•Encontrar a expressão que define uma função dada. •Encontrar o valor da função em um ponto. •Fazer esboço do gráfico de uma função. •Trabalhar com resolução de problemas.

Uma aula de 50 minutos.

•Conhecimentos sobre o conceito e o gráfico de funções do 2o grau;

    Olá, professor. Nesta aula iremos trabalhar com um famoso jogo de lógica conhecido como jogo das estacas. No decorrer da aula iremos propor algumas questões que auxiliarão no cumprimento dos objetivos da aula. É importante para o processo de avaliação que os alunos registrem suas respostas por escrito, para uma futura mediação dos conteúdos trabalhos nesta aula.
    Comece a aula propondo a seus alunos que acessem ao site do jogo das estacas ou “peg puzzle”:  http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_182_g_2_t_1.html?from=grade_g_2.html 
    O objetivo do jogo é trocar as estacas da esquerda (vermelhas) com as da direita (azuis) movendo uma de cada vez. Movem-se as estacas dando um clique sobre elas com o botão esquerdo do mouse e arrastando-as a um lugar vazio. Uma estaca vermelha poderá mover-se para um lugar vazio imediatamente a sua direita, ou saltar sobre uma estaca azul e ocupar a posição imediatamente a direita da estaca azul, estando esta posição vazia. Da mesma maneira poderão andar as estacas azuis só que da direita para a esquerda. O jogo termina quando se cumpre o objetivo de trocar a posição das estacas ou quando é impossível movimentar as estacas. É possível jogar este jogo com 2, 4,6 e 8 estacas.
    Inicialmente, deixe que os alunos movimentem livremente as estacas para se familiarizarem com os tipos de movimentos possíveis. Em seguida, peça aos alunos que completem o jogo com 2, 4, 6 e 8 estacas e preencham a tabela abaixo, indicando a quantidade de movimentos necessários para se completar o jogo:
 

 

Número de estacas	Número de movimentos
2
4
6
8

 

 

    Provavelmente, os alunos ter ão maior dificuldade pa ra perceber como resolver o problema no caso de 6 e 8 estacas. Perguntas, como as que se seguem, podem ajudá-los a alcançar o objetivo do jogo: O que acontece quando colocamos duas estacas da mesma cor juntas? Na situação abaixo, qual a estaca que devemos mover? Por quê?

   

     Proponha aos alunos as seguintes questões:
    - Quantos movimentos são necessários para trocar 10 estacas (5 vermelhas e 5 azuis) de posição? E se forem 12 estacas?

    - Encontre uma expressão que relaciona o número de movimentos com o número de estacas.
    Professor, peça aos alunos para completarem a tabela abaixo:
 

 

 

Número de Estacas	Número de estacas da mesma cor	Número de movimentos
2
4
6
8
10
12
50		< /td>
2n

 

    Professor, caso os alunos tenham muita dificuldade em encontrar a relação, sugira, como dica inicial, que somem 1 aos números de movimentos encontrados, e relacionem este resultado ao número de estacas.
    Persistindo a dificuldade, faça a tabela no quadro com a ajuda dos alunos levando-lhes a perceber que:
 

 

Número de Estacas	Número de estacas da mesma cor	Número de movimentos
2	1	3 = 4 – 1= 22 - 1 = (1+1)2 – 1
4	2	8 = 9 – 1 = 32 - 1= (2+1)2 – 1
6	3	15 = 16 – 1 = 42 -1= (3+1)2 -1
8	4	24 = 25 -1 = 52 -1 = (4+1)2 -1
10	5	(5+1)2 -1 = 36 -1 = 35
12	6	(6+1)2 -1 = 49 -1 = 48
50	25	(25+1)2 -1 = (26)2 -1
2n	n	(n + 1)2 – 1 = n2 + 2n

 

 

    Chamando de n o número que aparece em negrito e dentro dos parênteses na coluna do número de estacas, e M o número de movimentos, qual será a expressão que relaciona M com n?
    Qual é o número de movimentos para n = 15? Existe certa quantidade de estacas para a qual o número de movimentos necessários é igual a 30? Se existir, qual é o valor de n?
    Peça aos alunos para justificarem o fato de M ser uma função de n. Agora pergunte aos alunos qual é o domínio e a imagem desta função? Qual é o gráfico desta função considerando n até 10? (Peça para que eles façam este gráfico num papel quadriculado).
    Cuidado professor, fique atento com relação ao gráfico dos alunos! Este é um gráfico de pontos isolados uma vez que o domínio é o conjunto dos naturais!
    Está função M(n) é a função que relaciona o número de Movimentos ao número de estacas? 
    Os alunos perceberão que a função M encontrada ainda não responde a questão proposta. Uma vez que M ainda não está em função do número de estacas. Pergunte aos alunos se eles têm alguma idéia de como fazer isto? Peça para que eles observem que o número n é o número de estacas dividido por dois.
    Persistindo a dúvida, leve os alunos a perceberem que se chamarem o número de estacas de x e n = x/2, então M(x) pode ser encontrado substituindo n por x/2 na expressão de M(n). 

Parte Final da Avaliação:

    A avaliação poderá ser complementada com perguntas envolvendo a expressão que define a função, tais como:
    - É possível encontrar o número de movimentos para 16 estacas? Para 100 movimentos existe uma certa quantidade de estacas correspondentes ?
    - Peça aos alunos para encontrarem uma expressão para M(x), seu domínio e sua imagem.
   - Existe alguma função f cujo domínio é o conjunto dos números reais e a imagem contenha a imagem da função M(x)? Qual é o gráfico desta função? Peça aos alunos para faze rem o gráfico desta função no programa Geogebra http://www.geogebra.org/cms/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=70&Itemid=57&lang=en

   Para isto, no campo entrada digite f(x) = e a expressão correspondente a função a qual se deseja fazer o gráfico. Depois, basta teclar enter e visualizar o gráfico da função.

 

 

 

Obs.: - Para digitar potências no campo entrada do Geogebra basta utilizar o símbolo ^. Assim, x² deve ser escrito como x^2.
- A divisão é indicada pelo símbolo / . Assim a divisão de x por 2 deve ser escrita como x/2.
 

O professor deverá avaliar a participação dos alunos e a devida utilização do jogo das estacas para encontrar a expressão que define a função pedida. A tabela construída e os gráficos também fazem parte da avaliação.