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Equação do 1º grau: um pouco de História

 

26/11/2010

Autor e Coautor(es)
Marcia Aparecida Mendes
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UBERLANDIA - MG ESC DE EDUCACAO BASICA

Aparecida Clemilda Porto

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Equações
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • Conhecer a história da origem da equação do 1º grau.
  • Compreender a importância dos símbolos matemáticos na representação de situações-problemas.
  • Utilizar símbolos matemáticos para representar diferentes situações-problemas.
  • Conceituar equação do 1º grau.
Duração das atividades
3 horas/aula de 50 minutos.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Professor, a princípio, não é necessário trabalhar algum conteúdo matemático específico. Para conhecer a habilidade de leitura e interpretação de operações envolvendo números, e também saber o contexto social em que o seu aluno se insere, aplique um questionário com as seguintes perguntas (exemplos):

                 1) Quantas pessoas moram com você?

                 2) Quantas dessas pessoas estudam?

                 3) Quantas dessas pessoas trabalham? E em quê?

                 4) Sua casa tem televisão? Quantas?

                 5) Sua casa tem computador?              (     ) Sim                     (     ) Não

                                 Se possui: Quantos?.............                               Tem acesso à internet? ..............

                 6) ...... (de acordo com a necessidade de cada turma)

NOTA 

                Essas, e outras, perguntas fornecem subsídios para a elaboração de problemas e questionamentos que estarão ligados ao cotidiano do aluno, fazendo com que o conteúdo fique mais  interessante próximo e a ele.

Estratégias e recursos da aula

ATIVIDADE 1

INTRODUÇÃO

NOTA      

                O conteúdo de equações permite ao professor tratar de diversas situações-problemas de forma contextualizada e interdisciplinar. Por isso, consideramos importante a contextualização histórica do tema, pois, desse modo o aluno poderá perceber que as equações não surgiram do acaso, e, sim, como uma maneira de simplificar a linguagem dos problemas e possibilitar a sua interpretação e resolução de maneira mais ágil e eficaz.

             Além disso, a contextualização permite ao aluno fazer conexões entre diversos conceitos e diferentes pensamentos matemáticos. Este tema é também relevante, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. Nessa perspectiva, a Resolução de Problemas possibilita ao aluno compreender o fazer matemática. Ressaltamos ainda que o trabalho com resolução de problemas é um processo lento, porque requer análise, interpretação e decisão dos caminhos a serem seguidos.

              Para essa atividade, sugerimos a formação de grupos com 4 (quatro) alunos, o que possibilitará a discussão dos questionamentos feitos pelo professor a respeito dos textos dispostos e também do uso da linguagem matemática adequada aos problemas apresentados. É importante que o professor permita a socialização das respostas dos grupos.

NOTA

           Caso o professor tenha a oportunidade de utilizar o laboratório de informática, sugerimos que os grupos sejam de 2 (dois) alunos, para que os mesmos possam usar a internet para realizar pesquisas que auxiliem nas respostas do questionário que se segue após o texto abaixo.

              Nesse momento, o professor entregará o texto para que cada grupo faça a leitura e responda às questões que se seguem.

 QUESTÕES   (Podem, também, ser apresentadas em fichas, para que os alunos registrem suas ideias)

  1. Para você, o que seria um escriba? Segundo o texto, qual é a sua função?
  2. Em suas aulas de história, você já estudou sobre a Mesopotâmia? Onde ela se localizava?(O professor poderá usar um mapa múndi para mostrar sua localização.)
  3. É possível deduzir o século/ano deste texto? Justifique.
  4. O que seriam as tábuas de medir e de pesar?
  5. Por que é importante o registro das situações citadas no texto?
  6. Essas atividades são exercidas hoje? Por quem?
  7. Como as atividades citadas no texto são registradas hoje?

NOTA

         Ao socializar as respostas, o professor deverá explorar o conhecimento do aluno e estabelecer relação do papel do escriba daquela época com os atuais profissionais das diferentes áreas e a importância dos registros das situações citadas no texto, por exemplo: entre o papel do escriba em escrever tábuas de pesar e contratos comerciais com o de administrador ou contador; de contrato de casamento e o papel do tabelião e outros e, desse modo, enfatizar que os problemas ainda se mantêm atuais.

              Após a discussão, o professor deve pedir aos alunos que registrem, em caderno, qual seria o papel do escriba no cotidiano de cada um deles, o professor deve procurar contar a história (resumidamente) das equações, como se segue.

ATIVIDADE 2

HISTÓRIA DA EQUAÇÃO DE 1º GRAU

NOTAS 

I)    Nesse momento, o professor mostrará a relação da atividade anterior com o conteúdo de equações. Para isso deve utilizar a história da equação e enfatizar a importância do seu uso nas situações estabelecidas anteriormente.

II)  Essa aula poderá ser apresentada utilizando-se Slides. A sugestão destes está a disposição do professor no endereço :

http://www.zumodrive.com/share/7SkLMWRmYT 

III) Recomendamos que os alunos estejam dispostos em U ou em semicírculo, a fim de facilitar a sua participação. A aula deve ser dialogada, e as observações devem ser registradas.

IV)  Se necessário, o professor poderá pedir aos alunos que façam uma pesquisa sobre a história das equações. Essa pesquisa deve ser socializada durante a apresentação à medida que os assuntos surgem. Indicamos o site: http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=582 (Acessado em 8/ 09/2010). 

V)  O professor deve destacar, durante a apresentação, alguns itens importantes no contexto histórico, tais como:

                               (A)   O papiro de Rhind (cerca de 1650 anos a. C) é um texto matemático em forma de manual. Esse documento contém 85 problemas, sendo a principal fonte de informação da matemática egípcia antiga. Entre os problemas, há vários envolvendo equações, em que a incógnita é chamada de aha ou montão...

                                 Exemplo: um aha mais a sétima parte de aha é 19. qual o valor de aha? 1

                                (B)    Usavam-se as equações para resolver problemas geométricos: gregos e egípcios. Os hindus também foram grandes algebristas, destacando al-khowarizmi 3 4.

[1] SOUZA, Joamir, PATARO, Patrícia M.  Vontade de saber Matemática. São Paulo: FTD, 2009, p. 155.

[2] GIOVANNI, J. R et al. A conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002, p. 122-3.

[3] GUELLI, Oscar.  Contando a História da Matemática: História da Equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1992, v. 3, p. 27-29.

Após as discussões pedir para os alunos fazerem o seguinte registro.

As equações são usadas para:

  ___________________________________________________________________________________________

 ____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________

   

ATIVIDADE 3

PARTE 1:  RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

  

NOTA

                Para essa atividade, sugerimos formar grupos com 4 (quatro) alunos.

                Será utilizada, nesse momento, a resolução de problemas, os quais devem estar presentes no cotidianos e/ou históricos, baseados nas duas atividades anteriores. No entanto, a ênfase se dará no uso da linguagem matemática. Para iniciar, propomos o problema abaixo como desafio. Deve-se instigar os alunos para a resolução do mesmo; como eles não têm ainda noção de resolução de equações podem usar tentativa e erro. A solução encontrada pelos grupos será socializada com o restante da turma.

O PROBLEMA 

TENTE SOLUCIONAR O SEGUINTE PROBLEMA

 

   

NOTA

         Após socializar as respostas, apresentar a forma como os escribas o resolviam. Propomos que esse e outros problemas sejam apresentados em fichas (recortes de cartolina) que devem ser coladas no quadro. É necessário que o professor destaque as dificuldades que surgem ao resolver problemas sem a síntese e/ou linguagem matemática.

         Segue, ao final, alguns exemplos de outros problemas, envolvendo área de figuras planas e unidade monetária. De acordo com a necessidade, o professor deve propor outros.

A RESOLUÇÃO DOS ESCRIBAS

              Ao final dessa atividade, o professor deve verificar com os alunos que resoluções desenvolvidas pelos grupos mais se aproximam do resultado dado pelo escriba e comentar as que se diferenciam.

PARTE 2 

              Após os comentários, o professor deve enfatizar a dificuldade que se tinha em resolver problemas usando apenas as operações matemáticas. Por isso, os matemáticos estudaram uma maneira de representar os problemas a fim de facilitar a sua resolução.

NOTA

               O professor apresentará exemplos na História da Matemática que mostrem a trajetória da nova linguagem que surgia: “A Álgebra”.  

           É importante citar:

                        A)    O principal algebrista moderno foi François Viète. Segundo alguns autores, ao usar letras para representar números, a Matemática ganhou impulso e se tornou uma “ferramenta” poderosa à disposição da ciência.

                        B)     O sinal ‘ = ’, foi criado pelo inglês Robert Recorde, em 1557, e usado pela primeira vez no livro The Whetstone of White. Foi necessário mais de um século para que esse sinal fosse aceito plenamente.

          Por meio da História da Matemática, então, o professor vai destacar o termo “incógnita” e também como representar esse termo por meio das letras.

          Antes de retomar o problema acima citado, sugerimos apresentar, oralmente, alguns exemplos mais simples, tais como:

                   1) Eu tinha uma quantia, ganhei mais 4 reais e fiquei com 12 reais. Qual a quantia que eu tinha?

                                O professor: –  Qual é a incógnita?

                                                     -  Como podemos representar a incógnita?

Nota

       1) O professor deve ter o cuidado de frisar o significado da incógnita. No caso: a quantia que eu tinha.

       2)  Utilizar a História da Matemática, para frisar o uso da “letra” como número desconhecido.

       3) O professor pode usar fichas para o registro.

Exemplo de ficha:

             O professor deve usar a representação do aluno e anotá-la na lousa. Ele também deve utilizar o mesmo procedimento em outros problemas, devendo ter o cuidado de usar todas as quatro operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão, envolvendo a Geometria, a unidade monetária e a ecologia.

NOTA 

          Essa atividade permite que o aluno desenvolva a competência Ler, selecionar, analisar e interpretar informações, bem como Representar matematicamente uma situação dada, proposta pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN.

         Para construir o conceito de Equações do 1º grau com uma incógnita o professor deve pedir a cada grupo que destaque em uma ficha o que têm em comum todas as equações apresentadas e registradas no quadro, até então.

         Ele deve estar atento, questionando se necessário, para que se chegue ao objetivo desejado, ou seja, que os alunos: Destaquem a existência da incógnita e que em todas as equações existe o sinal de igual (=).

NOTA   

          O professor deve nesse momento:

                        A) Questionar os alunos: o que todas aquelas sentenças têm em comum?

                        B)  Citar outros exemplos de sentenças que representem e não representem equações, destacando as que forem equações.

               Após a socialização das respostas, pedir aos alunos que preencham a ficha.

            A seguir entregar aos alunos o seguinte quadro:

         Pedir a cada grupo que resolva o exercício apresentado e que justifiquem suas respostas, socializando-as com todos. E depois registrar na ficha.

NOTA 

         O professor deve estimular a discussão, principalmente aquelas que levam a uma resposta discordante. Ele também deve estar atento, se os alunos perceberam a diferença entre as equações marcadas. Caso seja necessário, estabelecer questionamentos que levem o aluno a observar a existência de expoentes diferentes, como, por exemplo:

  • Os expoentes das equações marcadas são iguais?.
  • Podemos escrever equações com expoentes diferentes dos que usamos? Neste caso, como poderíamos nomeá-las?

                 Após a discussão, os grupos devem completar o seguinte quadro:

             Após essa atividade, pedir aos alunos que tentem representar, usando a linguagem matemática, o primeiro problema apresentado (problema 1).  A seguir, questioná-los se tal situação é uma equação, sendo, se é uma equação do 1º grau.

             Finalizando essa atividade, o professor deve pedir que eles elaborem situações que podem ser representadas por equações.

             A seguir segue alguns problemas que podem ser utilizados ao final das atividades: (constam dos slides).

Site: http://www.zumodrive.com/share/7SkLMWRmYT 

  1. Preciso trocar R$ 100,00 em moedas de R$ 0,25. Quantas moedas serão necessárias para dar esse valor?
  2.   A frente de um terreno retangular tem 12 m e sua área é igual a 300 m². Qual é o comprimento desse terreno?
  3. O Jequitibá é uma árvore nativa da Mata Atlântica brasileira. Seu nome, que em tupi-guarani significa gigante da floresta, deve-se a suas grandes dimensões, podendo atingir até 45 metros de altura. Algumas dessas árvores chegam a viver milhares de anos. O pau-brasil é outra árvore de grande altura que deu nome a nosso país. Essa árvore foi a fonte do primeiro ciclo econômico brasileiro, ainda na época da colonização. O pau-brasil, que em 1500 podia ser encontrado em abundante quantidade por todo o litoral brasileiro, atualmente corre risco de extinção. Sabendo que o pau-brasil pode atingir uma altura equivalente ao quádruplo da altura do jequitibá menos 140 m, determine quantos metros de altura pode atingir o pau-brasil.5

[5]  GIOVANNI, J. R et al. A conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002, p. 122-3.  

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Recursos Complementares

Professor, você poderá também complementar os estudos sobre equações do 1º grau, disponíveis em:

http://www.google.com.br/search?q=exerc%C3%ADcios+sobre+equa%C3%A7%C3%A3o+do+primeiro+grau&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pt-BR:official&client=firefox-a  (Acesso em 11 de outubro de 2010)

Sugerimos também referências bibliográficas para o ensino-aprendizagem da Matemática. 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 BONJORNO, J. R et al. Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.

DANTE, José Roberto. Tudo é Matemática: sexta série. São Paulo: Ática, 2004. (Manual pedagógico do professor).

 DINIZ, Maria Ignez. Resolução de problemas e Comunicação. In: DINIZ, Maria I, SMOLE, Kátia S (orgs). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001.

GIOVANNI, J. R et al. A conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002.

GIOVANNI, J. R et al. Matemática: Pensar e descobrir. São Paulo: FTD, v.2,  2005.

GUELLI, Oscar.  Contando a História da Matemática: História da Equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1992, v. 3.

 SOUZA, Joamir, PATARO, Patrícia M. Vontade de saber Matemática. São Paulo: FTD, 2009.

SOUZA, Julio C M . Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília, 1998. 148 p.

Avaliação

A avaliação será feita através da observação do professor ao verificar se o aluno:

  •  participou ativamente das atividades;
  • foi capaz de resolver as situações-problemas propostas, as quais devem mobilizar seus conhecimentos e representar as reais possibilidades de demonstração do seu “saber-fazer”;
  • foi capaz de criar problemas matemáticos a partir de situações vivenciadas no seu cotidiano, relacionando, assim, a linguagem cotidiana com a linguagem matemática;
  • compreendeu a importância dos símbolos matemáticos na representação de situações problemas;
  • utilizou símbolos matemáticos para representar diferentes situações problemas;
  • foi capaz de elaborar problemas que podem ser representados por uma equação do 1º grau.  
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