Realizar a homotetia de um vetor com centro na origem segundo uma razão de homotetia dada.

Ampliar e reduzir figuras semelhantes.

Plano cartesiano;

Determinação de coordenadas de um ponto no plano cartesiano;

Conceito de vetor;

rotação de figuras;

Figuras semelhantes.

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.    

Exiba, com o uso do Data Show, as imagens abaixo, representando aplicações de homotetia no cotidiano.

Figura 1: Exemplo Homotetia – Obra de arte

Fonte: http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSO1VfBPyqIf7zk15fA4anV57oPs3GQ29kFp-5r4n1i2irB0fM&t=1&h=167&w=167&usg=__zMGNOkjpmjlHodIC-rYkPoKzaTg  

Figura 2: Exemplo de Homotetia – Galáxia

Fonte: http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQy1zlPCAUyC1tb0MknsMq7WL0kNa1JNX4SmHMyeq5wNRcj-_k&t=1&usg=__rx5ZVSQFgkAq8uJxVos7Ufdz1cc 

Figura 3: Exemplo de Homotetia

Fonte: http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRLM0p-pTLsUUIYUqFseoTX6KKf98S-HARGmpXjfHOptZrIPkk&t=1&usg=__75NsRAL2qLyNHVJyuPy9WOdcyXE  

Peça para a turma analisar as imagens e pergunte se existe alguma característica que esteja presente em todas elas. Esperamos que a turma observe que em todas as imagens existe um objeto que está sendo ampliado ou diminuído dependendo do referencial do aluno.

Solicite que a turma reflita sobre o mundo à sua volta e resgate outras situações do cotidiano onde as homotetias são utilizadas, promovendo a seguir uma troca de ideias sobre o tema.

Peça que os alunos acessem a Internet e pesquisem sobre homotetias aplicadas no cotidiano. Deixe que eles explorem por um tempo de aproximadamente 30 minutos.

Em seguida, estabeleça um momento para que cada aluno (ou grupo) exponha a pesquisa feita.

Atividade 1:

Para realização dessa atividade, continue com a sua turma no laboratório de informática.

O objetivo da atividade, interativa e exploratória, é fazer com que o aluno trabalhe os conceitos de semelhança, ampliação e redução de figuras.

Solicite que os alunos acessem o link: http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/semelhanca_atraves_da_ampliacao/index.html 

Figura 4: Imagem editada pela autora a partir de http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/semelhanca_atraves_da_ampliacao/index.html

Deixe que eles a explorem por um tempo de aproximadamente 10 minutos.    

Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos apreenderam, com êxito, os conceitos trabalhados.

Atividade 2:

Professor, continue com a turma no laboratório de informática.

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos a percepção e o entendimento de como pode ser feita a homotetia de uma figura com centro na origem e razão qualquer.

Peça que eles acessem o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/HomotetiaFigura.html e iniciem a atividade.  

Figura 5: Imagem da autora   

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 10 minutos. Verifique então as respostas dadas pela turma.   

a) Quando o módulo de k é maior que 1 temos uma ampliação, quando é menor ocorre uma redução da figura e quando é igual a 1 os triângulos coincidem.

b) Multiplicando os vetores na posição canônica cujas extremidades se encontram nos vértices dos triângulos por k.

c) A = (3, 2); B = (1, 2) e C = (1, 1).

d) Se a razão de homotetia for 2, temos:      

• A`= (6, 4) = 2 . (3, 2) = 2 . A;      
• B`= (2, 4) = 2 . (1, 2) = 2 . B;      
• C`= (2, 2) = 2 . (1, 1) = 2 . C.  

Definindo Homotetia: Professor, peça que os alunos registrem em seus cadernos uma definição de homotetia:

Homotetias são transformações que, mantendo um ponto fixo O chamado centro da homotetia, multiplicam qualquer vetor que tenha este ponto como origem, por um fator constante a, chamado razão da homotetia.

 Em outras palavras, homotetias mantêm a origem fixa e "esticam" ("contraem") os vetores segundo um fator constante a.   

Após a realização das atividades 1 e 2 e do registro no caderno, exiba com o Data  Show para a turma a figura abaixo que ajuda na solidificação do conteúdo trabalhado.   

Figura 6: Redução e ampliação de figuras

Fonte: http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTY0Pytimmy2aliSlvkIzMxAwjtovxodOy9jgsZD8PVluYtNMQ&t=1&usg=__mTba-Fak4jculF_eY256EOdyzJY= 

Atividade 3:

Mantendo a turma no laboratório de informática, dispostos como nas atividades anteriores, exiba, com o uso do Data Show, a imagem abaixo que representa a ampliação de uma figura.

Figura 7: Adaptada pela autora

Solicite que a turma, analisando a imagem dada determine o centro de homotetia e a constante de proporcionalidade relacionando desta maneira os peixes verde e vermelho.

Espera-se que a turma observe que tal homotetia foi obtida multiplicando-se por dois as coordenadas dos vetores que estão na posição canônica cujas extremidades se encontram em pontos do peixe vermelho. Logo o centro de homotetia se encontra na origem dos eixos coordenados e a razão de homotetia é dois.   

Professor, previamente acesse o link http://www.mscabral.pro.br/sitemauro/praticas/escala.htm onde são dadas as orientações para as construções, providencie papel quadriculado e distribua para os alunos ao regressarem a sala de aula.

Atividade 4:

Solicite que os alunos retornem a sala de aula, ocupem seus lugares e a seguir distribua o papel quadriculado. Informe que este momento tem como objetivo trabalhar as formas de construção de ampliações e reduções de figuras. Peça que eles criem suas figuras, escolham uma razão de homotetia e analisem a figura gerada quanto aos lados e ângulos.

Figura 8: Ampliação de figuras

Fonte: http://www.mscabral.pro.br/sitemauro/praticas/mapa02.gif 

Nota: Espera-se que a turma perceba que as figuras possuem os lados correspondentes proporcionais e os ângulos iguais.

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça que os alunos relatem as suas conclusões e desenvolva no quadro um exemplo com a participação da turma.

A atividade a seguir pode assumir o papel de um desafio ou ainda uma avaliação.

Professor, previamente acesse o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/ExerAula6HomotetiaAluno.pdf, tire cópias e distribua para os alunos que permanecerão em sala de aula. 

Atividade 5:

Peça que os alunos continuem em sala de aula, e distribua a atividade Informe aos alunos que esta atividade tem como objetivos solidificar o conteúdo abordado trabalhado, além de retomar também as rotações.

Figura 9: Imagem da autora   

A resolução das questões encontra-se no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/ExerAula6HomotetiaProfessor.pdf  

Permita que eles manipulem, façam descobertas e respondam aos questionamentos por um tempo aproximado de 15 minutos. Peça que os alunos relatem as suas descobertas e desenvolva no quadro com a participação da turma as soluções encontradas.  

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web.Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em: http://www.java.com/pt_BR/download/ 

2.   Baixar o arquivo contendo as atividades.

Fonte de pesquisa - http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap26.html 

                            http://cyshine.webs.com/homotetia.pdf  

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Solicitar aos alunos que façam uma pesquisa, individualmente ou em grupos, a respeito de outras aplicações da rotação de figuras planas no cotidiano e nas diversas áreas de estudo. Os resultados deverão ser apresentados pelos alunos (ou grupos) e debatidos em sala de aula.