Determinar o simétrico de uma figura plana em relação aos eixos x e y, e à origem do sistema cartesiano;

Identificar uma figura plana simétrica em relação a uma reta qualquer.

2 aulas de 50 minutos

Plano cartesiano;

Determinação de coordenadas de um ponto no plano cartesiano;

Conceito de vetor;

Operações com vetores.

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.    

Exiba, com o uso do Data Show, o vídeo Arte & Matemática, como uma estratégia para despertar o interesse da turma, onde estão destacadas algumas situações onde simetrias são utilizadas.

Figura 1: Vídeo Motivador

Fonte: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001033.mp4 

Simetria [Arte & matemática] 

Durante a exibição, faça pausas para permitir que os alunos analisem e discutam sobre os temas que surgem. Seguem dois exemplos.

Figura 2: Análise de simetrias – Composição da autora

Fonte: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001033.mp4 

Nota: Espera-se que os alunos percebam ao longo da exibição que a simetria de um determinado objeto é obtida refletindo-o segundo um “espelho”, que pode estar na posição horizontal, vertical ou inclinada.   

Outro ponto de destaque no vídeo são os depoimentos dados por profissionais de artes plásticas, física, música, onde são detalhados como as simetrias são utilizadas.  

  

Figura 3: Depoimento de artista plástico

Fonte: http://www.dominiopublico.gov.br/download/video/me001033.mp4  

Definindo Simetria Axial: Professor, sugerimos que você promova uma discussão com o objetivo de construir a definição para o conceito de simetria axial, baseando-se nas imagens exibidas no vídeo. Peça que os alunos registrem em seus cadernos. Segue uma definição:     

Simetria Axial é a transformação de reflexão de um objeto em torno de uma reta ou eixo. Esta reta ou eixo recebe o nome de eixo de simetria.

Atividade 1:

Para realização dessa atividade, continue com sua turma no laboratório de informática.

O objetivo da atividade, interativa e exploratória, é fazer com que o aluno trabalhe o conceito de eixo de simetria. Portanto, informe aos alunos que a atividade a ser realizada visa, através da integração com a Física, determinar os eixos de simetria e observar as figuras simétricas. Tal integração é descrita na atividade.

Solicite que os alunos acessem o link: http://www.uff.br/cdme/simetria/aluno04.html 

Figura 4: Eixo de simetria

Fonte: http://www.uff.br/cdme/simetria/aluno04.html 

Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 10 minutos.    

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos concluíram, com êxito, o conceito de eixo de simetria.   

Em cada figura é trabalhada a posição do eixo de simetria. É preciso perceber que numa mesma figura pode haver mais de uma posição para tal eixo, isto é, a figura pode ser refletida de maneiras diferentes.

Atividade 2:

Mantendo a turma no laboratório de informática, dispostos como na atividade 1, solicite que os alunos acessem o link abaixo para a realização da atividade a seguir: http://www.uff.br/cdme/simetria/aluno05.html 

Figura 5: Nervuras simétricas da folha

Fonte: http://www.uff.br/cdme/simetria/aluno05.html 

O objetivo da atividade é fazer com que o aluno solidifique, através da manipulação e observação, o conceito de eixo de simetria. Portanto, informe aos alunos que a atividade a ser realizada visa, através da integração com a Botânica, observar a simetria na natureza. Tal integração é descrita na atividade.    

Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 10 minutos.    

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos apreenderam, com êxito, o conceito e determinação do eixo de simetria de um objeto. 

A turma deve perceber que a simetria está presente nesta atividade uma vez que através do desenho reproduzindo a folha, feito pelos alunos, o eixo de simetria existente em algumas delas fica evidente, onde as nervuras se posicionam de maneira simétrica em relação a ele.

Atividade 3:

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos a percepção e o entendimento de como podem ser feitas as simetrias de uma figura em relação aos eixos coordenados.    

Peça que eles acessem o link:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/SimetriaAxial.html e iniciem a atividade.   

Figura 6: Imagem da autora   

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Verifique então as respostas dadas pela turma.

No item 1 desta atividade:

• Peça para os alunos movimentarem os pontos A, B e C, clicando sobre os mesmos e arrastando-os.
• Solicite a exibição dos triângulos simétricos em relação ao eixo x e y, alterando de 0 para 1 na caixa Triângulo simétrico Ox e Oy, respectivamente. Peça aos alunos que utilizem as setas ao lado da caixa para fazer a alteração.

Após o item 2b peça para os alunos visualizarem os vetores simétricos em relação aos eixos, alterando de 0 para 1 nas caixas Vetores de simetria Ox e Oy.

Peça que os alunos exibam os triângulos simétricos novamente para concluírem a atividade construindo uma estratégia para obter uma figura simétrica em relação aos eixos x e y.

Caso desejem retornar às condições iniciais do problema, informe a turma que basta clicar no botão init.

1) Manipulação feita pela turma conforme sugerido acima.

2) a) v=(1, 2)     

b) Não.    

c) A`=(1,-2),  B`=(4,-3) e C`=(3,-1).  

d) A``=(-1,2),  B``=(-4,3) e C``=(-3,1).  

e) P=(a,-b)

f) P=(-a,b)   

A atividade a seguir pode assumir o papel de um desafio ou ainda uma avaliação, uma vez que a “ferramenta” foi elaborada para que o aluno responda aos questionamentos durante a manipulação da mesma, digitando, em alguns itens, a resposta correspondente.   

Se a opção feita for a utilização como desafio, divida a turma em grupos e determine um tempo para que os alunos construam uma estratégia para a obtenção da simetria desejada. Caso a utilize como avaliação individual, ou em grupo, planeje anteriormente a melhor forma para a sua execução, pois existe a necessidade do seu acompanhamento aos procedimentos realizados pelo aluno (ou grupo).

Atividade 4:

Informe aos alunos que esta atividade tem como objetivos a percepção e o entendimento de como pode ser feita a simetria de uma figura em relação a uma reta qualquer que seja diferente dos eixos coordenados.    

Para iniciar a atividade, peça que eles acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/SimetriaRetaQualquer.html .  

Figura 7: Imagem da autora   

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça que os alunos relatem as suas descobertas e confira com eles a solução encontrada.

Sempre que for solicitada a exibição de algum objeto informe a turma que utilize as setas ao lado da caixa correspondente para fazer a alteração do valor de 0 para 1.

1) Movimentação livre.

a) Exibir objeto de acordo com a orientação dada.

b) Movimentação livre. Os pontos do triângulo simétrico também se movimentam.

c) Não, pois o posicionamento dos vértices do triângulo A`B`C` no plano cartesiano são dados em função dos pontos do triângulo ABC.

d) O triângulo ABC conserva sua posição porém, como os vértices do triângulo A`B`C` devem se encontrar a mesma distância que os vértices do triângulo ABC se encontram da reta PQ, o triângulo simétrico ocupa uma posição diferente no plano.

e) Clicar em init que se encontra no canto inferior esquerdo da tela.

f) Exibir objeto de acordo com a orientação dada.

g) Os vetores são perpendiculares à reta PQ.

2) Clicar em init.

a) Movimentação livre.  

b) Sim.

c) Movimentação livre.  

d) Movimentação livre.  

e)

• Simetria em relação ao eixo Ox: Reta PQ coincide com o eixo x.     
• Simetria em relação ao eixo Oy: Reta PQ coincide com o eixo y.     

Nota: Espera-se que ao final da aula o aluno seja capaz de aplicar corretamente os conceitos de simetria nas diversas áreas de ensino afins.

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/   

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.       

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Solicitar aos alunos que façam uma pesquisa, individualmente ou em grupos, a respeito de outras aplicações da simetria de figuras planas no cotidiano e nas diversas áreas de estudo. Os resultados deverão ser apresentados pelos alunos (ou grupos) e debatidos em sala de aula.