·        Comparar a relação de escalas entre uma estrutura sólida e outra cujas dimensões foram ampliadas.

 ·        Relacionar a variação da resistência e do peso de um sólido devido a ampliações de sua escala.

 ·        Criticar cientificamente a ampliação de um sólido em função da alteração de sua resistência e de seu peso.  

·        Conhecimento das grandezas e unidades: massa, peso, comprimento, área, volume.

        Sugerimos que o professor mostre para os alunos a Figura 01 que contém uma imagem fotográfica da estátua do Cristo Redentor localizada na cidade do Rio de Janeiro. Depois mostre também a Figura 02, que é a foto imagem de uma réplica da estátua do Cristo Redentor em miniatura. Para que a réplica seja reproduzida de maneira a manter todas as características semelhantes da estátua original, deverá ter suas três dimensões reduzidas na mesma proporção. Após essas informações proponha o seguinte problema.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Cristo_Redentor_-_Rio.jpg/497px-Cristo_Redentor_-_Rio.jpg 

  Atividade I  

http://img1.mlstatic.com/s_MLB_v_S_f_151251215_4646.jpg 

           Suponha que a réplica em miniatura seja construída de mesmo material da estátua verdadeira e que suas dimensões sejam 100 vezes menor que a estátua original. Pergunte para a turma:

 ·        Se a réplica em miniatura de 30 cm de altura pesa 12 kgf, quanto deverá pesar a estátua verdadeira do Cristo Redentor que possui altura de 30 metros, 100 vezes mais alta que a miniatura (não incluindo o pedestal)?

          O professor então deverá lembrar aos alunos que a massa específica (d) de um objeto qualquer é: d = M/V, sendo M = massa do objeto e V o seu volume, resultando que M = dV.

          O peso p do objeto é p = Mg, g é a aceleração da gravidade. Substituindo M, temos que p = dVg, ou seja, o peso de um objeto é proporcional ao seu volume. Mas, o volume de um sólido é proporcional a uma dimensão qualquer dele elevado ao cubo. Por exemplo, o volume de uma esfera é proporcional ao cubo do raio ou ao cubo do diâmetro ou ainda ao cubo de outra parte qualquer da esfera como ao cubo do comprimento da circunferência que envolve a esfera, etc. Daí pode concluir que o volume da estátua V é proporcional ao cubo de sua altura.

           Peça aos alunos, então que considerando H a altura da estátua do Cristo e h a altura da miniatura escrevam as expressões correspondentes aos volumes dessas duas peças.

            Deverão escrever:

 ·        Estátua Cristo Redentor: V_CR = c.H³

              Miniatura: V_E = c.h³.  c é uma constante. Peça então que determine os respectivos pesos em função das alturas.

              Nesse caso, tem-se:

 ·        Estátua Cristo Redentor: p_CR = c.H³g    (1)

                                 Miniatura: p_E = c.h³g    (2)

   Peso da miniatura é 12 kgf; 12 kgf =  c.h³g    (3)

              Dividindo membro a membro, as equações (1) por (3), tem-se:

 Obs. A massa da estátua do Cristo Redentor, com os dados desse exercício equivale a 12000 toneladas.

Atividade II

            Agora mostre as Figura 03 e a Figura 04 para a turma explicando o que representa cada um e tirando as devidas conclusões como sugere o texto.

             Primeiro considere a Figura 03 que consiste num esquema onde duas colunas de mesmo material estão submetidas à carga máxima, significa que qualquer adicional às cargas é capaz de danificar essas colunas. A coluna A tem formato de um paralelepípedo de altura H e sua base é um quadrado de lado L. Esta é capaz de sustentar além de seu peso, um peso adicional p. Na mesma figura há outra coluna, B, formato de paralelepípedo de mesma altura H e área da base quadrada de lado 2L. Esta sustenta um peso adicional de 4p.

             Observe que a área de secção reta da coluna B (4L²) é quatro vezes maior que a área da coluna A (L²), ou seja, a sua área aumentou na mesma proporção que aumentou a sua resistência em relação a coluna A. É como se a coluna B fossem 4 colunas idênticas a coluna A colocadas juntas. Conclui-se que a resistência de uma coluna varia proporcionalmente a área de secção reta.

             A Figura 04 também ilustra três blocos A, B e C sendo sustentados por fios sobre tensão máxima. Em A um fio de diâmetro transversal d sustenta um peso p, e em B são 4 fios também de diâmetro transversal d, sustentam um bloco de peso igual a 4p e finalmente em C um fio cujo diâmetro transversal é 2d, constituído do mesmo material dos fios anteriores sustenta um bloco de peso igual a 4p. O fio do esquema C tem uma resistência a deformação igual aquela de 4 fios juntos, ou seja, ele tem uma resistência 4 vezes maior de um fio do mesmo material só que seu diâmetro de área transversal é  o dobro do diâmetro da área transversal do fio em A, ou seja, dobrando o diâmetro do fio sua resistência quadruplica.

            Semelhante a resistência a área de uma superfície plana é proporcional ao quadrado de uma dimensão linear. Esses dois exemplos nos permitem admitir a existência de uma relação entre a área de secção transversal reta, da coluna ou do fio, e a resistência dos mesmos. Esta relação pode ser verificada experimentalmente. “A resistência de uma coluna ou de um fio é proporcional ao quadrado de suas dimensões lineares transversal”.

            Peça aos alunos para resolverem individualmente ou em grupo o seguinte exercício.

  ·        A resistência de um fio de nylon de 0,30 mm de diâmetro de secção reta é de 5 kgf. Qual a resistência de um fio, construído deste mesmo nylon, cujo diâmetro de secção reta é 0,90 mm?

Atividade III 

         O professor então de posse de todas as informações expostas pode afirmar aos alunos que a resistência de uma coluna sólida varia proporcionalmente ao quadrado de uma dimensão linear de secção reta enquanto que seu peso varia com o cubo desta dimensão. E que esta relação se aplica a materiais sólidos de uma maneira geral, sendo válido também para o peso e resistências óssea e muscular de uma pessoa. É por isso que um indivíduo muito alto tem seus movimentos mais lentos justificando porque os atletas velocistas não são os mais altos, embora estes conseguem deslocar uma distância maior numa passada.

          Peça então para os alunos resolverem o seguinte problema:

 ·        Suponha que uma pessoa adulta de 1,60 m de altura fosse capaz de sustentar um peso igual seu próprio corpo. Imagina que outra pessoa com a mesma constituição corporal dessa, tenha todas as dimensões duplicadas. Que carga ela seria capaz de sustentar?

  Solução do problema:

 ·        Peso da pessoa normal: p = k.r³

          Resistência da pessoa normal: R = C.r²

 ·        Peso da pessoa ampliada: p_a = k.(2r)³; p_a = k.8r³; p_a = 8.k.r³ 

                           p_a = 8p

 ·        Resistência da pessoa ampliada: R_a = C.(2r)²; R_a = C.4r²;  R_a = 4.C.r²

                                    R_a = 4R

 ·        A pessoa normal além do seu próprio peso p sustenta uma carga adicional p. Logo sua resistência é R = 2p.

          A pessoa ampliada tem resistência R_a = 4R, ou seja, R_a = 8p; essa pessoa possui resistência igual seu próprio peso. Tal gigante provavelmente não conseguiria nem se locomover sem auxilio, mal seria capaz de se manter de pé.

Sugerimos que o professor peça aos alunos para pesquisar e encontrar qual a pessoa de maior estatura que já viveu ou ainda vive no mundo, qual sua altura física, sua massa corporal e em que época viveu segundo registros confiáveis. Depois faça as seguintes perguntas:

1. Considerando que uma pessoa adulta de 1,60 m de altura deverá ter massa corporal cerca de 60 kg, determine qual a massa corporal compatível com a altura desta pessoa de maior estatura.

 2. Agora suponha que as duas pessoas embora de tamanhos diferentes sejam semelhantes, isto é, todas suas dimensões lineares análogas relacionam-se na mesma proporção. Neste caso, que massa corporal deveria ter a pessoa mais alta?

 3.  O que se pode dizer da resistência dessa pessoa muito alta, com o peso calculado no item 2, guardando as características físicas da pessoa de estatura menor?

        Obs. O professor poderá obter informações do homem mais alto que já viveu no mundo no endereço abaixo.

 http://www.universo42.com/bizarrices/robert-wadlow-o-homem-mais-alto-do-mundo/  

             Sugerimos que o professor acesse o endereço abaixo onde se encontra dados técnicos e históricos sobre a estátua do Cristo Redentor na cidade do Rio de Janeiro e se julgar interessante, repasse algumas dessas informações para seus alunos.

   http://www.etur.com.br/conteudocompleto.asp?idconteudo=13921  

            O professor poderá formular exercícios do assunto como o exercício abaixo:

          "Em Congonhas do Campo (MG), onde se encontram as célebres estátuas dos profetas, esculpidas pelo Aleijadinho, os artistas modernos reproduzem miniaturas destas obras com o mesmo tipo de pedra-sabão usada pelo famoso artista. Uma destas miniaturas, com 20 cm de altura, pesa cerca de 2 quilos. Sabendo-se que a estátua original tem 2 metros de altura, qual deve ser aproximadamente, o peso desta estátua?"

 (Extraído do livro: Máximo, A. e Alvarenga, B. Curso de Física, Vol. 1, ed. Scipione, 4 edição, 1997)