Manipular gráficos utilizando o Software Nippe Descartes para:

Analisar as situações nas quais duas grandezas variam numa relação funcional;

Apreender o conceito de variável;

Determinar a expressão algébrica da situação;

Diferenciar variável dependente de variável independente;

Trabalhar a idéia de domínio e imagem através de diferentes experimentações.

1 aula de 50 minutos

Área de figuras planas

Plano cartesiano

Desigualdade triangular

Intervalos

Módulo

      Caro Professor, apresentaremos agora uma sugestão de sequência didática. Lembre que são sugestões. Adaptá-las à realidade da sua escola e ao perfil de sua turma é o ponto de partida para a realização de um ótimo trabalho. Encaminhe sua turma para o laboratório de informática, pois para a execução desta aula é necessário ter recursos que viabilizem a exibição das atividades, tais como a projeção através de data show e a utilização dos computadores. Este último é de grande importância, pois permite que os alunos assumam uma postura investigativa diante dos desafios propostos.

      As atividades 1, 2 e 3 que estão transcritas na íntegra nesta aula, foram adaptadas do livro Álgebra: pensar, calcular, comunicar...integrante da produção bibliográfica do Projeto Fundão que “é uma equipe, formada de professores do Instituto de Matemática da UFRJ, professores da rede de ensino fundamental e médio do Estado do Rio de Janeiro e alunos de Licenciatura deste Instituto, trabalhando em prol da melhoria do ensino de matemática e pela valorização do professor, sob a coordenação da Professora Emérita Maria Laura Mouzinho Leite Lopes”(Trecho retirado do site oficial do Projeto Fundão).

      Para saber mais sobre as pesquisas desenvolvidas por esta equipe acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br 

      A turma será dividida em duplas e cada uma ocupará uma máquina do laboratório e o encaminhamento das questões será feito através das projeções no data show. Nas atividades 1, 2, 3 e 4, é muito importante para a aquisição do conhecimento que ocorra o momento de investigação de cada atividade para que depois, você e sua turma cheguem juntos as conclusões desejadas.

      Nesta aula você poderá utilizar outra ferramenta para facilitar o entendimento da sua turma, trata-se do software Nippe Descartes, cujas atividades propostas promovem a interação com o objeto de estudo. Explore a noção de variável. É necessário fazer os alunos atingirem uma consciência sobre a diferença entre considerar letras em equações (nas quais se trata de incógnitas e valores dados) e em funções (nas quais se trata de quantidades variáveis e constantes) [TINO, 2009 Apud SIER, 1992].

Atividade 1

Relacionando a área do triângulo e abscissa

      Utilize a atividade abaixo para perceber com a turma como a variação da abscissa influencia a área de um triângulo dado, observando seu comportamento através da interação com a cena dada.

Figura 1: Abscissa x Área do triângulo - Imagem da autora

      Para realizar esta atividade acesse:http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FConstanteGeom1.html  

 Observe a figura. Nela, os pontos A e B são fixos e C pode ter o valor da abscissa alterado.

a) Escolha três valores para a abscissa x alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso. Comentário: É importante que os alunos visualizem as diferentes possibilidades antes de tentar obter a solução. Cada aluno escolherá os valores de entrada.  

b) Calcule a área de cada um deles.

Comentário: Os alunos devem perceber que a área é a mesma.  

c) Dê o conjunto de valores que x pode assumir.

Comentário: Ressalte que esta resposta é dada em função da análise feita na parte gráfica da atividade. Pergunte a turma se existem outras possibilidades de atribuição de valores de abscissa para construir os triângulos. Daí surge a resposta dada. É muito importante que os alunos a utilizem para fazer as experimentações, pois, através dela, é possível trabalhar com um maior número de exemplos o que amplia as oportunidades de aprendizagem durante a aula ao reduzir o nível de abstração via representações gráficas.          

d) Compare as alturas e as bases desses triângulos.

e) A área dos triângulos depende dos valores de x? Justifique.

f) Determine o(s) valor(es) de x para que o triângulo ABC seja:

             i) Um triângulo isósceles de base AB.                     

             ii) Um triângulo retângulo

g) O tipo de triângulo depende dos valores de x?

h) Qual(is) é(são) o(s) valor(es) que a ordenada (y) pode assumir? Justifique.

a) Por exemplo, x=2, x=5 e x=6.

b) A área que deve ser encontrada é 40 u.a..

c) Nesta atividade a abscissa pode assumir qualquer número inteiro, porém podemos estender este conceito para qualquer número real.

d) Ambas são fixas.

e) Não, pois a alteração no valor da abscissa  não muda o valor da área.

f) i) Um triângulo isósceles de base AB. A abscissa deve ser igual a -1;

   ii) Um triângulo retângulo. A abscissa pode ser igual a -5 ou 3.

g) Sim, tanto sua classificação quanto a medida dos lados quanto em relação a medida dos ângulos.

h) Neste caso não ocorre variação no valor da ordenada pois a altura do triângulo não é alterada O valor da ordenada é 6.

      Após concluir esta atividade a turma deve perceber que embora a abscissa sofra alterações, o valor da área correspondente a cada triângulo formado fica inalterado, uma vez que a base e a altura permanecem constantes.

Atividade 2

Relacionando a área do triângulo com o conceito de função constante

      Utilize a atividade abaixo para construir com a turma os conceitos da representação de uma função constante observando suas características através da interação com a cena dada.

      Para realizar esta atividade acesse:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FConstanteGeom2.html  

Observe a figura. Nela, estão representados o triângulo ABC com as mesmas características da atividade anterior e um plano cartesiano onde faremos o gráfico que representará a situação proposta abaixo.

a) Escolha três valores para a abscissa x alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.   

b) Calcule a área de cada um deles.   

c) Registre na tabela dada os valores das abscissas escolhidas e a respectiva área encontrada.

Figura 2: Tabela Abscissa x Área - Imagem da autora  

Comentário: Neste momento, devemos apresentar a representação de função desta área como A(x), uma vez que para cada x escolhido calculamos a área do triângulo gerado.  

d) Forme pares ordenados, onde a primeira coordenada será da abscissa escolhida e a segunda a área correspondente. Exiba os pares formados no gráfico.

Primeiro par: (    ,   );

Segundo par: (    ,   );

Terceiro par: (    ,   ).

Comentário: Como a segunda coordenada que forma o par (x,y) é A(x), temos (x,y) = (x, A(x)), logo A(x)=y.   

e) Se executarmos o mesmo procedimento para infinitos valores de x, qual será a figura formada? Exiba esta figura.

f) Qual(is) o(s) possível(is) valor(es) que y pode assumir?

a) Por exemplo, x=2, x=5 e x=6.

b) A área que deve ser encontrada é 40 u.a..   

c)

Figura 3: Abscissa  x Área do triângulo - Resposta - Imagem da autora

d)

• Primeiro par: (2, 40);
• Segundo par: (5, 40);
• Terceiro par: (6, 40).

e) A figura formada será uma reta.

f) A ordenada pode assumir apenas o valor 40.

      Conclua mencionando que o gráfico gerado com esta atividade representa a função constante A(x)=40, onde para todo valor de x tomado, o valor de y correspondente permanece inalterado.

      Pergunte a turma como poderíamos representar uma função constante qualquer. Uma função constante real f é representada por f(x)=c.

      Os conceitos de domínio e imagem também devem ser introduzidos a partir da análise gráfica. Sugerimos algumas colocações que podem ser feitas para contribuir nesta etapa:

• Sabemos que a abscissa pode assumir qualquer valor real. Este conjunto formado pelos possíveis valores de x que satisfazem a lei de formação da função recebe o nome de domínio e é representado por Dom(f).
• Podemos observar que 40 é o valor que a ordenada pode assumir. Este conjunto formado pelos possíveis valores de y recebe o nome de imagem da função e é representado por Im(x).

Assim, na função constante temos: Lei de formação: f(x)=c;  Domínio: Dom(x) = R  ;  Imagem: I(x) = c.

Atividade 3

Relacionando a área do triângulo e ordenada

      Utilize a atividade abaixo para perceber com a turma como a variação da ordenada influencia a área de um triângulo dado, observando seu comportamento através da interação com a cena dada.

Figura 4: Ordenada x Área do triângulo - Imagem da autora

      Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FLinearGeom.html

a) Escolha três valores para a ordenada y alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.  

Comentário: Cada aluno escolherá os valores de entrada.

b) Calcule a área de cada um deles.

c) A área dos triângulos depende dos valores de y? Justifique.   

d) Utilizando o símbolo * para indicar a multiplicação, escreva a expressão da área do triângulo ABC em função de y, sendo

  i) y>1           

  ii) 0<y<1

e) Atribua o valor -2 a ordenada.

f) Escreva a expressão que dá a altura do triângulo para um y qualquer negativo. O mesmo para a sua área.

Comentário: Pergunte a sua turma o motivo pelo qual devemos utilizar a representação feita no item anterior. O conceito de módulo associado à distância deve ser resgatado com a turma pois neste momento desejamos obter a distância da base até o vértice C e a mesma deve ser positiva.   

g) Quais os valores inteiros que y pode assumir?   

Comentário: Outro ponto que pode ser perguntado é o que acontece quando a ordenada é igual a 1. O triângulo, se degenera (se transforma) em uma reta.

      A justificativa será uma boa oportunidade para retomar o conceito da desigualdade triangular, pois no momento em que a ordenada se iguala às ordenadas dos pontos A e B, temos AB=AC+CB o que contraria a condição de existência do triângulo ABC, uma vez que deveríamos ter AB < AC + CB.

h) y só pode assumir valores inteiros?

i) Dê o conjunto de valores que y pode assumir.

Comentário:É enriquecedor para a turma trabalhar mais de uma forma de representar um conjunto.

Atividade 4

Relacionando a área do triângulo com o conceito de função linear

      Utilize a atividade abaixo para construir com a turma os conceitos da representação de uma função linear observando suas características através da interação com a cena dada.

      Para realizar esta atividade acesse: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/FLinearGeom2.html

Observe a figura. Nela, estão representados o triângulo ABC com as mesmas características da atividade anterior e um plano cartesiano onde faremos o gráfico que representará a situação proposta abaixo.

a) Escolha três valores para a abscissa (x), alterando na caixa correspondente e exiba o triângulo formado em cada caso.   

b) Calcule a área de cada um deles.  

c) Registre na tabela dada os valores das abscissas escolhidas e a respectiva área encontrada.

Figura 5: Tabela Abscissa x Área - Imagem da autora  

d) Forme pares ordenados, onde a primeira coordenada será a abscissa escolhida e a segunda a área correspondente. Exiba os pares formados no gráfico.

Primeiro par: (    ,   );

Segundo par: (    ,   );

Terceiro par: (    ,   ).

e) Se executarmos o mesmo procedimento para infinitos valores de x, qual será a figura formada? Exiba esta figura.          

a) Por exemplo, x = 5, x = 3 e x= - 1.   

b) A área que deve ser encontrada será diferente para cada valor de entrada. De acordo com os exemplos dados:

• Para x = 5, Área = 16 u.a..
• Para x = 3, Área = 8 u.a..
• Para x = 2, Área = 4 u.a..  

c)

Figura 6: Abscissa x Área do triângulo - Resposta - Imagem da autora

d)

• Primeiro par: (5, 16);
• Segundo par: (3, 8);
• Terceiro par: (2, 4).

e) A figura formada será uma reta inclinada.   

      Como para cada valor de x encontramos uma área diferente, esta área depende dos valores de x, isto é, A(x)=y. Logo, “se uma variável y é relacionada à variável x, de modo que, sempre um valor é dado a x, existe uma regra segundo a qual um único valor de y é determinado, então y é dito uma função da variável independente x” [SIER, 1992, p.46];

      Mencione que o gráfico gerado com esta atividade representa a função linear A(x)=4x, onde 4x é a regra ou lei de formação desta função, uma vez que é o conjunto de instruções que “traduzem” em linguagem algébrica um determinado problema;

      Neste momento sugerimos perguntar qual é o domínio e a imagem da função. Os alunos devem perceber que os números reais satisfazem as condições  em ambos os casos.

      Os conceitos de variável dependente e independente também devem ser ressaltados pedindo para a turma identificar qual das variáveis pode assumir qualquer valor que esteja no domínio da função, chamada de variável independente, e qual fica determinada após escolhermos um valor para a variável independente, chamada de variável dependente. Então, teremos que a variável independente será x e a dependente será y ou A(x).

      Pergunte a turma como poderíamos representar uma função linear qualquer. Uma função linear real f é representada por

f(x)=kx, onde k é uma constante.

     Assim, na função linear temos: Lei de formação: f(x)=kx;      Domínio: Dom(x) = R ;        Imagem: Im(x) = R.

Atividade 5

Desenvolvimento e Correção de exercícios.

1. Elabore em grupo outra atividade envolvendo funções lineares ou contantes. Neste momento divida a turma em grupos e estimule a criatividade e a discussão para a elaboração do novo problema. Peça para que cada grupo pesquise outras situações onde é possível utilizar o  conteúdo construído. Estabeleça um limite de tempo para a preparação do mesmo e depois corrija com a turma cada problema criado.

2. Descubra a lei de formação de cada uma das funções representadas no link colocando o número de cada uma na caixa da cor correspondente. http://demonstrations.wolfram.com/LinearFunctionGame/    

    Nesta atividade existem as funções afins. Passe para a turma que este tipo de função faz parte das “cenas dos próximos capítulos”, buscando através de brincadeiras estimular a vontade de aprender.

            

Software Nippe Descartes

      O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão1, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.      Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/ 

2.      Baixar o arquivo contendo as atividades.

Referência bibliográfica: 

1.      Tinoco, Lucia Arruda Albuquerque. Álgebra – Estudo e Ensino. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática, (2008). (Projeto Fundão)

2.      Tinoco, Lucia Arruda Albuquerque. Construindo o conceito de função. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática, (2009). (Projeto Fundão)

3.      Sierpinska, Ana. On understanding the notion of function, em: Dubinsky E. S.  e Harel G. (ed), The concept of function aspects of epistemology and pedagogy, MAA Notes, p.25 – 58, Londres, (1992).

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Telefonia Celular:- Qual operadora escolher? Um Problema para ser Resolvido com a Função Afim;
• Procurando uma Estratégia para não Sair no Prejuízo: Estudo de Inequações do 1º grau;
• Função quardrática e suas aplicações;
• A Função Quadrática no Cotidiano;
• Inequações do Segundo Grau e suas Aplicações Práticas.

Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados. Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos grupos durante o exercício 1 e também verificar se o processo de construção de gráficos foi apreendido do exercício 2.