§  Comparar funções exponenciais e logarítmicas.

§  Resolver situações-problema em diferentes contextos utilizando função exponencial e logarítmica.

Conhecimentos básicos sobre função exponencial e progressões aritméticas e geométricas

Professor, com os alunos em sala de aula, reunidos em grupos (3 a 4 alunos) proponha o seguinte problema:

Uma piscina tem capacidade para 100 m³ de água. Quando a piscina está completamente cheia, é colocado 1 kg de cloro na água. A água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso de água eliminado por meio de um ladrão. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.

Figura 1 - Disponível em: http://piscinalimpa.files.wordpress.com/2010/04/piscina.jpg,
acesso em 08 de novembro de 2010. 

a) Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

b) E após meia hora da aplicação?

c) E após t horas?

Professor, permita que os alunos façam conjecturas. Que tentem resolver pelos diferentes métodos possíveis.

Só então encaminhe:

Uma resposta muitas vezes dada a primeira pergunta do problema é que, após 10 horas, não há mais cloro na piscina. Esta resposta resulta da aplicação do modelo mais simples de variação de uma grandeza, expresso por uma função afim. Segundo este modelo, a variação sofrida em cada intervalo de 1 hora é sempre a mesma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100 g de cloro, o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas seguintes, fazendo com que todo o cloro seja eliminado nestas 10 horas. Observe o gráfico que ilustra esse raciocínio.

Gráfico 1 - Fonte da autora

No entanto, essa solução não está correta. Não é razoável admitir que a eliminação de cloro se dá a uma taxa constante. De fato, é mais razoável que esta taxa dependa da quantidadede de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de cloro, mais cloro é eliminado por unidade de tempo. Na verdade, parece intuitivo que a quantidade eliminada por unidade de tempo seja proporcional à quantidade existente de cloro.

A perda de cloro, nos períodos consecutivos de 1 hora, não é a mesma. O que é constante, em cada um destes períodos, é a variação relativa: se 10% do cloro foi eliminado na primeira hora, o mesmo ocorre em cada hora a seguir. Equivalentemente, se 90% do cloro permanece após a primeira hora, o mesmo ocorre em cada hora a seguir. Logo, após 10 horas da aplicação, a quantidade de cloro terá sido multiplicada por (0,9)¹⁰ = 0,349. Portanto, neste instante haverá 349 gramas de cloro na piscina. De modo geral, podemos expressar a quantidade de cloro ao final de n horas (onde n é natural) por:

c(n) = 1000 · (0,9)ⁿ, para n = 0, 1, 2, . . .

Gráfico 2 - Fonte da autora

Professor, mostre aos alunos que na verdade, essas quantidades formam uma progressão geométrica. Este é exatamente o mecanismo através do qual se define uma função exponencial.  A função que fornece a quantidade de cloro que resta no instante t é dada por c(t) = 1000 · 0,9^t, para todo t real.

Após, proponha aos grupos de alunos, o seguinte problema. Acompanhe-os durante a resolução, contribuindo e orientando sempre que necessário.

Atividade 1

Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de seis horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

a) Após 12 horas da ingestão do remédio, qual a quantidade de remédio presente no organismo?

b) E após 3 horas da ingestão do remédio?

c) E após t horas de sua ingestão?

Resolução:

Para respondermos à primeira pergunta, aplica-se a definição de meia-vida. Em qualquer período de 6 horas, a quantidade da droga presente no organismose reduz à metade do valor no início do período.

Assim, após as  primeiras 6 horas, haverá 12×60 = 30mg.

Em mais 6 horas, este valor se reduz novamente à metade, passando a ser 1/2× 30 = 15mg.

O processo de eliminação da droga do organismo é análogo ao processo de eliminação do cloro na piscina. Como no caso da piscina, a quantidadede droga eliminada é maior quando a quantidade de droga presente é maior. Assim, é razoável considerar, para a quantidade de droga no organismo, um modelo segundo o qual a variação relativa em intervalos de tempo de mesma duração é a mesma, o que nos leva a um modelo expresso por uma função daforma f(x) = ba^x.

Para calcular a quantidade de droga no instante t = 3, basta observar, mais uma vez, que em cada intervalo de duração 3 horas, a quantidade de droga é multiplicada por uma constante k. Como em 6 horas a droga se reduz à metade, temos k · k = 1/2 e, portanto, k =√1/2 =√2/2 = 0,707.

Logo, após 3 horas da ingestão, a massa restante de droga será igual a 60 × 0,707 = 42 g, aproximadamente (compare com o valor que obteríamos com o modelo afim, que seria igual a 45 g).

Para obter a quantidade de droga em um instante qualquer t, utilizaremos os valores f(0) = 60 e f(6) = 30 para calcular os coeficientes a e b de f(x) = bax. A primeira igualdade fornece b = 60 e a segunda  60a⁶ = 30, de onde obtemos a =√1/2 = 2^-1/6 . Logo, a quantidade de droga após t horas da ingestão é dada por:

f(t) = 60 (2^-1/6)^t = 60 · 2^-t/6 

Atividade 2

No laboratório de informática, propor aos alunos (nos grupos) o recurso Variação da Função Exponencial, disponível em: http://www.uff.br/cdme/exponencial/exponencial-html/EP1.html, acesso em 08 de novembro de 2010. Permita que por uns minutos os alunos manuseiem o recurso, para conhecer as ferramentas e só então passe as orientações de resolução das atividades.

Este recurso tem por objetivo estudar o comportamento variacional de uma função do tipo exponencial fazendo uso de recursos gráficos, numéricos e algébricos; caracterizar uma função exponencial por meio de seu comportamento variacional. Para isso, se utiliza de processos de modelagem matemática para resolver problemas do cotidiano, tendo como referência o comportamento variacional de uma função do tipo exponencial.

Figura 2 - Fonte: http://www.uff.br/cdme/exponencial/exponencial-html/EP1.html, acesso em 08 de novembro de 2010. 

No desenvolvimento da atividade, o professor poderá acompanhar de perto os grupos interagindo quando julgar necessário. Deve estar atento para garantir certa harmonia da realização da aula. Proponha paradas, se necessário, ou utilize os grupos com melhor rendimento como monitor. Além de ajudar os demais que tenham mais dificuldade, eles também poderão ajudar você professor com o feedback da realização das atividades.

Professor, em sala de aula, novamente com os alunos reunidos nos grupos, encaminhe que retomem o problema inicial da aula. Será que é possível calcular quanto tempo deve transcorrer para que a quantidade de cloro na piscina se reduza à metade? Como vimos, a quantidade de cloro no instante x é dada por c(x) = 1000 × 0,9^x. Logo, o instante x em que esta quantidade se reduz à metade satisfaz a equação 500 = 1000 × 0,9^x, ou seja, 0,9^x = 0,5.

Mas como resolver esta equação? Existe um tal valor de x?

Explicação:

Professor, questione, faça inferências e oriente para a resolução.

Afirmativo, como as funções exponenciais  (em particular, a de base 0,9) são injetivas e têm por imagem o conjunto dos reais positivos, existe exatamente um número real  x tal que 0,9^x= 0,5.

De modo geral, dado um número y > 0, o único real x tal que at = y (onde y > 0) é chamado de logaritmo de y na base a e representado por log _a y. A função logarítmica de base a, que associa a cada número real positivo o seu logaritmo na base a, é, portanto, a inversa da função exponencial de base a e suas propriedades decorrem das propriedades da exponencial.

Gráfico 3 - Fonte: http://www.ebah.com.br/capitulo-3-funcoes-exponenciais-e-logaritmicas-impa-pdf-a22459.html,
acesso em 08 de novembro de 2010.

Assim, para resolver o problema, devemos obter log _0;9 0,5.

log _a 0,9 ^x = log _a 0,5 

x. log _a 0,9 = log _a 0,5

x = log _a 0,5/ log _a 0,9

Se usamos logaritmos na base 10, com o auxilio de uma tabela ou de uma calculadora, obtemos x = −0,30103/0,04576 = 6,57881.

Portanto, são necessárias 6,57881 horas (aproximadamente 6 horas e 35 minutos) para que a quantidadede cloro se reduza à metade.

Atividade 3

Uma pessoa deposita uma quantia em um banco, que a remunera à taxa de 1% ao mês. Em quantos meses a quantia depositada dobra?

Resolução:

Após n meses, a quantia depositada terá sido multiplicada por (1 + 0.01)ⁿ = 1,01ⁿ. Para que a quantia dobre, devemos ter 1,01ⁿ = 2.

Tomando logaritmos em uma base qualquer (por exemplo, na base 10), temos n log 1,01 = log 2.

Com o auxilio de uma tabela ou de uma calculadora, obtemos log 1,01 = 0,00432 e log 2 = 0,30103 e daí n = 0,30103/0,00432 = 69,68.

Assim, seria necessário esperar 70 meses para que a quantia dobre.

Propor aos alunos a animação Modelos funcionales exponenciales y logarítmicos [Ánalisis: funciones elementares], disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12290, acesso em 08 de novembro de 2010. 

Esse recurso, tem por objetivo interpretar e representar as características das funções exponenciais. Também permite construir as funções logaritmicas a partir das exponenciais.

Modelos funcionales exponenciales y logarítmicos [Ánalisis: funciones elementares] 

Figura 3 - Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12290, acesso em 08 de novembro de 2010. 

Funções Exponenciais e Logarítmicas. Disponível em: http://www.ebah.com.br/capitulo-3-funcoes-exponenciais-e-logaritmicas-impa-pdf-a22459.html, acesso em 08 de novembro de 2010. 

A função exponencial. Disponível em: http://www.interaula.com/matweb/medio/203/exponenc.htm, acesso em 08 de novembro de 2010.

Série Mundo da Matemática - Episódio 03 - A cidade. Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=11, acesso em 08 de novembro de 2010. 

Função Logarítmica. Disponível em: http://projeto.licenciar.vilabol.uol.com.br/F_Logaritmica.htm, acesso em 08 de novembro de 2010. 

A função exponencial e a Função Logarítmica. Disponível em: http://www.fund198.ufba.br/expo/fexp.pdf, acesso em 08 de novembro de 2010. 

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Participação no questionamento inicial. O aluno foi argumentativo?

- Durante as explicações. Participou? Apresentou raciocínio adequado?

- Na atividade do laboratório de Informática? Demonstrou coerência? Contribuiu no grupo?

- Na realização das atividades. Realizou as atividades? Contribuiu com os colegas? Demonstrou entendimento?