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Explorando funções por meio da Torre de Hanói.

19/06/2009

Autor e Coautor(es)

Autor: Wescley Well Vicente Bezerra

BRASILIA - DF SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DO DISTRITO FEDERAL

Coautor(es):

Maria Terezinha Gaspar

Estrutura Curricular

Modalidade / Nível de Ensino	Componente Curricular	Tema
Ensino Médio	Matemática	Álgebra

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

•Explorar o conceito de funções usando a Torre de Hanói. •Encontrar a expressão que define uma função dada. •Encontrar o valor da função em um ponto. •Fazer esboço do gráfico de uma função.

Duração das atividades

Uma aula de 50 minutos.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

•Conhecimentos sobre potenciação; •Conhecimentos sobre o conceito e gráfico de funções; •Sistema de coordenadas cartesianas no plano.

Estratégias e recursos da aula

    O problema da Torre de Hanói foi proposto pelo Matemático francês Edouard Lucas em 1883. Ele elaborou uma lenda muito curiosa sobre à Torre. A lenda falava sobre uma torre muito grande, a Torre de Brama, que foi criada no início dos tempos, com três hastes contendo 64 discos concêntricos. Dizia a lenda também, que o criador do universo gerou uma comunidade de monges cuja única atividade era mover os discos da haste original para um haste de destino. E se caso eles conseguissem terminar sua tarefa em um número mínimo de passos, o mundo acabaria. Para fazer tal tarefa os monges deveriam obedecer as seguintes regras:
    - Nunca colocar um disco maior sobre um disco menor;
    - Mover um único disco por vez;
    - Nunca colocar um disco em outro lugar que não seja uma das três hastes.

Professor, converse com seus alunos sobre a lenda da Torre de Hanói, e então, leve-lhes ao Laboratório de Informática e peça para que acessem o site http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_118_g_2_t_2.html?from=topic_t_2.html onde se encontra a Torre de Hanói virtual.

    Seguindo as regras obedecidas pelos monges, sugira aos alunos que resolvam o problema da Torre de Hanói com diferentes quantidades de discos: 3,4,5, etc.
    Em seguida, após a familiarização com o jogo, sugira a construção de uma tabela mostrando a relação entre o número de discos e a quantidade mínima de jogadas para se completar o jogo.
    Nesse momento os alunos podem verificar entre eles com quantas jogadas cada um completou o jogo até descobrirem o número mínimo de jogadas e todos tentarem realizar a tarefa completando o jogo com a quantidade mínima de jogadas.

Número de Discos	Quantidade Mínima de Jogadas
3
4
5
6

Completando a tabela, você deverá encontrar os seguintes resultados:

Número de Discos	Quantidade Mínima de Jogadas
1	1
2	3
3	7
4	15
5	31
6	63

    Em seguida, o professor pode fazer a seguinte questão a seus alunos:
    - A toda quantidade de discos existe uma quantidade mínima de jogadas associadas? Esta quantidade mínima de jogadas é única?
    - Para qualquer quantidade de discos escolhida é possível completar o jogo com a quantidade mínima de jogadas?
    - A quantidade mínima de jogadas depende do número de discos?
    Professor utilize estas perguntas para levar a identificarem esta relação como uma função.
    Agora, pergunte a seus alunos se é possível escrever uma expressão que permita encontrar a quantidade mínima de jogadas conhecendo o número de discos? Ou seja, qual é a expressão matemática que fornece a quantidade mínima de jogadas em função do número de discos.
    Uma regra que pode surgir é a de que a quantidade mínima de jogadas para uma torre com n discos é igual duas vezes a quantidade mínima de jogadas para uma torre com n-1 discos mais 1.
    Caso isso aconteça pergunte aos alunos se tem como encontrar a quantidade mínima de jogadas para uma torre com n discos de um modo que não depen da do conhecimento da quantidade mínima de jogadas para uma torre com n-1 discos.
    Se necessário pergunte aos alunos se é possível escrever os números da segunda coluna da tabela utilizando a operação de potenciação e os números correspondentes na primeira coluna. Caso continuem com dificuldade sugira que somem 1 a todos os números que aparecem na segunda tabela.
    Eles devem chegar a conclusão que a quantidade mínima de jogadas (vamos chamar de J) será uma função do número de discos (vamos chamar de n), e esta função é dada pela equação J(n) = 2n –1.

Recursos Complementares

- A Torre de Hanói virtual pode ser acessada on-line no site: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_118_g_2_t_2.html?from=topic_t_2.html - Planilha eletrônica que permite construir gráficos e tabelas.

Avaliação

O professor deverá avaliar a participação dos alunos, a devida utilização da Torre de Hanói virtual para construção conceito de função, os resultados obtidos, a construção da tabela e as respectivas conclusões. A avaliação poderá ser complementada com perguntas envolvendo a expressão que define a função, tais como: -Qual será a quantidade mínima de jogadas para 50 discos? -Sabendo que é necessário em média um segundo para se fazer uma jogada, pergunte a seus alunos qual será o tempo mínimo para se completar o jogo com 10 discos com um número mínimo de passos? Utilizando uma folha de papel quadriculado peça aos alunos para: -Traçar duas retas perpendiculares (uma reta será o eixo coordenado correspondente ao número de discos e a outra reta corresponderá ao número mínimo de jogadas); - Marcar alguns pontos no plano cartesiano (número de discos, número mínimo de jogadas associadas), exemplo: (3,7), (4,15), etc; -Traçar um gráfico aproximado da função “Quantidade mínima de jogadas” em relação ao número de discos. -Os alunos também podem fazer o gráfico utilizando uma planilha eletrônica. Para isso sugira aos alunos que: o coloquem os dados da tabela em uma planilha eletrônica. o utilizem o recurso “função” da planilha para ampliarem a tabela até n = 20. o utilizem o recurso “gráfico” da planilha para visualizarem o gráfico. Por fim, o professor pode sugerir aos alunos que descubram quanto tempo levará para os monges realizarem a tarefa proposta, considerando que eles levam um segundo em média para transportar cada disco. Eles devem chegar a um valor aproximado de 18 446 744 073 709 551 615 segundos. Sugira que transformem segundos em minutos, minutos em horas, horas em dias, dias em anos, anos em milênios, e comparem o resultado com a idade da terra. Assim, eles devem chegar que o cumprimento da tarefa levará aproximadamente 600 mil milênios, que equivalem a 300 vezes o tempo de existência da Terra.

Opinião de quem acessou

Quatro estrelas 7 classificações

Cinco estrelas 4/7 - 57,14%
Quatro estrelas 3/7 - 42,86%
Três estrelas 0/7 - 0%
Duas estrelas 0/7 - 0%
Uma estrela 0/7 - 0%

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Opiniões

JOSIVAN SANTANA, Unicastelo , São Paulo - disse:
josivansantana18@hotmail.com
25/05/2014
Cinco estrelas
Muito boa essa aula, dinâmica e bastante interessante.

Uerlivan Bispo Vidal, Secretaria Municipal de Educação de PORANGATU , Goiás - disse:
Uerlivan@hotmail.com
13/08/2011
Cinco estrelas
Olá! Quando eu era universitário, tive a oportunidade de conhecer este jogo e ficava imaginando o que poderia ser trabalhado com ele. Acho que minha curiosidade foi pouca naquela época. Hoje estou atuando como coordenador de matemática em meu município e realizando minhas pesquisas encontrei esta excelente ideia a ser trabalhada. Não perdi tempo, dois dias depois repassei pra meus colegas e acredito que será um sucesso, estou esperançoso para saber o resultado.

eduardo samaroni de oliveira, EEB pro Gertrudes Benta Costa , Santa Catarina - disse:
samaroniveri@ibest.com.br
05/09/2010
Quatro estrelas
é muito importante estar trabalhando função com brincadeiras, porque os alunos tem muitas dificuidades de aprendizagem.

Daniel , E.E.M. MATILDE RODRIGUES VASCONCELOS , Ceará - disse:
danielmarx19@gmail.com
24/03/2010
Cinco estrelas
iniciar uma aula com uma historia em que haja uma aplicação de uma função exponencial irá chamar a atenção do aluno de imediato, além de fazer com que o mesmo interaja com a historia, ao utilizar o recurso computacional o mesmo ira desenvolver não apenas o conceito de função mas também seu raciocínio lógico.

Inaldo Andrade, PMJP_Sec. de Educação , Paraíba - disse:
inaldolopes1@hotmail.com
24/03/2010
Quatro estrelas
Muito Bom! Vou usar em sala de aula, Parabéns

Carma Maria Martini, EEEFM Heitor Villa-Lobos , Rondônia - disse:
professoracarma@yahoo.com.br
24/03/2010
Cinco estrelas
Já utilizei esse recurso e o resultado foi excelente, pois permite que o aluno entenda o conceito de função, entre outras coisas.

evaldo da cruz costa, E E E M PLINIO PINHEIRO , Pará - disse:
evaldocruz@bol.com.br
24/03/2010
Quatro estrelas
Parabéns pela ótima aula ! Vou utilizar a mesma com os meus alunos .