• Comparar e estabelecer relações entre grandezas;
• Resolver problemas com grandezas inversamente proporcionais;
• Interpretar e discutir resultados das situações-problema; e,
• Criar sentido nas atividades de grandezas inversamente proporcionais.

• Realizar operações com números inteiros;
• Saber orientar-se na reta numérica dos números inteiros;
• Compreender o que são números simétricos e saber a sua representação na reta numerada;
• Operar razão e proporção;
• Ter noção intuitiva de grandeza inversamente proporcional e diretamente proporcional

               Olá Professor. O trabalho com grandezas inversamente e diretamente proporcionais é hoje desenvolvido na 6ª série do Ensino Fundamental, usando-se apenas livros didáticos, de forma muito abstrata, com situações-problema longe do cotidiano dos alunos. Por esse motivo, a maioria dos alunos sente dificuldades em resolver os problemas relacionados com as grandezas inversamente proporcionais.
               Compreender estas relações de proporcionalidade de forma significativa ajuda a desenvolver conceitos que se constituirão em âncoras na transposição didática para a aprendizagem de conceitos relacionados com outras áreas das ciências, facilitando a interdisciplinaridade.
Em nosso dia-a-dia, há uma grande dificuldade em relacionar grandezas, como por exemplo, a relação de proporcionalidade inversa entre velocidade utilizada por um carro ao percorrer uma mesma distância ou a relação de proporcionalidade direta entre a quilometragem percorrida e o volume de combustível requerido para o respectivo consumo.
               Outro exemplo de proporcionalidade inversa é encontrado nas gangorras de parques e praças, onde as crianças mais pesadas têm que se afastar da extremidade indo em direção ao seu centro, ou ponto de apoio, a fim de equilibrar uma criança mais leve colocada na outra extremidade. Esperamos que esse objeto de aprendizagem possa ajudar o aluno a desenvolver estratégias e encontrar soluções acerca de situações-problema que requeiram o conhecimento das relações inversas e diretas entre grandezas.

Na sala de aula

1º. Momento

               Antes de iniciar qualquer atividade com o livro didático, sugerimos que se proponha uma situação significativa com os alunos. Poderia até pedir que eles criem uma situação envolvendo velocidade e tempo. Por exemplo: Se uma viagem, para qualquer cidade do conhecimento do aluno, dura 2 horas a 80 km/h. Quanto tempo levaria se viajarmos a 120 km/h?
               Depois de criada a situação-problema fazer perguntas do tipo:
                    • Se aumentássemos a velocidade, gastaríamos menos tempo de viagem?
                    • E se diminuíssemos a velocidade o que aconteceria?

               Depois de discutir essas questões e observar atentamente as repostas dos alunos, você Professor, poderia, junto com eles, formar questionamentos conduzindo-os a uma reflexão sobre a formulação dos conceitos relativos à proporcionalidade entre grandezas, tais como:
                    • Quanto mais rápido é o carro: maior é a sua velocidade e menor é o tempo gasto para fazer o trajeto da viagem.
                    • Quanto mais devagar o carro: menor é a sua velocidade e maior é o tempo gasto para fazer o trajeto da viagem.
               No momento em que os alunos compreenderem a relação de proporcionalidade entre as grandezas, peça a eles criem seus própr ios problemas.

2º. Momento

               Professor construa com os alunos uma gangorra de madeira para que os alunos possam conhecer melhor o sistema da gangorra antes de irem à Sala de Informática, e assim, entender melhor os objetivos propostos do aplicativo a ser utilizado.
               Para criar a gangorra é necessário:
                    • Uma vareta de 40 cm de madeira leve.
                    • 21 parafusos tipo gancho pequeno.
                    • 20 chumbadas de pescaria com massas iguais (+/- 25 g)
                    • Linha nylon fina para amarrar as massas
                    • Uma régua de 30 cm para que os ganchos tenham a mesma distância.

               Se tiver disponibilidade de material, sugerimos a construção de duas gangorras para dividir a sala em dois grupos e para que os alunos possam participar mais. Não tendo disponibilidade, o professor pode construir uma gangorra juntamente com a turma para a sala toda.
               Professor, peça aos seus alunos que criem situações-problema que envolvam conhecimentos prévios, relacionando a gangorra com um parque de diversões.

Figura 1. Modelo de uma Gangorra

               Durante a atividade propor algumas situações, como por exemplo:
                   • Colocar 03 (três) pesinhos no quarto gancho (da esquerda ou direita) do ponto de apoio.
                   • Pedir que os alunos que equilibrem a gangorra usando 04 (quatro) pesinhos em um mesmo gancho do lado oposto.

               No começo, eles vão demorar porque irão fazer por tentativa e erro, mas esse é um passo necessário para que os alunos estabeleçam alguma relação durante a atividade.
               Depois de algum tempo o professor poderá ajudar os alunos fazendo perguntas do tipo:
                   • Se o número de pesinhos aumentou, então devemos aproximar ou afastar mais ainda os pesinhos com relação ao ponto onde sustentamos a gangorra? Com este questionamento espera-se levar o aluno a estabelecer a relação inversa entre pesinho e distância.

               Professor, para finalizar a atividade, você poderá verificar se o aluno já desenvolveu alguma estratégia de solução. Podendo dar algumas dicas, como por exemplo:
                   • Quanto é 4 x 3? (4 é a posição dos pesos em relação ao ponto de apoio e 3 é a quantidade de pesos que foi proposta). Quando eles responderem que são 12 (doze). Explique que se o pro duto de um lado da gangorra é igual a 12 (doze) do outro lado temos que ter 12 (doze) também para que a gangorra fique em equilíbrio. Portanto, os quatro pesinhos devem ser colocados no terceiro gancho.
               Professor crie outras situações e oriente para cada uma das soluções com o objetivo que seus alunos desenvolvam estratégias para soluções dos problemas.

Atividade 2:
               Partindo da situação anterior, 03 (três) pesinhos no quarto gancho da esquerda, perguntá-los agora que quantidade de pesos podem ser colocados no segundo gancho do lado oposto. Os alunos perceberão que colocar 06 (seis) pesos no segundo gancho equilibrará a gangorra. Propor então que eles distribuam os pesinhos em dois ganchos e que em cada gancho coloque 03(três) pesinhos. A solução é colocar 03 (três) pesinhos no gancho nº 1(um) e outros 03 (três) pesinhos no gancho nº 3 (três).
               Essa atividade ajuda o aluno a raciocinar que pode equilibrar a gangorra utilizando ganchos diferentes e o encaminha a desenvolver noções de equações.
Formular outras situações-problemas que levem os alunos a estabelecer a equação matemática, como por exemplo: o somatório do número de pesinhos vezes a distância entre o ponto de equilíbrio e o gancho do lado esquerdo é igual ao somatório do número de pesinhos vezes a distância entre o ponto de equilíbrio e o gancho do lado direito.

Na sala de computadores

               Professor levar seus alunos ao laboratório. Peça a eles que fiquem em duplas e lápis e papel para auxiliar nas operações matemáticas. Procurar relembrar as atividades realizadas em sala de aula. Depois de acomodados, peça a eles que acessem o sítio http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/gangorra/gangorra.html. Aparecerá a tela abaixo:

               Peça aos seus alunos que cliquem no botão “Iniciar”, será mostrada a tela:

               Será mostrada uma pequena sequência de telas onde os personagens farão uma pequena introdução sobre a montagem da balança. Caso ache desnecessário, peça aos alunos que cliquem no link “Pular introdução...”, localizado na parte inferior do lado direito. Aparecerá então a tela abaixo:

               Professor oriente seus alunos que todo o conceito visto em sala de aula deverá ser utilizado no aplicativo. Peça aos seus alunos que com o mouse cliquem e mantenha pressionado e arraste o peso até um dos ganchos, da gangorra, localizado no lado oposto peso com valor desconhecido. Esclareça que a gangorra só possui duas variações, ou seja, se o lado esquerdo estiver mais pesado, fica totalmente inclinada para o lado esquerdo e se estiver mais pesada no lado direito, fica inclinada para o lado direito. Comente que o aplicativo conta os movimentos para que se observe como os alunos estão desenvolvendo sua capacidade frente aos desafios, ou seja, quanto menor o número de movimentos melhor será o rendimento deles, significa que o aluno está se valendo de estraté gias. Professor acompanhe e observe como os alunos estão resolvendo as situações propostas pelo software.
               Professor, depois da atividade pergunte aos seus alunos sobre quais dificuldades que eles tiveram ao manipular o aplicativo. Perguntar qual a relação que eles encontraram durante a manipulação da gangorra real e da gangorra virtual. Perguntar se utilizaram algum tipo de estratégia.
               Resolver algumas questões do livro didático e analisar de forma crítica as situações ali propostas.

               É importante que a avaliação seja mediadora da aprendizagem, ou seja, que o professor acompanhe cada dupla de alunos no momento da interação com o objeto. Nesse momento, convém observar as hipóteses levantadas para a solução de cada situação proposta e o progresso individual alcançado pelos alunos. Essa avaliação é qualitativa, logo nesse momento não convém se preocupar com aspectos quantitativos. O importante é perceber se os alunos apropriaram-se dos conceitos relacionados a grandezas inversamente proporcionais e são capazes de utilizar esses conceitos em outras situações-problema quando solicitados. O professor também deve identificar aqueles que estão em dificuldades em perceber tais conceitos e se colocar como mediador criando situações de contextualização.
               Durante a avaliação, procurar observar como os alunos interagem entre si e como eles estão participando da aula. Por exemplo: durante a confecção da gangorra, perceber quais alunos encontram-se desinteressados e procurar motivá-los para a atividade que está sendo proposta. Durante as situações de aprendizagem observar quais estão superando as dificuldades e se estes estão procurando colaborar com o colega, a fim destes também superarem suas dificuldades. Por fim, para realizar uma avaliação quantitativa, sugerimos ao final de todas as atividades uma lista de exercícios com situações parecidas com as atividades propostas em sala de aula. Por exemplo, se em uma gangorra tenho três pesos pendurados no lado esquerdo, onde devo pendurar 5 pesos? (* Dica: desenhar a gangorra com três pesos pendurados no quinto gancho. A resposta será pendurar 5 pesos no terceiro gancho).