01/12/2010
Rita Maria Cardoso Meirelles, Fernando Celso Villar Marinho, Armando Tramontano, Jackson Lopes, Raquel Cupolillo Simões de Sousa, Edite Resende Vieira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Geografia | Questões ambientais, sociais e econômicas |
Ensino Médio | Matemática | Análise de dados e probabilidade |
Educação Profissional | Gestão e Negócios | Técnico em Operações Financeiras |
Caro professor,
Estudos realizados na área de Educação Matemática (e também em outras áreas do ensino) apontam para o fato de que muitos alunos chegam à sala de aula de Matemática com um mesmo conjunto de questionamentos: “qual a aplicação disto no mundo real?”, “qual a utilidade deste tópico?”, entre outras “variações de um mesmo tema”. Estas questões têm mobilizado professores e pesquisadores da área na busca de soluções para tornar a Matemática mais atrativa para os alunos.
Neste sentido, esta aula possibilita que os estudantes façam simulações de diferentes situações que podem ocorrer a contribuintes da Previdência Social Brasileira, trazendo para discussão o tema e proporcionando ao aluno desenvolver análise crítica e inserir-se no contexto social do país.
A Previdência Social Brasileira
Como relatado por TATSCH, SANTOS & BISOGNIN (2006), no Brasil é imposta a todo trabalhador a contribuição com um plano de aposentadoria, através de descontos realizados mensalmente sobre o salário recebido. No entanto, como apontam as autoras, a maioria dos contribuintes não realiza os cálculos para prever seu futuro; nem ao menos procura saber o quanto renderia seu dinheiro se, ao invés de contribuir com um plano de aposentadoria, fizesse depósitos mensais em algum fundo de investimento, como a caderneta de poupança.
O Regime Geral de Previdência Social (operador pelo Instituto Nacional de Seguridade Social – INSS) está voltado para todos os trabalhadores regidos pela CLT (Consolidação das Leis Trabalhistas), isto é, assalariados em geral, empregadores e funcionários públicos celetistas ou estatutários. Além disto, existem os Regimes Próprios de Governos dos Servidores Públicos, para os estados da federação que tenham instituído regime próprio de previdência, e o Regime de Previdência Complementar, operador em geral por empresas com fins lucrativos e também conhecido por “previdência privada”. Nesta aula exploraremos as particularidades do regime operado pelo INSS, com dados informados no artigo “Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino-Aprendizagem: Questões sobre a Previdência Social Brasileira”, de dezembro de 2006. Isto significa que você, professor, ao aplicar esta aula, deve ter total liberdade para atualizar os dados referentes a faixas de contribuição e à legislação referente à sistema previdenciário brasileiro.
Abaixo, temos a Tabela 01, que apresenta as faixas de contribuição mensal dos empregados, de acordo com o seu salário:
Salário de Contribuição (R$) |
Alíquota para recolhimento do INSS (%) |
Até 800,45 |
7,65 |
De 800,46 a 900,00 |
8,65 |
De 900,01 a 1.334,07 |
9,00 |
De 1.334,08 a 2.668,15 |
11,00 |
(Tabela 01)
De acordo com a legislação em vigor, todo contribuinte tem direito a aposentadoria, que pode ser integral ou parcial. Para ter direito à aposentadoria integral, o trabalhador homem deve comprovar 60 anos de idade e 35 anos de contribuição; e a mulher, 55 anos de idade e 30 anos de contribuição. Já para a aposentadoria parcial (ou proporcional), o trabalhador precisa atender a dois requisitos: para os homens são necessários 53 anos de idade e 30 anos de contribuição, e mais um adicional de 40% sobre o tempo que faltava em 16 de dezembro de 1998 para completar 30 anos de contribuição; para as mulheres, são necessários 48 anos de idade, 25 anos de contribuição e mais um adicional de 40% sobre o tempo que faltava em 16 de dezembro de 1998 para completar 30 anos de contribuição.
Na pesquisa que baseia esta aula, as autoras relatam que o que intriga muitos trabalhadores é que, se ele contribui sobre 3 ou mais salários mínimos, por que no momento da aposentadoria ele não obtém o valor esperado? Na tentativa de responder algumas questões sobre o tema, as autoras propõem diversas situações-problema, que darão a tônica desta aula. Por questões práticas, esta aula não fará citação a todo momento ao artigo-base; fica subentendida esta citação, pois todos os problemas propostos advém da mesma fonte.
Estão propostos nesta aula um total de quatro atividades, delimitadas por problemas envolvendo simulações de contribuição e previdência de uma mesma trabalhadora.
Conduza os alunos ao longo do processo de modelagem e resolução dos problemas, tendo como objetivo definir qual seria o melhor rendimento para a trabalhadora em questão: contribuir com a previdência ou aplicar o mesmo valor mensal na Caderneta de Poupança.
Recomendamos o uso de calculadora para efetuar as operações aritméticas, sempre observando a recomendação ao longo da aula acerca do número de casas decimais a considerar. Em todos os casos, como estamos tratando de valores monetários, as respostas finais aparecerão com duas casas decimais.
Sinalizamos ainda para a viabilidade de - de acordo com o nível de conhecimento e interesse da turma - desenvolver algebricamente as fórmulas de somas de progressões geométricas que aparecerão ao longo da solução de alguns problemas. Além da modelagem do problema, este é um outro momento da aula de possível integração entre a Matemática e o cotidiano.
Induza os alunos a participarem da modelagem do problema, seja fazendo questionamentos sobre como prosseguir, ou ainda deixando que eles dêem sugestões de como modelar o problema. Neste caso, utilize as estratégias contidas nesta aula como um norteador, que você terá sempre como objetivo ao longo deste processo de modelagem.
Caso opte por desenvolver mais detalhadamente alguns pontos da aula, deve-se trabalhar com dois problemas por aula, incluindo a avaliação ao final da segunda aula (ou como uma terceira aula, opcional). Caso contrário, basta uma aula e meia para discutir os problemas e a segunda metade da segunda aula para avaliação do aprendizado.
“Considera-se uma trabalhadora regida pelo RGPS e que recebe um salário mensal de R$ 1.500,00. Pergunta-se: qual o valor em reais que essa trabalhadora acumularia, em 30 anos de serviço se, ao invés de ter o percentual de contribuição ao INSS descontado de seu salário, ela pudesse depositar esse valor em uma Caderneta de Poupança a uma taxa fixa de 0,7% ao mês?”
Estratégia:
De acordo com os dados da Tabela 01, o desconto desta trabalhadora é de 11%, o que corresponde a R$ 165,00. Logo, ela deve aplicar mensalmente este valor em uma Caderneta de Poupança que renderá 0,7%. Consideremos neste problema um modelo matemático que nos forneça o montante, em reais, após 30 anos de contribuição.
Seja q0 o valor inicial a ser depositado, mensalmente, a uma taxa de juros i mensal. No início do primeiro mês o saldo da poupança é q0; no início do segundo mês, o saldo é de (q0 + iq0) + q0; no início do terceiro mês, temos
q0(1 + i)2 + q0(1 + i) + q0.
Portanto, no início de cada mês, temos:
Início do mês |
Valor |
1 |
q0 |
2 |
(q0 + iq0) + q0 |
3 |
q0(1 + i)2 + q0(1 + i) + q0 |
Prosseguindo deste modo, após n meses o saldo acumulado é de:
Sn = q0 + (1 + i)q0 + (1 + i)2q0 + (1 + i)3q0 + ... + (1 + i)n-1q0 + (1 + i)nq0
Esta soma representa uma progressão geométrica (PG) dada por:
A partir do modelo matemático construído, o saldo acumulado pela trabalhadora nestes 30 anos (ou seja, 360 meses), depositando mensalmente R$ 165 em uma Caderneta de Poupança que rende 0,7% ao mês é de:
Dica: Para facilitar, no momento de realizar a conta acima com os alunos, lembre-se de manter o resultado arredondado com duas casas decimais a cada etapa do cálculo (exceto o fato de que o valor 0,007 possui 3 casas decimais). Considere ainda que (1,007)361 = 12,41.
Você, professor, pode conduzir os alunos ao longo da resolução através de questionamentos como:
“Quantos salários de R$ 1.500,00 a trabalhadora terá disponível, após esses 30 anos de depósitos fixos na Caderneta de Poupança?”
Estratégia:
Fazendo a divisão entre o valor obtido no problema anterior e seu sálário, temos:
268.950,00 / 1.500,00 = 179,3 salários
Ou seja, ela terá aproximadamente 15 anos de salário após sua aposentadoria.
Considerando que a trabalhadora se aposente com 60 anos de idade, e considerando que a expectativa de vida na região onde vive seja de 73 anos, ela terá 15 anos de salário de R$ 1.500,00 garantidos, gerindo sua própria contribuição. Na verdade, como apontam as autoras do artigo-base, ela terá um valor maior, dado que mesmo enquanto estiver fazendo as retiradas mensais (e não fazendo mais depósitos) a poupança continuará a render mensalmente sobre o valor remanescente.
É importante neste ponto que os alunos sejam levados a perceber esta comparação. Você, professor, pode fazê-los perguntas como:
"Com o saldo da Caderneta de Poupança, qual o valor mensal que essa trabalhadora poderá retirar como aposentadoria e ter garantido um salário até o final da vida?"
Estratégia:
Dados da Organização Mundial de Saúde informados pelo artigo-base, informam que a expectativa de vida de uma pessoa aposentada é de 30 anos. Supondo que a trabalhadora em questão tenha um saldo na Poupança que rende juros a uma taxa i, com saldo inicial S'0 e que todo mês faça uma retirada fixa, r. Vamos descrever neste caso um modelo matemático que permita calcular o saldo após cada retirada mensal.
Após a retirada do primeiro mês, o saldo restante é S'1 = (1 + i)S'0 - r. Após a segunda retirada, temos como saldo S'2 = (1 + i)S'1 - r = (1 + i)2S'0 - [(1 + i)r + r].
Prosseguindo neste raciocínio, após a retirada no n-ésimo mês o saldo restante é:
S'n = (1 + i)nS'0 - [(1 + i)n-1r + ... + (1 + i)r + r]
Logo:
Considerando que depois de n retiradas (n meses) o saldo é zero, temos:
Se considerarmos que no Problema 01 chegamos a um saldo S360 após a aplicação mensal de 30 anos, temos um valor inicial S'0 ao se iniciarem as retiradas, isto é, S'0 = S360. Portanto:
Assim, r = R$ 2.689,50
Dica: Para facilitar, no momento de realizar a conta acima com os alunos, lembre-se de manter o resultado arredondado com duas casas decimais a cada etapa do cálculo (exceto o fato de que a taxa 0,007 possui 3 casas decimais). Considere ainda que (1,007)-361 = 0,08.
Deste modo, se a trabalhadora viver 30 anos após a aposentadoria, poderá fazer uma retirada mensal vitalícia de R$ 2.689,50, caso ela pudesse gerir sua própria contribuição.
"Vamos comparar o valor encontrado com o valor do benefício de aposentadoria que a trabalhadora teria, caso tivesse contribuído para o INSS durante os mesmos 30 anos."
O seguinte modelo descreve o cálculo da aposentadoria por meio do Regime Geral de Previdência Social:
Benefício = Y x F,
onde Y é a média dos 80% maiores salários de contribuição e F é o Fator Previdenciário, que é calculado do seguinte modo:
Tc = tempo de contribuição
a = alíquota de contribuição (0,31)
Id = idade do trabalhador na data da aposentadoria
Es = expectativa de vida na data da aposentadoria
(Estas informações podem ser obtidas também na página do Ministério da Previdência Social, indicada como recurso complementar a esta aula)
Uma trabalhadora que recebe R$ 1.500,00 por mês terá, após 30 anos de contribuição, um benefício de aproximadamente R$ 1.648,14, segundo o artigo-base, que cita como fonte de cálculo o endereço www.inss.gov.br. Um cálculo atualizado pode ser feito no endereço citado.
Os alunos, ao observarem este resultado, podem ser questionados com o intuito de mostrar qual dos dois métodos é mais conveniente para a trabalhadora:
Mostre aos alunos ainda, em meio a perguntas motivadoras, as importantes informações abaixo (em particular a que consta no último parágrafo).
Comparando Soluções
Ao final da quarta atividade - e discussão dos quatro problemas -, é oportuno conduzir os alunos a compararem os resultados obtidos, de modo a obter uma "conclusão" (ou resposta) para a pergunta: "Afinal, é mais vantajoso poupar na Previdência, ou prevenir na Poupança?"
Comparando as soluções dos dois últimos problemas, podemos constatar que é mais vantajoso para a contribuinte gerir sua própria contribuição através da Caderneta de Poupança.
O artigo-base ressalta que a simulação realizada (e que você, professor, poderá adaptar livremente ao momento atual e à realidade de seus alunos) é real, com o salário corrigido monetariamente a cada mês, enquanto o Problema 03 foi desenvolvido com salário e taxa de rendimentos fixos. Isto significa na prática que o valor do benefício pode ser ainda maior se levarmos em conta aumentos salariais e de taxa de rendimentos da Poupança.
Artigo-Base, utilizado na confecção da aula:
TATSCH, K., SANTOS, L. & BISOGNIN, V. Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino-Aprendizagem: Questões Sobre a Previdência Social Brasileira. Educação Matemática em Revista - RS, n.7, dez/2006, SBEM/RS, pp. 79-85.
Ministério da Previdência Social. Cálculo do Fator Previdenciário. http://www1.previdencia.gov.br/pg_secundarias/beneficios_04_06-A.asp. Acesso em setembro de 2010.
A critério de avaliação, os alunos podem realizar um trabalho que consiste em buscar nos meios de comunicação as taxas atuais de rendimento da poupança e dos fundos de previdência privada, de modo a compará-los com a Previdência Social e opinar sobre a melhor escolha, justificando sempre sua resposta com base nos procedimentos vistos ao longo da aula.
Recomendamos fornecer um ou mais cenários para simulação. Exemplos (você, professor, não precisa utilizar exatamente estes; são apenas ilustrativos):
Cinco estrelas 1 classificações
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09/02/2011
Cinco estrelasMuito bom!!! Fui realmente esclarecido sobre o assunto e agora vou tomar decisões conscientes.