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A Segunda Lei de Kepler na Geometria Analítica

 

19/12/2010

Autor e Coautor(es)
GUILHERME ERWIN HARTUNG
imagem do usuário

PETROPOLIS - RJ CE EMBAIXADOR JOSE BONIFACIO

Rita Meirelles

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Geometria
Ensino Médio Física Universo, terra e vida
Ensino Médio Física Movimento, variações e conservações
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • Conceitos da elipse na Geometria Analítica;
  • Cálculo da área de um triângulo qualquer na Geometria Analítica;
  • Distância entre dois pontos;
  • Macro Solver e funções de planilha eletrônica;
  • Velocidade escalar;
  • As duas primeiras Leis de Kepler.
Duração das atividades
4 aulas de 50 minutos
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Noções de Geometria Analítica;

Noções de Cinemática;

Conhecimentos de planilhas eletrônicas.

Estratégias e recursos da aula

Johannes Kepler, nascido em dezembro de 1571 na Alemanha, foi um astrônomo e matemático bastante conhecido por elaborar as três principais leis da mecânica celeste, conhecidas como Leis de Kepler.

Um retrato de Johannes Kepler de 1610, por um autor desconhecido

Disponível em: (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpg

No Portal do Professor podemos encontrar diversas aulas e materiais didáticos sobre a elipse e as leis de Kepler. O que pretendo nesta aula é investigar a segunda lei de Kepler na elipse tendo como base os conceitos da geometria analítica. As atividades sugeridas foram programadas para serem trabalhadas no laboratório de informática.

Revendo a Elipse O vídeo abaixo mostra, não só a elipse, mas todas as cônicas, retiradas de uma dupla de cones. O vídeo é uma sugestão para a introdução da atividade.

Vídeo do autor disponível em: (http://www.youtube.com/watch?v=pAaFbTJg2g0

Veja uma elipse, e suas componentes, com o centro na origem e com o eixo maior paralelo ao eixo das abscissas ox:

Imagem do autor

Onde:

a = semi-eixo maior

b = semi-eixo menor

c = distância entre um foco e a origem

Observação: Distância focal = 2c 

Uma elipse nessas condições pode ser representada pela equação:

Como primeira atividade, sugiro que o professor use o software Graphmatica. Disponível em: (http://www.graphmatica.com/

Primeiramente peça para os alunos colocarem a equação da elipse   9x2 + 25y2 = 225   na forma:

Ou seja: Como o segundo membro da equação deve ser 1, os alunos terão que dividir toda a equação por 225. Depois da simplificação eles obterão:

Depois peça para eles inserirem a equação simplificada no Graphmatica. Para isso o aluno deverá apenas digitar a equação na caixa de texto do Graphmatica. Lembre-os que para colocar um expoente usamos o acento circunflexo (^) e para divisão usamos barra (/). Depois é só pressionar a tecla Enter. Veja:

Imagem do autor

Agora peça para que eles calculem as coordenadas dos focos da elipse. Com a relação    a2 = b2 + c2   eles facilmente chegarão a c = 4, logo F1(-4,0) e F2(4,0)

Proponha agora que os alunos criem uma elipse na origem, com o eixo maior paralelo ao eixo x e que tenha distância focal igual a 8, por exemplo. Com esta atividade os alunos terão que “encontrar” o tamanho dos semi-eixos (a e b) de forma que a igualdade    a2 = b2 + c e a condição a > b (eixo maior paralelo ao eixo x) sejam satisfeitas. O professor deve correlacionar a solução a = 10, b = 6 e c = 8 , os números inteiros pitagóricos 3, 4 e 5 e a igualdade  a2 = b2 + c  , desta forma os alunos poderão experimentar outras elipses com a, b e c inteiros.

Outra atividade interessante que proponho é: Analisando a igualdade   a2 = b2 + c , podemos perceber que quanto menor for c, menor será a diferença entre a e b. Sendo assim peça para os alunos inserirem elipses com uma pequena diferença entre a e b. Veja o exemplo:

Como     a2 = b2 + c   então  25 = 24 + c2   , logo c = 1. Veja como a elipse se aproxima de uma circunferência.

Imagem do autor

Neste caso a excentricidade é 0,2. Discuta com os alunos o que acontecerá se a diferença entre a e b for zero. Quanto valerá c? Qual será o valor da excentricidade? Se a e b são iguais, podemos substituí-los por r, obteremos assim   x2 + y2 = r2  . Que equação é essa?

Conceituando as duas primeiras leis de Kepler

1ª lei: “O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma trajetória na forma de uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos”.

(Antes de Kepler, acreditava-se que as órbitas dos planetas eram circulares)

Porém, essas elipses têm excentricidade baixa, tornando-as muito parecidas com circunferências. Os astrônomos usam com frequência esta aproximação (circunferências em vez de elipses) para facilitar os complexos cálculos astronômicos. Debata com os alunos as consequências deste tipo de aproximação.

2ª. lei: “O vetor que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais”.

Imagem do autor

Esta atividade consiste numa análise, proposta para os alunos, sobre a figura acima, a segunda lei de Kepler e sua relação com a velocidade de deslocamento dos planetas. Peça para que os alunos dissertem sobre o tema. Peça para que os alunos leiam suas dissertações.

Esta atividade é uma interessante proposta para trabalhar diversos conceitos da geometria analítica nas leis de Kepler.

Usaremos um software de planilha eletrônica. Neste exemplo usarei o Microsoft Excel 2007.

Esta atividade está programada para ser realizada pelos alunos no laboratório de informática. Abra o Microsoft Excel. Criaremos o gráfico da elipse:

Para criarmos o gráfico teremos que construir uma tabela. Como a = 10 , vamos usar para as abscissas valores inteiros de -10 a 10. Como teremos que calcular, separadamente, as ordenadas positiva e negativas, teremos que relacionar as abscissas novamente, desta vez de -9 a 9. Acrescentaremos ainda os dois focos da elipse. Os alunos encontrarão c = 8, portanto F1(-8,0) e F2(8,0). Estes dois pontos serão acrescentados na tabela. Repare na figura seguinte a tabela e a fórmula para calcular as ordenadas positivas e negativas.

Imagem do autor

Crie um gráfico de dispersão usando apenas marcadores. Formate o gráfico fixando os valores mínimo, máximo e unidade principal dos eixos.

Imagem do autor

Vamos considerar agora o movimento de um planeta do ponto A (-7 ; 4,28) ao ponto B (-9 ; 2,62) (retirados da tabela). Vamos aproximar a região da elipse limitada por A, B e F1, para um triângulo.

Imagem do autor

Lance o desafio: Como podemos calcular a área deste triângulo? Uma solução é usar:

Veja como pode ser feito no Excel:

Imagem do autor

Vamos imaginar agora o mesmo planeta se movendo de um ponto C (-4 ; 5,5), por exemplo, para um ponto D de forma que o triângulo CDF1 tenha a mesma área do triângulo ABF1. Quais seriam as coordenadas do ponto D? Usando um pouco de álgebra podemos determinar as coordenadas, mas vamos usar a macro Solver do Excel para calcular uma das soluções possíveis (analise com os alunos a quantidade de soluções possíveis para esse problema).

Imagem do autor

Logo as coordenadas do ponto D podem ser (-2,5 ; 5,8).

Imagem do autor

Agora vamos a uma última análise. Peça para os alunos calcularem as distâncias AB e CD. Com o Excel fica assim:

Imagem do autor

Como velocidade é a razão da distância pelo tempo, podemos afirmar que velocidade e distância são grandezas diretamente proporcionais, e como os tempos corridos nos dois movimentos são iguais, podemos resumir que se a distância de AB é maior que a de CD, então a velocidade no trecho de AB é maior que a velocidade no trecho CD. Concluímos então que um planeta em sua órbita assume velocidades diferentes ao longo de sua trajetória.

A planilha pronta pode ser obtida no endereço: (http://materialguilherme.webnode.com.br/news/planilha-da-segunda-lei-de-kepler/

O recurso a seguir pode ser usado como fechamento da aula:

Leis de Kepler 

Esta aula tem um grande potencial de interdisciplinaridade entre a física e a matemática. Explore este potencial elaborando projetos que envolvam os professores dessas disciplinas.

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Leis de Kepler Animação/simulação
Recursos Complementares

A aula seguinte pode complementar esta.

(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=943

Avaliação

A avaliação pode ser realizada durante todo o processo de aplicação das três atividades.

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