- Analisar o processo de obtenção da sombra de um corpo sólido por meio da utilização de sistemas cilíndricos de projeção.

- Analisar como as sombras são produzidas por fontes luminosas naturais.

- Executar os procedimentos gráficos necessários para a representação da sombra de um corpo sólido, a partir de uma representação deste em perspectiva.

- Analisar as variações da razão entre a medida da sombra projetada de um elemento objetivo e a altura deste, em função do ângulo de incidência de raios solares ou de projetantes. 

Os alunos devem dominar o conceito de projeção e saber executar a  representação de objetos simples em perspectiva isométrica ou desenho isométrico.

Antes da aula:

O professor deverá preparar algumas peças simples, confeccionadas em papel cartão ou outro material de baixo custo, que servirão como referência para as atividades 1 e 2. Sugerimos que as peças tenham algum recorte ou ressalto – ver exemplo abaixo – , de modo a permitir uma análise mais completa do processo de obtenção da sombra projetada.

O número de peças a serem produzidas poderá variar em função do número de alunos na turma, mas recomendamos que os grupos formados para a realização das atividades não tenham mais de quatro alunos, o que daria uma média de uma peça para cada par de alunos. A critério do professor, a produção das peças também poderá ficar a cargo dos alunos, embora, nesse caso, estes devam receber, com antecedência, instruções precisas para a sua elaboração.

Iniciando a aula:   

Um corpo sólido, quando exposto a qualquer fonte luminosa, pode produzir dois tipos de sombra:

a) sombra própria, que nada mais é do que a região de sua superfície sobre a qual não incidem diretamente os raios luminosos.   

b) sombra projetada, que constitui a projeção, por meio dos raios luminosos, do contorno aparente do corpo sobre um ou mais anteparos. Esse tipo de sombra pode apresentar inúmeras variações, em função, principalmente, do tipo de fonte luminosa – própria ou imprópria –, da posição do objeto em relação ao(s) anteparo(s) e do tipo de objeto projetado.

A proposta para a presente aula restringirá o estudo das sombras ao segundo tipo acima mencionado, analisando como as sombras projetadas são obtidas a partir de fontes luminosas impróprias, isto é, aquelas cujos raios luminosos não se originam de uma fonte pontual (centro de projeção próprio), ou, ainda, quando a fonte encontra-se tão distante do objeto (centro de projeção impróprio) que os raios por ela emitidos são considerados paralelos, deslocando-se, portanto, segundo uma mesma direção.

Podemos estabelecer uma associação direta entre as fontes luminosas próprias e o sistema cônico de projeção, bem como entre as fontes luminosas impróprias e o sistema cilíndrico de projeção. Este último servirá como referência para as atividades a serem desenvolvidas na aula.

Atividade 1

Divididos em grupos, os alunos deverão representar, em perspectiva isométrica, os dois modelos entregues pelo professor.

O professor deverá entregar a cada grupo duas peças poliédricas simples, que devem ser preparadas - ou solicitadas aos alunos - com antecedência  . De posse dos modelos, caberá aos alunos representá-los em perspectiva ou desenho isométrico. Esses desenhos servirão de base para as atividades seguintes.

Atividade 2

Colocando os modelos próximos a uma janela, os alunos deverão observar sua sombra projetada e quais os elementos necessários para a formação desta.

Nessa atividade, os alunos deverão analisar como se processa a formação da sombra projetada de um objeto, a partir da luz solar. Para efeitos práticos, podemos considerar o sol como um centro de projeção impróprio, pois está tão distante da Terra que os raios luminosos por ele emitidos incidem paralelamente sobre o planeta. Assim, as projeções obtidas por meio da luz solar assemelham-se àquelas obtidas por meio do sistema cilíndrico de projeção.

Desse modo o professor deverá orientar os alunos a buscar uma associação entre as projeções observadas e os elementos que compõem o sistema cilíndrico de projeção - projetantes paralelas segundo uma direção dada, elemento objetivo, anteparo e projeção. Para isso, deverão ser considerados os seguintes aspectos:

- a direção das projetantes e o ângulo por elas formado em relação ao anteparo (mesa)

- os elementos objetivos cujas projeções correspondem aos vértices que definem o perímetro da sombra projetada

Em seguida, os alunos deverão, utilizando os elementos do sistema cilíndrico de projeção,  executar a representação da sombra dos dois objetos a partir da representação destes em perspectiva, produzida na atividade 1.

Atividade 3 

Por meio de exercícios, os alunos deverão analisar a relação entre a direção das projetantes e a variação da razão entre a altura do sólido objetivo e o tamanho de sua sombra projetada.

Vários problemas da geometria espacial podem ser resolvidos com o emprego de recursos da geometria plana. A determinação da altura máxima de um corpo sólido, por exemplo, pode ser determinada a partir das relações proporcionais e/ou trigonométricas existentes entre os triângulos retângulos formados pelas alturas dos elementos objetivos, as medidas de suas sombras e as retas projetantes. A partir das medidas projeções obtidas, é possível, ainda, calcular a área da sombra projetada.

Tales de Mileto, no séc VI a.C., teria sido o primeiro a vislumbrar essa possibilidade, tendo conseguido determinar a altura da grande pirâmide de Quéops, no Egito, por meio de um procedimento tão simples quanto genial. Tales percebeu que, em uma determinada hora do dia, a sombra de qualquer objeto apoiado no chão correspondia exatamente à sua altura - o que, naturalmente, também se aplicava à pirâmide.

Os recursos da escala, dos sistemas projetivos e da persectiva permitem que possamos reproduzir situações semelhantes a essa, sem a necessidade de realizar, na prática, essa exeperiência (diga-se de passagem, um recurso válido para uma aula cujo foco seja o Teorema de Tales).

Nesse sentido, sugerimos que o professor proponha exercícios conjugando a representação gráfica da sombra - conforme feito na conclusão da atividade 2 - e o uso de relações proporcionais e trigonométricas, podendo utilizar, como modelo, o exemplo abaixo, disponibilizado no endereço http://www.4shared.com/document/rPqTc8g6/Exerccio_sombra_com_resp.html  

O que se espera que os alunos percebam em primeiro lugar, nessa atividade, é que a extensão da sombra projetada a partir da altura de um ponto varia em função da relação entre esta e a inclinação das projetantes. Assim, poderão ser identificadas três situações distintas:

- quando o ângulo de incidência em relação ao anteparo possui medida maior que 0° e  menor que 45°, a extensão da sombra é superior à altura do elemento projetado.

- quando o ângulo de incidência em relação ao anteparo possui medida igual 45° a extensão da sombra é congruente com a  altura do elemento projetado.

- quando o ângulo de incidência em relação ao anteparo for de 90° a sombra projetada apresentará redução máxima, isto é, estará reduzida a um ponto.

Unindo as projeções obtidas para cada ponto aos pés de suas respectivas alturas, obtém-se a sombra projetada do objeto.

O segundo objetivo da atividade, é que os alunos consigam inferir, a partir das relações métricas verificadas, ferramentas para a solução de problemas geométricos.

Os sítios abaixo contém informações que possibilitam um aprofundamento teórico sobre o conteúdo da aula:

http://www.desenhoprojetivo.pro.br/htmlgd/sombrasp1.htm    

http://www.desenhoprojetivo.pro.br/htmlgd/sombrasp2.htm 

A avaliação da aula deverá tomar como referência a desenvoltura apresentada pelos alunos para analisar e representar as situações observadas, bem como resolver os exercícios propostos. A competência de aplicar essas observações na elaboração e utilização de um modelo teórico também constituirão um importante elemento para verificar se houve a construção do conhecimento e se esta se deu em bases consistentes.