Com o uso de mosaicos o aluno, primeiramente, irá fazer um trabalho de investigação quanto aos polígonos que podem ser observados para recobrir determinada figura. Através desses polígonos, os alunos poderão usar dos recursos digitais propostos a fim de desvendar os seus ângulos internos. Professor, lembre-se que: O aluno não necessita se prender apenas à polígonos regulares com a busca de recobrir o plano. Deixe-o livre para as escolhas de seus polígonos. Também poderá ajudar aos seus alunos a desvendar que com determinados polígonos, a fim de recobrir envolta de um ponto não será possível usá-los apenas, deixando a figura com buracos. O que fazer para evitar isso e qual a importância disso, será discutido durante a aula.

Serão ministradas de 1 a 2 aulas, dependendo do desenvolvimento da turma.

É necessário que os alunos tenham conhecimento sobre polígonos em geral. Seus conceitos e nomenclatura.

A arte tem grande aplicação para infinitas atividades que o professor de matemática pretende propor aos seus alunos. Um dos conceitos que podem ser analisados por alunos necessariamente passa por uma arte importante do século IV: A arte Bizantina, mas precisamente os mosaicos dessa época. Aos professores que buscam dinamizar o conceito de ângulos internos de polígonos quais e regulares, é importante visualizá-la em outros contextos.

Observe a imagem a seguir:

Fonte: http://www.arikah.net/commons/en/5/56/SanVitale13.jpg                                                              

 

Agora observe essa:

 

Fonte: http://jotagemosaicos.files.wordpress.com/2007/06/tabua1.jpg                            

 

É importante que você, professor, mostre aos seus alunos exemplos de antigos mosaicos e os faça perceber que os antigos quadros bizantinos não possuíam formas específicas de polígonos regulares (Coisa que infelizmente não encontraremos nos recursos que nós iremos oferecer a ele.).Proponho nesse ponto que o professor  acesse o site: http://regentsprep.org/Regents/math/poly/JavaIntAngles.htm e mostre aos seus alunos que seja um polígono regular como o hexágono e outro que não esteja na mesma rigidez - com seus lados congruentes -, que ambos possuirão a mesma soma de seus ângulos internos. Dessa forma o aluno deve deixar de pensar que os polígonos que ele imagina na verdade não são importantes, afinal, infelizmente nos prendemos muito à polígonos regulares afim de mostrar-lhes as propriedades matemáticas e, assim, esquecemos que poderão existir outros interessantes que os alunos podem vir a observar durante o seu dia a dia. Tente avaliar,  então, ao mostrar os exemplos de figuras de mosaicos acima, se o seu aluno está bem habituado à nomear os polígonos (Hexágonos, Pentágonos, ...).

Assim que os alunos estiverem habituados, pergunte e os deixe refletir a pergunta:
 

• Nos polígonos acima, há buracos envolta de um determinado ponto. O porquê disso? É possível recobrir um plano sem deixar buracos (espaços)?
 

É importante que o professor, ao longo das atividades, mostre ao aluno que para recobrir um plano usufruindo de diversos polígonos ou mesmo usando apenas um, ele necessita que os ângulos dos polígonos que estarão envolta de um determinado ponto complete o ângulo de 360 (Veja o exemplo abaixo). É importante que o aluno observe que se ele consegue recobrir envolta de um ponto usando os polígonos a soma dos seus ângulos que envolvem o ponto soma a 360. E à essa idéia, poderemos avançar em diversas possibilidades aos alunos.
 

Se for interessante, primeiro deixe que o aluno use do recurso nlvm (http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_169_g_1_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html ) e apresente à ele a atividade 1.
O aluno poderá enxergar diversas possibilidades, e creio que a do quadrado é a mais simples para se observar que como a soma dos 4 ângulos formam à 360 graus, então por serem ângulos idênticos, cada um deles contribuirá com 90 graus.

Após a observação acima, pergunte ao aluno:
 

• Usando apenas triângulos da forma (36 graus, 72 graus, 72 graus), é possível recobrir envolta de um único ponto? Com quantos triângulos é possível isso? E de que formas diferentes são possíveis? Lembrando que o triângulo com os ângulos acima é o triângulo áureo. O professor pode se ater a aprofundar no conceito, ou avançar. Fica a critério de cada.
 

Após isso, proponha a ativida de 2 e 3, lembrando que a 3 é um tanto mais complexa, mas que permite ele avaliar de acordo com os arranjos dos ângulos poderá aumentar ou diminuir o buraco que sobrará de espaço. Pergunte se apenas usando ângulos de 25 graus, quantos graus de buraco sobrariam envolta do ponto ( 10 graus ). Ou se usar apenas o de 55, quantos graus sobraria de buraco na figura. Além de estimular a investigação e o arranjo que eles usarão, permitirá observar o desenvolvimento em álgebra.

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_114_g_2_t_2.html ; http://regentsprep.org/Regents/math/poly/JavaRegular.htm

Atividade 1:Acesse o site do recurso nlvm (http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_169_g_1_t_3.html?open=activities&from=topic_t_3.html ) e pergunte ao seu aluno:a)É possível usando apenas uma das figuras em destaque ao lado, recobrir um plano sem deixar buracos? b)Qual é o ângulo interno da figura que você encontrou? Atividade 2: Agora misturando as peças, é possível recobrir o plano usando elas? Se não for possível, explique o motivo. Atividade 3 (Desafio): Albert deseja recobrir envolta de um ponto P com um polígono onde o seus ângulos possui 25 graus, 55 graus e 100 graus. É possível ele fazê-lo? E quantos ele precisará usar de cada? Se ele fosse tentar usar, apenas o de ângulo de 25 graus, qual seria o espaço que ficaria de buraco?