06/11/2010
Armando Tramontano, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes da Cunha, Rita Maria Cardoso Meirelles, Victor Cesar Paixão Santos, Edite Resende Vieira
Modalidad / Nivel de Enseñanza | Disciplina | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Tecnologia para a matemática |
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
Manipular gráficos utilizando o Software Nippe Descartes para:
Analisar as situações nas quais duas grandezas variam numa relação funcional;
Apreender o conceito de variável;
Determinar a expressão algébrica da situação;
Diferenciar variável dependente de variável independente;
Trabalhar a idéia de domínio e imagem através de diferentes experimentações.
Área de figuras planas
Plano cartesiano
Desigualdade triangular
Intervalos
Módulo
Caro Professor, apresentaremos agora uma sugestão de sequência didática. Lembre que são sugestões. Adaptá-las à realidade da sua escola e ao perfil de sua turma é o ponto de partida para a realização de um ótimo trabalho. Encaminhe sua turma para o laboratório de informática, pois para a execução desta aula é necessário ter recursos que viabilizem a exibição das atividades, tais como a projeção através de data show e a utilização dos computadores. Este último é de grande importância, pois permite que os alunos assumam uma postura investigativa diante dos desafios propostos.
As atividades 1, 2 e 3 que estão transcritas na íntegra nesta aula, foram adaptadas do livro Álgebra: pensar, calcular, comunicar...integrante da produção bibliográfica do Projeto Fundão que “é uma equipe, formada de professores do Instituto de Matemática da UFRJ, professores da rede de ensino fundamental e médio do Estado do Rio de Janeiro e alunos de Licenciatura deste Instituto, trabalhando em prol da melhoria do ensino de matemática e pela valorização do professor, sob a coordenação da Professora Emérita Maria Laura Mouzinho Leite Lopes”(Trecho retirado do site oficial do Projeto Fundão).
Para saber mais sobre as pesquisas desenvolvidas por esta equipe acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br
A turma será dividida em duplas e cada uma ocupará uma máquina do laboratório e o encaminhamento das questões será feito através das projeções no data show. Nas atividades 1, 2, 3 e 4, é muito importante para a aquisição do conhecimento que ocorra o momento de investigação de cada atividade para que depois, você e sua turma cheguem juntos as conclusões desejadas.
Nesta aula você poderá utilizar outra ferramenta para facilitar o entendimento da sua turma, trata-se do software Nippe Descartes, cujas atividades propostas promovem a interação com o objeto de estudo. Explore a noção de variável. É necessário fazer os alunos atingirem uma consciência sobre a diferença entre considerar letras em equações (nas quais se trata de incógnitas e valores dados) e em funções (nas quais se trata de quantidades variáveis e constantes) [TINO, 2009 Apud SIER, 1992].
Relacionando a área do triângulo e abscissa
Utilize a atividade abaixo para perceber com a turma como a variação da abscissa influencia a área de um triângulo dado, observando seu comportamento através da interação com a cena dada.
Figura 1: Abscissa x Área do triângulo - Imagem da autora
Para realizar esta atividade acesse:http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FConstanteGeom1.html
Observe a figura. Nela, os pontos A e B são fixos e C pode ter o valor da abscissa alterado.
a) Escolha três valores para a abscissa x alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso. Comentário: É importante que os alunos visualizem as diferentes possibilidades antes de tentar obter a solução. Cada aluno escolherá os valores de entrada.
b) Calcule a área de cada um deles.
Comentário: Os alunos devem perceber que a área é a mesma.
c) Dê o conjunto de valores que x pode assumir.
Comentário: Ressalte que esta resposta é dada em função da análise feita na parte gráfica da atividade. Pergunte a turma se existem outras possibilidades de atribuição de valores de abscissa para construir os triângulos. Daí surge a resposta dada. É muito importante que os alunos a utilizem para fazer as experimentações, pois, através dela, é possível trabalhar com um maior número de exemplos o que amplia as oportunidades de aprendizagem durante a aula ao reduzir o nível de abstração via representações gráficas.
d) Compare as alturas e as bases desses triângulos.
e) A área dos triângulos depende dos valores de x? Justifique.
f) Determine o(s) valor(es) de x para que o triângulo ABC seja:
i) Um triângulo isósceles de base AB.
ii) Um triângulo retângulo
g) O tipo de triângulo depende dos valores de x?
h) Qual(is) é(são) o(s) valor(es) que a ordenada (y) pode assumir? Justifique.
a) Por exemplo, x=2, x=5 e x=6.
b) A área que deve ser encontrada é 40 u.a..
c) Nesta atividade a abscissa pode assumir qualquer número inteiro, porém podemos estender este conceito para qualquer número real.
d) Ambas são fixas.
e) Não, pois a alteração no valor da abscissa não muda o valor da área.
f) i) Um triângulo isósceles de base AB. A abscissa deve ser igual a -1;
ii) Um triângulo retângulo. A abscissa pode ser igual a -5 ou 3.
g) Sim, tanto sua classificação quanto a medida dos lados quanto em relação a medida dos ângulos.
h) Neste caso não ocorre variação no valor da ordenada pois a altura do triângulo não é alterada O valor da ordenada é 6.
Após concluir esta atividade a turma deve perceber que embora a abscissa sofra alterações, o valor da área correspondente a cada triângulo formado fica inalterado, uma vez que a base e a altura permanecem constantes.
Relacionando a área do triângulo com o conceito de função constante
Utilize a atividade abaixo para construir com a turma os conceitos da representação de uma função constante observando suas características através da interação com a cena dada.
Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FConstanteGeom2.html
Observe a figura. Nela, estão representados o triângulo ABC com as mesmas características da atividade anterior e um plano cartesiano onde faremos o gráfico que representará a situação proposta abaixo.
a) Escolha três valores para a abscissa x alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.
b) Calcule a área de cada um deles.
c) Registre na tabela dada os valores das abscissas escolhidas e a respectiva área encontrada.
Figura 2: Tabela Abscissa x Área - Imagem da autora
Comentário: Neste momento, devemos apresentar a representação de função desta área como A(x), uma vez que para cada x escolhido calculamos a área do triângulo gerado.
d) Forme pares ordenados, onde a primeira coordenada será da abscissa escolhida e a segunda a área correspondente. Exiba os pares formados no gráfico.
Primeiro par: ( , );
Segundo par: ( , );
Terceiro par: ( , ).
Comentário: Como a segunda coordenada que forma o par (x,y) é A(x), temos (x,y) = (x, A(x)), logo A(x)=y.
e) Se executarmos o mesmo procedimento para infinitos valores de x, qual será a figura formada? Exiba esta figura.
f) Qual(is) o(s) possível(is) valor(es) que y pode assumir?
a) Por exemplo, x=2, x=5 e x=6.
b) A área que deve ser encontrada é 40 u.a..
c)
Figura 3: Abscissa x Área do triângulo - Resposta - Imagem da autora
d)
e) A figura formada será uma reta.
f) A ordenada pode assumir apenas o valor 40.
Conclua mencionando que o gráfico gerado com esta atividade representa a função constante A(x)=40, onde para todo valor de x tomado, o valor de y correspondente permanece inalterado.
Pergunte a turma como poderíamos representar uma função constante qualquer. Uma função constante real f é representada por f(x)=c.
Os conceitos de domínio e imagem também devem ser introduzidos a partir da análise gráfica. Sugerimos algumas colocações que podem ser feitas para contribuir nesta etapa:
Assim, na função constante temos: Lei de formação: f(x)=c; Domínio: Dom(x) = R ; Imagem: I(x) = c.
Relacionando a área do triângulo e ordenada
Utilize a atividade abaixo para perceber com a turma como a variação da ordenada influencia a área de um triângulo dado, observando seu comportamento através da interação com a cena dada.
Figura 4: Ordenada x Área do triângulo - Imagem da autora
Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FLinearGeom.html
a) Escolha três valores para a ordenada y alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.
Comentário: Cada aluno escolherá os valores de entrada.
b) Calcule a área de cada um deles.
c) A área dos triângulos depende dos valores de y? Justifique.
d) Utilizando o símbolo * para indicar a multiplicação, escreva a expressão da área do triângulo ABC em função de y, sendo
i) y>1
ii) 0<y<1
e) Atribua o valor -2 a ordenada.
f) Escreva a expressão que dá a altura do triângulo para um y qualquer negativo. O mesmo para a sua área.
Comentário: Pergunte a sua turma o motivo pelo qual devemos utilizar a representação feita no item anterior. O conceito de módulo associado à distância deve ser resgatado com a turma pois neste momento desejamos obter a distância da base até o vértice C e a mesma deve ser positiva.
g) Quais os valores inteiros que y pode assumir?
Comentário: Outro ponto que pode ser perguntado é o que acontece quando a ordenada é igual a 1. O triângulo, se degenera (se transforma) em uma reta.
A justificativa será uma boa oportunidade para retomar o conceito da desigualdade triangular, pois no momento em que a ordenada se iguala às ordenadas dos pontos A e B, temos AB=AC+CB o que contraria a condição de existência do triângulo ABC, uma vez que deveríamos ter AB < AC + CB.
h) y só pode assumir valores inteiros?
i) Dê o conjunto de valores que y pode assumir.
Comentário:É enriquecedor para a turma trabalhar mais de uma forma de representar um conjunto.
Relacionando a área do triângulo com o conceito de função linear
Utilize a atividade abaixo para construir com a turma os conceitos da representação de uma função linear observando suas características através da interação com a cena dada.
Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FLinearGeom2.html
Observe a figura. Nela, estão representados o triângulo ABC com as mesmas características da atividade anterior e um plano cartesiano onde faremos o gráfico que representará a situação proposta abaixo.
a) Escolha três valores para a abscissa (x), alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.
b) Calcule a área de cada um deles.
c) Registre na tabela dada os valores das abscissas escolhidas e a respectiva área encontrada.
Figura 5: Tabela Abscissa x Área - Imagem da autora
d) Forme pares ordenados, onde a primeira coordenada será a abscissa escolhida e a segunda a área correspondente. Exiba os pares formados no gráfico.
Primeiro par: ( , );
Segundo par: ( , );
Terceiro par: ( , ).
e) Se executarmos o mesmo procedimento para infinitos valores de x, qual será a figura formada? Exiba esta figura.
a) Por exemplo, x = 5, x = 3 e x= - 1.
b) A área que deve ser encontrada será diferente para cada valor de entrada. De acordo com os exemplos dados:
c)
Figura 6: Abscissa x Área do triângulo - Resposta - Imagem da autora
d)
e) A figura formada será uma reta inclinada.
Como para cada valor de x encontramos uma área diferente, esta área depende dos valores de x, isto é, A(x)=y. Logo, “se uma variável y é relacionada à variável x, de modo que, sempre um valor é dado a x, existe uma regra segundo a qual um único valor de y é determinado, então y é dito uma função da variável independente x” [SIER, 1992, p.46];
Mencione que o gráfico gerado com esta atividade representa a função linear A(x)=4x, onde 4x é a regra ou lei de formação desta função, uma vez que é o conjunto de instruções que “traduzem” em linguagem algébrica um determinado problema;
Neste momento sugerimos perguntar qual é o domínio e a imagem da função. Os alunos devem perceber que os números reais satisfazem as condições em ambos os casos.
Os conceitos de variável dependente e independente também devem ser ressaltados pedindo para a turma identificar qual das variáveis pode assumir qualquer valor que esteja no domínio da função, chamada de variável independente, e qual fica determinada após escolhermos um valor para a variável independente, chamada de variável dependente. Então, teremos que a variável independente será x e a dependente será y ou A(x).
Pergunte a turma como poderíamos representar uma função linear qualquer. Uma função linear real f é representada por
f(x)=kx, onde k é uma constante.
Assim, na função linear temos: Lei de formação: f(x)=kx; Domínio: Dom(x) = R ; Imagem: Im(x) = R.
Desenvolvimento e Correção de exercícios.
1. Elabore em grupo outra atividade envolvendo funções lineares ou contantes. Neste momento divida a turma em grupos e estimule a criatividade e a discussão para a elaboração do novo problema. Peça para que cada grupo pesquise outras situações onde é possível utilizar o conteúdo construído. Estabeleça um limite de tempo para a preparação do mesmo e depois corrija com a turma cada problema criado.
2. Descubra a lei de formação de cada uma das funções representadas no link colocando o número de cada uma na caixa da cor correspondente. http://demonstrations.wolfram.com/LinearFunctionGame/
Nesta atividade existem as funções afins. Passe para a turma que este tipo de função faz parte das “cenas dos próximos capítulos”, buscando através de brincadeiras estimular a vontade de aprender.
Software Nippe Descartes
O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão1, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.
Para visualizar as atividades o professor deve:
1. Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/
2. Baixar o arquivo contendo as atividades.
Referência bibliográfica:
1. Tinoco, Lucia Arruda Albuquerque. Álgebra – Estudo e Ensino. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática, (2008). (Projeto Fundão)
2. Tinoco, Lucia Arruda Albuquerque. Construindo o conceito de função. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática, (2009). (Projeto Fundão)
3. Sierpinska, Ana. On understanding the notion of function, em: Dubinsky E. S. e Harel G. (ed), The concept of function aspects of epistemology and pedagogy, MAA Notes, p.25 – 58, Londres, (1992).
Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:
Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados. Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos grupos durante o exercício 1 e também verificar se o processo de construção de gráficos foi apreendido do exercício 2.
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