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A Função Quadrática no Cotidiano

 

09/11/2010

Autor e Coautor(es)
Raquel Cupolillo Simões de Sousa
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RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Armando Tramontano; Edite Resende Vieira; Fernando Celso Villar Marinho; Rita Maria Cardoso Meirelles; Victor Paixão

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Pesquisar e analisar onde a função quadrática pode ser aplicada no cotidiano;

Relacionar área de um triângulo com a função quadrática;

Trabalhar os conceitos de vértice e sinal da função;

Relacionar o sinal do delta com o número de raízes.

Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Função Quadrática – Estudo do foco, diretriz e eixo de simetria.

Função Quadrática – Conceito de vértice

Semelhança de triângulos

Intervalos reais

Estratégias e recursos da aula

     

     Caro Professor, apresentaremos agora uma sugestão de sequência didática. Adaptá-las à realidade da sua escola e ao perfil de sua turma é o ponto de partida para a realização de um ótimo trabalho.

Atividade 1: Construção da Parábola Através da Dobradura  

      Nesta etapa os alunos irão trabalhar em grupos em sala de aula e irão verificar a formação da parábola a partir da reta diretriz e do foco. Esta atividade foi adaptada de [MACH 2007 apud SATO, 2004: p. 32]. É muito importante que a turma já tenha trabalhado os conceitos supracitados.

      Pedir para a turma trazer uma folha de papel-manteiga e proceder da seguinte forma:  

  1. Trace uma reta diretriz d.
  2. Marque um ponto F fora dessa reta, o mesmo será o foco da parábola;
  3. Tome um ponto P` da reta d;
  4. Trace uma reta perpendicular r, à reta diretriz passando pelo ponto P`;
  5. Dobre a folha fazendo sobrepor o ponto P` ao ponto F (foco);
  6. Trace uma reta t coincidindo com a dobra feita;
  7. Marque o ponto de interseção de t com r;
  8. Repita o processo, tomando outros pontos sobre a reta d;
  9. Ligue os pontos de interseção das dobras com as perpendiculares que passam pelos pontos considerados sobre a reta d;

Figura 1: Construção a parábola através do método da dobradura

Fonte: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolas-curvas-preciosas.pdf

Atividade 2: Construção de um refletor de raios luminosos

      A turma, após terminar a construção através de dobradura, continuará em sala de aula e nos mesmos grupos, receberá orientações para a contrução de um refletor de raios luminosos, cuja seção transversal tem o formato de uma parábola. Tomando apenas esta seção, enfatize o fato de que os raios de luz irão incidir paralelamente ao eixo de simetria desta, comprovando uma das propriedades das parábolas que são utilizadas nas antenas parabólicas. Esta atividade foi retirada de [MACH 2007]. Incentive a turma a descobrir tal propriedade.

Figura 2: Refletores construídos [MACH, 2007]

Fonte: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolas-curvas-preciosas.pdf

      Para realizar esta construção acesse o link abaixo:  

      Disponível: http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-atividade1-proposta.pdf   

      Acesso: 12/09/2010   

      Professor, estabeleça previamente um planejamento com a equipe de Física da sua escola para trabalharem em parceria, onde seja proposto um trabalho em grupo, relacionando o conteúdo matemático com o conteúdo de Física, em Óptica, ao se trabalhar com a incidência de raios e propriedades de espelhos esféricos.

Figura 3: Propriedades de espelhos esféricos

Fonte: http://75.125.35.18/~moatha/farroupilha/downloads/optica-3.pdf  

Atividade 3: Estratégias para a obtenção do vértice da função quadrática

     

      Professor, a turma fará este desenvolvimento no caderno, em sala. Resgate o procedimento para a obtenção do vértice da parábola através da forma canônica, porém agora peça para a turma executar o processo descrito. Assim, temos que o xv pode ser obtido:

  • calculando o ponto médio das raízes, isto é, se considerarmos m e n como raízes teremos que xv=(m+n)/2;
  • observando que as translações horizontais e verticais tomando a função x2 como ponto de partida, são de –b/(2a) para a abscissa que é o xv e de f(-b/(2a)) para o yv do vértice, respectivamente, temos

Figura 4: Dedução da ordenada do vértice - Imagem da autora

      Ressalte o fato de que  b2-4ac também pode ser representado pela letra grega delta e chamado de discriminante.

      Encaminhe sua turma para o laboratório de informática, pois para a execução das atividades 4, 5 e 6 é necessário ter recursos que viabilizem a exibição das atividades, tais como a projeção através de data show e a utilização dos computadores. Este último é de grande importância pois permite que os alunos assumam uma postura investigativa diante dos desafios propostos.

      Professor, nesta aula você poderá utilizar outra ferramenta para facilitar o entendimento da sua turma, trata-se do software Nippe Descartes, cujas atividades propostas promovem a interação com o objeto de estudo.

Atividade 4: Máximo ou mínimo da parábola

 

      Neste momento a turma deve concluir que o objetivo deste problema é encontrar a ordenada do ponto de máximo, ou seja, a ordenada do vértice (yv).

      O desenvolvimento a seguir foi adaptado de um artigo disponível em :

                          http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf 

      Acesso: 31/08/10

      (Fuvest – 1992) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura abaixo.

Figura 5: O problema do retângulo inscrito

Fonte:  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

a) Exprima y em função de x.

b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?       

Comentário: Logo, o vértice não será superado por nenhum outro ponto da parábola e, por este motivo será chamado de ponto de máximo. O y do vértice recebe neste caso o nome de valor máximo.  Assim, a ordenada do vértice da parábola pode ter seu valor máximo ou mínimo quando estudamos as funções quadráticas com domínio no eixo horizontal (x).        

a) A solução desta atividade pode ser encontrada utilizando a semelhança de triângulos, daí:

Figura 6: Semelhança - Imagem da autora

b)  A área da casa á retangular, logo, temos que a mesma é dada por: A = x . y. Porém, como y é dado em função de x, segue:

Figura 7: Modelagem da função quadrática - Imagem da autora

     Como o sinal de a= - 2/3 é negativo, temos que a concavidade é voltada para baixo. Uma vez que estamos procurando o ponto cuja área é máxima, precisamos encontrar as coordenadas do vértice. Sendo as raízes 0 e 30, a abscissa do vértice, dada pelo ponto médio destas raízes é 15 e o valor da ordenada correspondente é 10.   

      Concluímos que a altura e a base do retângulo inscrito de área máxima são a metade, respectivamente, da altura e da base do triângulo.

      A solução deste problema também pode ser obtida através de dobradura. Para análise do encaminhamento desta solução, visite o site  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf.

      É importante que os alunos visualizem esta animação após a realização da atividade proposta para a turma observar a conexão entre a área do triângulo e a modelagem de uma função quadrática.             

      Disponível: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19061 

      Acesso: 30/08/10

Figura 8: Problema do retângulo inscrito - Imagem da Autora

Atividade 5: Relacionando o delta com o número de raízes

      Para realizar esta atividade acesse:http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FQuadr4.html

a)  Calcule o valor de delta de cada uma das funções dadas abaixo.

i) y= (x-4)2 + 2                                            ii) y=2x2 – 2                                          iii) y=(x-4)2

iv) y= - (x+3)2 - 1                                        v) y=(-1/4)(x-1)2 + 1                             vi) y= - 4x2

b) Obtenha as raízes destas funções.

c) Represente tais funções no plano cartesiano dado variando os valores de a, m, n e k.

d) O que você pode observar sobre o sinal do delta e o número de raízes?

a)   i) delta = -56           ii) delta = 16           iii) delta = 0               iv) delta = -4                 v) delta = 1           vi) delta = 0

b) Chamando as raízes de x1 e x2, temos:

i) Esta função não admite raízes, pois não intercepta o eixo x. 

ii) As raízes são x1= -1 e x2=1  

iii) As raízes são x1=x2=2  

iv) Esta função não admite raízes, pois não intercepta o eixo x.  

v) As raízes são x1= -1 e x2=3

vi) As raízes são x1=x2=0  

d)

Atividade 6: Estudando o sinal da função

       Nesta etapa a turma utilizará as informações trabalhadas no momento anterior como base para as conclusões sobre o sinal da função.

      Para realizar esta atividade acesse:http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FQuadr5.html

a) Represente as funções abaixo no plano cartesiano dado variando os valores de a, m, n e k.

i) y= (x-4)2 + 2         ii) y=2x2 – 2         iii) y=(x-4)2           iv) y= - (x+3)2 - 1        v) y=(-1/4)(x-1)+ 1          vi) y= - 4x2 

b) Para cada item, observe no gráfico correspondente os valores de x para os quais: 1) y<0               2). y=0            3). y>0.

Comentário: Enfatize a discussão com a turma para a resolução de cada um dos itens.

      A atividade a seguir pode assumir o papel de um desafio ou ainda uma avaliação.

      Professor, previamente acesse o link:http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/ExerAula5.pdf .

     Tire cópias e distribua para os alunos que estarão em sala de aula. 

Atividade 7: Resolução e correção de exercícios

      Solicite que os alunos retornem a sala de aula, ocupem seus lugares e a seguir distribua a atividade.

      Informe aos alunos que esta atividade tem como objetivos a solidificação do conteúdo abordado.

     

Figura 9: Imagem da Autora

      Permita que eles façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça, então, que os alunos relatem as suas descobertas e desenvolva no quadro com a participação da turma as soluções encontradas.

Recursos Complementares

Recursos Educacionais 

Nome

Tipo

 Visualização de Mathlets gerados pelo software Nippe Descartes

Software Educacional - Animação

Recursos Complementares

Software Nippe Descartes      

      O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão1, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Página do Projeto Fundão:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/ 

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.    Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/

 2.   Baixar o arquivo contendo as atividades.

Site consultado: 

Referência Bibliográfica:

[MACH, 2007] MACHADO, Mirtes Tamy Gomes, Parábolas – As curvas preciosas, Programa de desenvolvimento educacional do Pará - 2007.   

Disponível : http://www.mat.uel.br/matessencial/superior/pde/mirtes-parabolas-curvas-preciosas.pdf         

 Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

  • A Geometria na Construção do Conceito de Função Linear
  • Telefonia Celular:- Qual operadora escolher? Um Problema para ser Resolvido com a Função Afim
  • Procurando uma Estratégia para não Sair no Prejuízo: Estudo de Inequações do 1º grau
  • Função Quadrática e suas Aplicações
  • Inequações do Segundo Grau e suas Aplicações Práticas    
Avaliação

Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados. Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos grupos durante o exercício 1 e também verificar se o processo de construção de gráficos foi apreendido do exercício 2.

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