Calcular a adição e a subtração de dois ou mais vetores.

Efetuar a multiplicação de um vetor por um número real.

3 aulas de 50 minutos cada

Conceitos de vetor

Translação de vetores

Plano Cartesiano

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.   

Considerando que a turma já aprendeu os conceitos básicos de vetor, introduza a operação com vetores, exibindo, com o uso do Data Show, a imagem da “soma de forças” utilizada em uma “disputa” com corda.

Fonte: http://forum.if.uff.br/viewtopic.php?p=6577

A partir desta situação, promova uma discussão com a turma em relação às forças atuantes na corda.   

Nota: Espera-se que os alunos percebam que essa soma de forças atua na mesma direção, mas em sentidos contrários.

Professor, antes de iniciar as atividades, convide a turma para observar e manipular o applet que trabalha com as forças exercidas em um corpo (assumido como um ponto).     

Resultante das forças (adição de vetores) 

Atividade 1:   

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivo a percepção e o entendimento de como podem ser feitas essa soma.   

Peça que eles acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/AdicaoVetoresParalelos.html e iniciem a atividade. 

Imagem da autora.

Obs: Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Verifique então as respostas dadas pelos alunos.

a) u = (1, 1) e v = (2, 2)   

b) (3, 3)   

c) respostas dependem dos deslocamentos realizados   

d) i)  u = (1, 1) e v = (0,5, 0,5); vetor em vermelho: (1,5, 1,5)

ii)  u = (1, 1) e v = (–1, –1); vetor em vermelho: (0, 0)

iii) u = (1, 1) e v = (–2, –2); vetor em vermelho: (–1, –1)

iv) u = (1, 1) e v = (–0,5, –0,5); vetor em vermelho: (0,5, 0,5)   

e) O vetor em vermelho representa a soma dos vetores u e v

Atividade 2:

Professor, sabendo que a multiplicação é uma adição de parcelas iguais, peça agora para os alunos acessarem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/MultiplicacaodeVetorporEscalar.html e realizarem a atividade (tempo aproximado: 10 minutos). 

Nota: Lembre-os do conceito da multiplicação citado acima.

Imagem da autora.

Obs: Após o término da atividade, confira as respostas dadas pelos alunos.

a) (2, 1)

b) v = (2, 1) + (2, 1) = (4, 2)

c) v = 2.u

d) Sim, a relação é confirmada

e) (–6, –3) = –3.(2, 1) ou v = –3u

f) Ocorre a inversão do sentido do vetor k.u

Atividade 3:

Um avião desloca-se na direção sul-norte a 1 000 km/h. Um vento sopra na direção oeste a 100 km/h, arrastando consigo o avião. Em que direção o avião se deslocará?

Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/vetores/experimentos/

Nota: Complementando a atividade, peça para os alunos determinarem a velocidade do avião de acordo com o vento.    

Peça que a turma represente graficamente a situação e, a partir de uma discussão, conclua em que direção o avião se deslocará.

Composição de imagem da autora.

Imagem do avião: http://www.fotosearch.com.br/CSP068/k0684073/

 O avião de deslocará para noroeste, com velocidade aproximada de 1 005 km/h.

Notas:

1. Espera-se que os alunos tenham percebido, baseado na atividade anterior, que a direção noroeste resultante, é proveniente da adição dos dois vetores.   

2. Caso os alunos não tenham percebido o cálculo da velocidade resultante, recorde com os mesmos a aplicação do Teorema de Pitágoras.

Atividade 4:

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada, tem como objetivo o entendimento de como a soma de vetores quaisquer é realizada.   

Peça que eles acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/AdicaoVetoresQuaisquer.html  e iniciem a atividade. 

Imagem da autora.

Obs: Permita que os alunos manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos.

Em seguida. Faça a correção das questões propostas com a turma.

a) u = (1, 2) e v = (2, 1)   

b) coordenadas do vetor em vermelho: (3, 3) = (1 + 2, 2 + 1)   

c) respostas dependem dos deslocamentos realizados   

d) o vetor em vermelho é a soma dos vetores u e v, cujas coordenadas são (u_x + v_x, u_y + v_y)

Professor, após realizadas as atividades acima e relembrando com a turma o conceito de que a subtração é o mesmo que somar com o oposto (simétrico), propomos que as atividades 5.1 e 5.2 sejam feitas no mesmo momento.    

Deixe que os alunos manipulem as duas atividades realizando descobertas e, ao final, promova a discussão e verifique as soluções dadas pela turma.

Mais uma vez, estipule um tempo para a turma (aproximadamente: 20 minutos)   

Atividade 5:

Peça que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/SubtracaoVetores.html e realizem as atividades.    

Imagens da autora.

Atividade 5.1:   

a) u = (1, 1) e v = (2, 2)

b) coordenadas do vetor em vermelho: (1, 1)   

c) respostas dependem dos deslocamentos realizados   

d) O vetor vermelho corresponde à adição do vetor v com o simétrico de u. O que equivale a dizer que o vetor vermelho é a diferença entre v e u.

Suas coordenadas são: (v_x – u_x, v_y – u_y)   

Atividade 5.2:

a) u = (1, 2) e v = (2, 1)   

b) coordenadas do vetor em vermelho: (1, –1)   

c) respostas dependem dos deslocamentos realizados   

d) O vetor vermelho representa a diferença entre v e u, cujas coordenadas são: (v_x – u_x, v_y – u_y).

O vetor verde representa a diferença entre u e v, cujas coordenadas são: (u_x – v_x, u_y – v_y).

Obs: Professor, caso perceba que os alunos necessitam realizar mais atividades sobre o assunto, disponibilizamos fontes de pesquisa cujos links aparecem em recursos complementares.

Nome	Tipo
Resultante das forças (adição de vetores)	Animação/simulação

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/     

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.

Fontes de pesquisa:

http://educar.sc.usp.br/fisica/vetores.html  

http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap91s3.html 

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.   

Os alunos, em grupo, devem criar uma situação do cotidiano, que envolva adição e/ou subtração de frações e apresentar em sala de aula.