Identificar a direção, o sentido e o módulo de um vetor.

Reconhecer que um mesmo vetor pode estar aplicado em infinitos pontos do plano.

Determinar as coordenadas e o módulo de um vetor.

Conceitos de ponto, reta, plano, posições de retas no plano e de paralelogramo

Conceito e definição de módulo

Aplicação do Teorema de Pitágoras

Plano Cartesiano

Professor, para abordar o tema em questão, inicie a aula falando sobre as diversas aplicações de vetores em várias áreas de estudo, tais como na Matemática (p. ex., geometria analítica), na Física (p. ex., no estudo de força), na Informática (como uma estrutura de dados definindo um conjunto homogêneo), na Cartografia (p. ex., na representação de sistemas de informação geográfica) entre outras.   

Obs: Utilize, se possível, o Data Show, ou similar, para fazer a projeção da simulação a seguir, em sala de aula.

De modo a despertar o interesse da turma, mostre para os alunos a simulação: Changes in motion from aerodynamic forces , do voo de um avião, onde estão destacadas as representações gráficas das forças que atuam no mesmo.

Diagrama de forças 

Durante a projeção, explique aos alunos que as forças aplicadas no avião são representadas por vetores, que indicam o ponto de aplicação, a direção, o sentido e a intensidade ou módulo da força. Deixe que os alunos discutam entre si e analisem os percursos realizados pelo avião.

Caso o aluno ainda não tenha visto o conceito de força, informe-os de que em Física, uma força é o que modifica a velocidade de um corpo material. Incentive a turma para conversar com o(a) professor(a) de Física, de modo a aprofundar esse conceito.   

Definindo Vetores: Professor, dentre as várias definições de vetor existentes — com poucas diferenças entre elas, sugerimos que você peça que os alunos registrem em seus cadernos, a definição dada por Terracher:     

Uma direção de retas, um sentido sobre essa direção e um comprimento definem um vetor.

Imagem da autora.

É essencial o aluno perceber que um mesmo vetor pode estar aplicado em infinitos pontos do plano. Para tanto, realize com a turma a atividade a seguir.

Atividade 1:

Professor, construa um paralelogramo no quadro de giz, e indique os vetores formados por dois de seus lados, como mostra a figura abaixo:

Imagem da autora.

Obs: Peça aos alunos que registrem a figura em seus cadernos, bem como os itens propostos, observações e soluções da atividade.

Nota: Caso haja necessidade, relembre as propriedades do paralelogramo.  

1.1) Propicie uma discussão com a turma, sobre as “semelhanças” existentes entre os segmentos orientados (segmentos com sentido) representados na figura.   

1.2) Faça o questionamento (desenhe no quadro de giz os dois vetores): O que dizer sobre os vetores formados pelos outros dois lados paralelos do paralelogramo?

Imagem da autora.

1.1) Os dois segmentos orientados estão contidos em duas retas paralelas (mesma direção), têm mesmo sentido e possuem o mesmo módulo (comprimento) representando, deste modo, um mesmo vetor.

Obs: Aproveite para dizer que os segmentos orientados AB e DC representam o mesmo vetor.

1.2) DA e CB representam o mesmo vetor.

1.3) Não, pois têm sentidos opostos (contrários).   

Obs: Informe aos alunos que neste caso, diz-se que são vetores simétricos ou opostos.   

1.4) Sim,

Caso perceba que os alunos ainda não compreenderam o conceito, faça mais questionamentos utilizando os possíveis vetores com “extremidades” nos vértices do paralelogramo.     

Atividade 2:

Para realização dessa atividade, encaminhe a turma para o laboratório de informática e, caso não haja computadores suficientes para todos os alunos, solicite que se agrupem, de modo que fiquem, no máximo, três alunos em cada máquina.   

Solicite que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/CoordenadasdeUmVetor.html

Imagem da autora.

O objetivo da atividade, interativa e exploratória, é fazer com que o aluno descubra como obter as coordenadas de um vetor no plano. Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 15 minutos.   

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma e verifique se a resposta do item c, dada pelos alunos, está correta.

As coordenadas de um vetor podem ser obtidas através das projeções orientadas sobre os eixos das abscissas e ordenadas, podendo ser positivas ou negativas, de acordo com o sentido.   

Algebricamente, as coordenadas do vetor, são obtidas calculando-se a diferença entre as coordenadas da “extremidade” e da origem (ponto de aplicação).   

Peça para os alunos registrarem em seus cadernos: As coordenadas de um vetor AB, onde A = (x_A, y_A) e B = (x_B, y_B) é dada por:

AB = (x_B – x_A, y_B – y_A)   

Exemplo: Se A = (3, –1) e B = (1, 4) então AB = (1 – 3, 4 + 1) = (–2, 5).

Professor, antes de realizar a atividade 3, revise com a turma o conceito de módulo.

Como sugestão, acesse o link: http://educacao.uol.com.br/matematica/modulo-ou-valor-absoluto.jhtm 

Atividade 3:

Mantendo a turma no laboratório de informática, dispostos como na atividade 2, solicite que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/ModulodeUmVetor.html, para a realização da atividade a seguir. 

Imagem da autora.

O objetivo dessa atividade, é fazer com que o aluno descubra, através da manipulação e observação,  como determinar o módulo de um vetor.   

Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 15 minutos.   

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos concluíram, com êxito, o conceito e determinação do módulo de um vetor.

A medida do módulo de um vetor paralelo aos eixo coordenados é igual à medida de sua projeção sobre os eixos.   

Obtemos essa medida, algebricamente, utilizando o Teorema de Pitágoras.     

Proponha à turma a aplicação do Teorema para determinação do módulo de AB com valores genéricos de A e B. Com o uso do Data Show, ou similar, projete a imagem a seguir, e proponha a aplicação do Teorema de Pitágoras.

Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/Vetores.php 

Com a participação da turma, registre:   

Coordenadas do vetor B: (B_x, B_y) em que: B_x = x_f – x_i e B_y = y_f – y_i   Logo:

Exemplo:

Nota: Espera-se que ao final da aula o aluno seja capaz de aplicar corretamente os conceitos básicos de vetor nas diversas áreas de ensino afins.

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/   

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.      

Fontes de pesquisa:

http://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vetores4.php    

http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/vetores/cotidiano/ 

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Solicitar aos alunos que façam uma pesquisa, individualmente ou em grupos, a respeito da aplicação dos vetores no cotidiano e nas diversas áreas de estudo. Os resultados deverão ser apresentados pelos alunos (ou grupos) e debatidos em sala de aula.