Visualizar a rotação de um vetor em torno da origem, segundo um ângulo qualquer.

Rotacionar uma figura plana em torno da origem segundo um ângulo qualquer.

3 aulas de 50 minutos cada

Plano cartesiano

Determinação de coordenadas de um ponto no plano cartesiano

Conceito de vetor

Medidas de ângulos.

Determinação de seno e cosseno de um ângulo qualquer

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.    

Exiba, com o uso do Data Show, as imagens abaixo, representando aplicações de rotação no cotidiano.

Figura 1: Exemplo Rotação - Bússola

Fonte: http://cienciadafelicidade.org/wp-content/uploads/2009/04/bussola1.bmp 

Figura 2: Exemplo de Rotação – Ventilador 

Fonte: http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRTWa9X_17LBsoS9T-st_n27-MuIx98X_o6tk7eK68xfy60MMA&t=1&usg=__4khCrhXnP0pqIJDvyBJFcSQ5MRU= 

Figura 3: Exemplo de Rotação – Leme de navios 

Fonte: http://pt.dreamstime.com/leme-thumb7232171.jpg 

Solicite que a turma reflita sobre o mundo à sua volta e resgate outras situações do cotidiano onde as rotações são utilizadas, promovendo a seguir uma troca de ideias sobre o tema.

Peça que os alunos acessem a Internet e pesquisem sobre rotações aplicadas no cotidiano. Deixe que eles explorem por um tempo de aproximadamente 30 minutos.

Em seguida, estabeleça um momento para que cada aluno (ou grupo) exponha a pesquisa feita.

Definindo Rotação: Professor, peça que os alunos registrem em seus cadernos uma definição de rotação:

Rotação é a transformação onde a figura “gira” em torno de um ponto segundo um ângulo dado.

Atividade 1:

Para realização dessa atividade, continue com a sua turma no laboratório de informática.

O objetivo da atividade, interativa e exploratória, é fazer com que o aluno trabalhe o conceito de rotação. Portanto, informe aos alunos que a atividade a ser realizada visa, através do trabalho em equipe, descobrir rotações em apertos de mão. Peça que, em duplas, eles segurem as mãos e identifiquem como o aperto de mão pode ser feito de modo que as mãos, consideradas objetos idênticos neste exercício, podem girar para que a figura formada seja resultado de um giro do objeto.

Depois escolha três alunos para que eles repitam o processo análogo ao descrito anteriormente, como mostra a imagem abaixo.

Figura 4: Exemplo de rotações com três alunos – Composição feita pela autora.

Fontes: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/images/maos1.jpg             

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/images/maos2.jpg             

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm12/images/maos3.jpg  

Deixe que os alunos observem e relatem suas descobertas.

Atividade 2:

Mantendo a turma no laboratório de informática, dispostos como na atividade 1, exiba, com o uso do Data Show, a imagem abaixo.

Figura 5: Hexágonos – Adaptada pela autora.

O objetivo da atividade é fazer com que a turma solidifique, através do trabalho em equipe e da observação, o conceito de rotação. Portanto, informe aos alunos que a atividade a ser realizada consiste em criar uma estratégia para que o ponto A se sobreponha ao ponto B. Ressalte o fato de os três hexágonos serem regulares e iguais.

Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 10 minutos.    

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pelos alunos, verificando se a turma apreendeu com êxito, o conceito e determinação de uma estratégia para se obter a rotação de um objeto.

Figura 6: Hexágonos Solução – Adaptada pela autora.

A turma deve perceber que a rotação está presente nesta atividade, uma vez que, através do desenho exibido, é necessário estabelecer um ponto em torno do qual será feita a transformação, e um sentido que pode ser positivo (anti-horário) ou negativo (horário).

Espera-se que os alunos respondam que a rotação se dará em torno do ponto D e que o hexágono amarelo deve girar 240º no sentido positivo ou 120º no sentido negativo.

Atividade 3:

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos a percepção e o entendimento de como pode ser feita a rotação de um vetor em torno da origem segundo um ângulo qualquer.

Peça que eles acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/RotacaoDeUmVetor.html e iniciem a atividade. 

   Figura 7: Imagem da autora.

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Verifique então as respostas dadas pela turma.

a) v = (2, 0) v` = (0, 2)    

b) Quando os vetores são perpendiculares temos, v` = (–b, a).    

c) Rotação de 240º: v` = (–1, –raiz quadrada de 3);     

Rotação de 270º: v` = (0, –2);     

Rotação de 300º: v` = (1, –raiz quadrada de 3).     

Encontramos as coordenadas do vetor calculando o seno e o cosseno do ângulo que este forma com o eixo x.

d) São simétricos em relação ao eixo y.

e) Simetria Central onde a origem é o centro de simetria ou simetria axial em torno do eixo y.

Atividade 4:

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos a percepção e o entendimento de como pode ser feita a rotação de uma figura em torno da origem segundo um ângulo qualquer. Solicite que a turma acesse o link abaixo para iniciar a atividade:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/RotacaoFigura.html

Figura 8: Imagem da autora.

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos.

Verifique então as respostas dadas pela turma.

a)      A = (3, 2), B = (1, 2) e C = (1, 1)

b)      Devemos rotacionar os vetores com origem na origem dos eixos e extremidade nos vértices do triângulo ABC

c)      Rotação de 90º: A`= (-2, 3), B` = (-2, 1) e C` = (-1, 1)       

Rotação de 180º: A` = (-3, -2), B` = (-1, -2) e C` = (-1, -1)       

Rotação de 270º: A` = (2, -3), B` = (2, -1) e C` = (1, -1)

A atividade a seguir pode assumir o papel de um desafio ou ainda uma avaliação, uma vez que a “ferramenta” foi elaborada para que o aluno responda aos questionamentos durante a manipulação da mesma, digitando, em alguns itens, a resposta correspondente.    

Se a opção feita for a utilização como desafio, divida a turma em grupos e determine um tempo para que os alunos construam uma estratégia para a obtenção da rotação desejada.

Caso a utilize como avaliação individual, ou em grupo, planeje anteriormente a melhor forma para a sua execução, pois existe a necessidade do seu acompanhamento aos procedimentos realizados pelo aluno (ou grupo). Professor, previamente acesse o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/ExerAula5Rotação.pdf, tire cópias da atividade e distribua para os alunos ao regressarem à sala de aula.

 

Atividade 5:

Solicite que os alunos retornem a sala de aula, ocupem seus lugares e a seguir distribua a atividade

Informe aos alunos que esta atividade tem como objetivos a solidificação do conteúdo abordado.

Figura 9: Imagem da autora.

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça, então, que os alunos relatem as suas descobertas e desenvolva no quadro com a participação da turma as soluções encontradas.

Uma visita guiada a uma igreja ou a algum outro lugar, acessível aos alunos, onde existam objetos que permitam a visualização de rotações.

A visita pode ser realizada também para destacar os fatos históricos relacionados ao local, bem como para investigar situações em que são identificadas rotações.

Sugira que os alunos façam registros fotográficos para, em um segundo momento, serem analisados pela turma.

Veja exemplos a seguir:

Figura 10: Vitrais de igrejas.

Fonte: http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRTsH5vcMvUwjCqnyywsUsalhEK3L6rjZthX0sR5CuhUCNMaOU&t=1&usg=__KqhrBlaBautndKpbRbi0QfZERio 

Figura 11: Cataventos.

Fonte: http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2009/08/full-19-088ecb250e.jpg 

A figura acima exibe cataventos utilizados no processo de obtenção da energia eólica, fonte de energia alternativa, usada como uma das possibilidades para diminuir o aquecimento global.

Nota: Para um aprofundamento sobre o assunto, acesse o link constante nos Recursos Complementares e escolha um dos vídeos disponíveis, para mostrar algumas consequências deste aquecimento.

Enfatize que mudanças na postura dos cidadãos devem ser feitas.

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web.

Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/    

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.

Fonte de pesquisa - Aquecimento global: http://aquecimentoglobalportal.wordpress.com/ 

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Solicitar aos alunos que façam uma pesquisa, individualmente ou em grupos, a respeito de outras aplicações da rotação de figuras planas no cotidiano e nas diversas áreas de estudo. Os resultados deverão ser apresentados pelos alunos (ou grupos) e debatidos em sala de aula.