivamente e que, apesar das áreas laterais serem iguais, o prisma hexagonal oferece o maior volume. Neste momento discuta com os grupos qual a relação desta atividade com a construção dos alvéolos, pelas abelhas, para armazenar o mel produzido pelas mesmas. Mas a economia das abelhas vai além. Em rigor, os alvéolos não são prismas. A base do alvéolo não é plana e é constituída de três losangos. Esta pequena diferença faz com que as abelhas ganhem um alvéolo a cada 50. Exiba o vídeo abaixo.

(http://www.youtube.com/watch?v=5mKJk8-l1lY)      

Conclua a atividade enfatizando a relação entre a matemática e a natureza.

Coloque este problema para os alunos: Qual deve ser o raio e a altura de um recipiente cilíndrico que tenha volume igual a 1,2 dm³ , e que tenha a menor área superficial possível?

É interessante que neste momento o professor deixe os alunos fazerem análises e tentativas.

Vamos considerar os dados e determinar a área superficial em função do raio:

Esta função facilita a visualização da área mínima quando construímos uma tabela e/ou um gráfico no plano cartesiano.

Podemos usar planilhas eletrônicas para analisar o problema. Crie com os alunos uma planilha que represente o problema como mostra a figura:

Repare que agora fica fácil visualizar a menor área neste contexto. Quando o conjunto de dados é extenso, a utilização de gráficos pode facilitar a busca do ponto mínimo. Veja:

Conclua a atividade, refletindo que neste caso trabalhamos com um plano cartesiano, portando usamos apenas duas variáveis explícitas, a área superficial e o raio do cilindro. Como seria se a forma fosse um paralelepípedo? Esse questionamento nos leva a terceira atividade.

Proponha então um problema com mais variáveis. Imagine que o formato do recipiente seja um paralelepípedo. Neste caso podemos fixar uma das dimensões para viabilizar uma expressão que coloque a área superficial em função de outra dimensão. Se for uma embalagem de caixa de cereais, por exemplo, analise com os alunos o melhor valor a ser adotado levando em conta o manuseio da embalagem. Vamos adotar a dimensão a como 6 cm.

Novamente podemos usar esta função para facilitar a visualização da área mínima numa tabela e/ou num gráfico. Construa com os alunos no laboratório de informática as tabelas e gráficos seguintes.

A atividade pode ser enriquecida se o professor considerar o valor de custo do papelão e a produção de uma determinada embalagem na indústria. Assim os alunos perceberão que uma pequena economia gerada em cada embalagem pode aumentar consideravelmente o lucro de uma empresa.

Agora imagine que a complexidade aumente. Considere o mesmo problema anterior, porém com as seguintes condições. Queremos determinar as dimensões ideais de uma caixa que tenha 1,2 dm³ de volume e uma área superficial mínima de modo que: a dimensão a fique entre 3 e 8 cm (inclusive), a dimensão b fique entre 4 e 15 cm (inclusive) e a dimensão h fique entre 6 e 14 cm (inclusive). O Microsoft Excel tem uma ferramenta que muitos não conhecem por ela não vir habilitada na instalação padrão do software. Ela se chama Solver. Para habilitá-la no Excel 2007 siga os passos:

Clique no botão Office e em seguida no botão Opções do Excel

Clique em Suplementos, selecione o suplemento Solver e clique em Ok. Pronto, a opção Solver aparecerá na guia Dados na barra de ferramentas Análise.

Agora vamos usar a ferramenta Solver para resolver o problema proposto. Crie uma pequena planilha com o cálculo da Área Superficial (veja na figura) e com o volume (Produto de a por b por h). Selecione a célula que contém a área superficial (E4 no meu caso). Clique no botão Solver, marque a opção Mín (queremos a área mínima), coloque nas células variáveis as células que contém os valores de a, b e h. Adicione todas as restrições (incluindo a do volume = 1200cm³) e clique em Resolver.

Repare que o Excel encontrou uma solução dentro das condições impostas que é ainda mais econômica que a encontrada anteriormente.

Aproveite a facilidade que este tema traz para contextualizar problemas desafiadores. Imagine um desafio onde os alunos deverão criar embalagens capazes de armazenar certo volume de um material com a preocupação de se fazer a maior economia possível. Que forma a embalagem teria? Quais seriam suas dimensões? A embalagem desenvolvida é viável? É de fácil manuseio? É de fácil armazenamento? Tem área suficiente para o rótulo ficar em evidência? Que economia de material a embalagem proposta representa em relação à outra? Este tema pode render um ótimo trabalho interdisciplinar.

Boa aula para complementar o estudo da geometria das embalagens:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=13803 

O professor pode avaliar o aluno em várias etapas da aula onde problemas são propostos. Uma sugestão, que pode ser muito útil como instrumento de avaliação, é a proposição de desafios para serem analisados em grupos onde os alunos deverão projetar embalagens econômicas.