• a variação da função tangente a partir das alterações dos parâmetros;
• o domínio e a imagem da função cosseno;
• o crescimento da função tangente, bem como os seus sinais
• a aplicação da função tangente em algumas situações envolvendo medidas inacessíveis.

03 tempos de 50 min

• Plano cartesiano;
• Comprimento da circunferência e de um arco contido na mesma
• Medidas de arcos e ângulos em graus e em radianos;
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Prezado professor, vamos apresentar algumas atividades para a exploração da função tangente, onde o aluno é o foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo nesse processo. O dinamismo da interação do aluno com os aplicativos que utilizaremos podem ajudar muito na compreensão dessa função.   

Os alunos costumam ter dificuldades na compreensão das funções trigonométricas quando os conceitos de radiano e de ciclo trigonométrico não ficam muito claros. A aula do portal do professor: Manipulando e Construindo Conceitos do Seno e do Cosseno no Ciclo Trigonométrico pode ser usada para reforçar tais assuntos.   

Outro ponto importante é a passagem da trigonometria do ensino fundamental (EF) para a ensinada no Ensino Médio (EM).   

No EF estuda-se, geralmente, o objeto inicial da Trigonometria, que é o tradicional problema da resolução de triângulos, que consiste em determinar os seis elementos dessa figura (três lados e três ângulos) quando se conhecem três deles (sendo pelo menos um deles um lado).

Já no EM, além de se ampliar o que foi estudado no EF, atribuem-se às noções de seno, cosseno e suas associadas, o status de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, ao lado de tg Â, a tangente do ângulo Â, tem-se também tg x, a tangente do número real x. Com isso, o que era apenas a tangente de um ângulo no EF, ampliar-se-á no EM para a função tg: IR -> IR.   

Essa ampliação surgiu por causa do desenvolvimento do Cálculo e da Análise. Posteriormente, essas funções se mostraram extremamente úteis na descrição de fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, tais como: movimento dos planetas, som, corrente elétrica alternada, circulação de sangre, batimentos cardíacos, movimento das marés, etc.

Para mais detalhes acesse:     

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/trigapl.html    

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm   

http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html  

(Neste último link o professor pode reforçar a idéia de “enrolar a reta na circunferência” o que pode ajudar muito no estudo das funções trigonométricas).

É muito importante que o professor acompanhe atentamente a interação do aluno com os aplicativos e com os seus colegas de classe. É preciso intervir sem retirar o prazer da descoberta.   

Vamos à aula!

 

ATIVIDADE 1

Estudando a Função Tangente usando o grau como medida para o ângulo.

 

1) Divida a turma em duplas, e leve-os para o Laboratório de Informática.   

2) Reforce com os alunos o conceito de radiano. Utilize o aplicativo abaixo para isso, tanto para a interação quanto para a explicação apresentada. Isso é muito importante e tudo o que vem pela frente depende dessa parte inicial. Acesse http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html

 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html

 

3) Mostre que o deslocamento t está representado sobre a circunferência. Veja as linhas vermelhas.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html

4) Mostre ainda que t pode ser negativo, pois o deslocamento é orientado. Reforce as idéias de sentido anti- horário e horário. Cuidado para o fato de que o sentido positivo no ciclo trigonométrico é o anti-horário.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html

 

Não precisa se estender muito no que é função de Euler. O importante é a idéia de “enrolar” a reta, e que para cada número real t, existe um sen t. Utilize a idéia de uma pessoa que se movimenta em uma roda gigante, para ilustrar ainda mais esse processo.     

5) Peça para os alunos acessarem o link abaixo, para relembrar o conceito de tangente no ciclo trigonométrico. Eles devem selecionar a função tangente. http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ct-br.html

 

Imagem de http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ct-br.html

6) Em seguida mostre o gráfico da tangente, acessando http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ft-rad-br.html

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-ft-rad-br.html     

7) Permita que os alunos manipulem a função por 10 min. Este é um momento de reconhecimento do aplicativo. Momento em que o aluno se adapta ao ambiente virtual e começa a fazer conexões entre o que aprendeu em sala com o que visualiza na tela.     

8) Clicar em exibir estrutura e reforçar a tangente, conforme a figura abaixo. 

9) Algumas perguntas precisam ser feitas durante a aula, onde a interação do aluno com o aplicativo pode ajudá-lo a respondê-las. Alguns pontos importantes no estudo da função tangente:   

a) A imagem;

b) O período;

c) Os pontos de descontinuidade (que não aparecem na função seno e cosseno)

d) As assíntotas;

e) Porque a tangente tende a infinito, quando x tende a PI/2, por exemplo.

f) Porque a tangente é negativa e quando isso acontece.

10) Ao final da atividade, peça aos alunos para fazerem um relatório sobre a atividade, onde devem relatar em um texto de 5 a 10 linhas os conceitos que aprenderam. Essa é uma forma de desenvolver a escrita e a argumentação, bem como identificar concepções erradas sobre o tema estudado e descobertas que vão além da atividade.   

11) A análise desses relatórios pelo professor é de fundamental importância para o processo.   

12) Dê o retorno dessa análise para os alunos.

 

ATIVIDADE 2

Nessa atividade, ampliaremos o estudo da função tangente. Veremos como a amplitude e a freqüência, de uma tangentóide podem ser alteradas. Veremos ainda as translações horizontais e verticais no gráfico dessa função.

 

 

1) Divida a turma em duplas e leve os alunos para o Laboratório de Informática.   

2) Peça-os para abrirem um arquivo Word ou bloco de notas OU EQUIVALENTE, e salvar com o nome TURMA X - GRUPO Y. Nesse arquivo cada dupla registrará suas descobertas e responderá às perguntas que serão feitas pelo professor durante a aula. Depois da aula o professor terá um registro parcial da compreensão de cada dupla sobre a aula. 

3) Acesse http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html.   

4) Observe que há 4 parâmetros (a, b, c e d) por função e há 6 opções de funções trigonométricas. Peça aos alunos para selecionarem a função tangente. Vamos estudar cada parâmetro separadamente. 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html. 

5) Marcada a função tangente, e a opção exibir estrutura, peça aos alunos para variarem o parâmetro a, na reta indicada. A figura abaixo ilustra, por exemplo, a diferença do crescimento de f(x) =a.tgx, para os casos em que a = 0,5 e a = 2,0. Faça outras comparações com a classe.

 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html

6) Pergunte a eles o que percebem. Peça para registrarem suas observações no arquivo. Em até 10 min, os alunos devem ser capazes de associar o parâmetro com a mudança na velocidade de crescimento da tangentóide.

7) Pergunte aos alunos se a imagem, como nas funções seno e cosseno, é alterada.   

8) E o período?   

9) Conclua o caso geral f(x) = a.tgx. Analise nesse caso a imagem, e os valores máximo e mínimo também.     

10) Peça para reiniciarem (clicar em Reiniciar) a atividade, variando agora apenas o parâmetro B, na reta indicada. Depois da interação inicial, pergunte o que aconteceu.   

11) O que acontece com b = 0,5; 1; 2 e 4?  

12) Qual a relação entre o parâmetro b e o número de ciclos completos no intervalo de 0 a 2p?    

13) Depois de percebida a relação, explique porque isso acontece. Geralmente os alunos sentem muita dificuldade em explicar essa transformação, diferente da transformação anterior. Pergunte, mas se perceber que não terá conclusões razoáveis, explique você mesmo. Mostre que o período é inversamente proporcional ao parâmetro b.

14) Conclua o caso geral f(x) = sen (bx). Importante sair desse ponto com a relação entre b e o período. Se T é o período, temos que T = (2pi)/b. A interação atenta dessa atividade permite suspeitar dessa relação. Cabe ao professor fazer o fechamento desse resultado.

15) Os próximos parâmetros apresentam translações. Vamos começar pelo parâmetro d, que é mais fácil. Peça aos alunos para reiniciarem a atividade e variarem esse parâmetro.    

16) Eles precisam perceber que o gráfico sofre uma translação vertical, onde o período, a amplitude e a imagem não se alteram. Veja abaixo a função f(x) = 3 + 0,5.tg(2x)

Fonte: http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html

17) Finalmente, peça que variem o parâmetro c. Ele produz uma translação horizontal, onde a função se desloca c unidades para a esquerda ou para a direita.     

18) Depois de percebida a relação, explique porque isso acontece. Geralmente os alunos sentem muita dificuldade em explicar essa transformação, diferente da transformação anterior. Pergunte, mas se perceber que eles não conseguiram chegar a conclusões razoáveis, explique você mesmo.      

19) Peça para explicarem o caso geral. Ao final da atividade o aluno deve ser capaz de explicar cada um dos parâmetros na função f(x) = a.sen (bx+ c) + d.

Para mais exercícios e atividades a respeito das transformações estudadas nessa atividade, que possuem interatividade e gabarito comentado sobre as questões propostas sobre a função tangente acesse: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/trigonometricas/ftangente/ftangente.htm    

Para outra simulação acesse o Portal de Ensino de Ciências, da USP, através do endereço:  

http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_funcaotrigonometricasgraficosi

 

http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_funcaotrigonometricasgraficosi

 

ATIVIDADE 3

Analisaremos alguns problemas e modelaremos as situações usando a função tangente.

 

 

1) Divida a turma em grupos de 4 alunos.

2) Apresente duas situações (seguem abaixo) para eles analisarem. Em cada uma delas, há cinco perguntas para serem respondidas, algumas das quais poderão requerer dos alunos a utilização de calculadora. Em todas elas, os alunos terão que utilizar um programa gráfico para construir o gráfico das funções envolvendo as variáveis envolvidas. O professor pode utilizar os links abaixo para ter acesso a alguns desses programas gráficos, escolhendo qualquer um deles para essa atividade.

http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_funcoes.php

Situação I.

Seja um prédio de altura h e um aluno, situado no ponto P. A primeira janela é visualizada segundo um ângulo Â, em relação à horizontal; dobrando o ângulo  visualiza-se uma segunda janela e triplicando o ângulo  avista-se o topo do prédio.

Imagem do autor.

a) É possível saber, somente com os dados apresentados, a distância do observador (Ponto P) até o prédio? Se for possível, discuta uma estratégia para determinar essa distância.     

b) De posse da distância d, é possível encontrar a altura do prédio? Determine-a se for possível.    

c) Seja H(x) a altura visualizada pelo observador para um ângulo x, em radianos. Determine H(x) e plote essa função no aplicativo gráfico escolhido por você.     

d) Os valores encontrados nos itens a e b são coerentes com os obtidos analisando-se o gráfico construído no computador.

Situação II.

Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo a, conforme a figura:

Imagem do superprofessor http://www.sprweb.com.br/mod_superpro/index.php

a) É possível determinar a distância x, conhecendo uma das razões trigonométrica elementares, se fosse conhecido a medida do ângulo a? Qual seria a razão mais indicada para essa situação?   

b) Admitindo-se que sem (a) = 3/5, calcule a distância x.

c) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo a passou exatamente para 2a, calcule a nova distância x' a que o barco se encontrará da base do farol.  

d) Seja X(a) a distância do barco até o porto, em função do ângulo a. Observe que quanto maior for o ângulo, menor será a distância. Que função poderia representar X(a)?

e) Represente essa função no plano cartesiano de um software gráfico, ou ainda no aplicativo disponível em http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html   

Conclua com o aluno que em algumas situações as funções seno, cosseno e tangente não são suficientes para modelar as situações envolvendo Ângulos, por exemplo. Para isso, três funções associadas foram construídas, quais sejam: secante, cossecante e cotangente. Para saber mais sobre tais funções, acesse às aulas do mesmo autor sobre este tema.

Para aprender mais Matemática e Física com os simuladores, basta acessar:

• http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/new
• http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/index.htm

Vídeos:

Uma excelente aula sobre aplicações da Trigonometria está disponível em:

http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2007

• Avaliação individual. Aplicar problemas e situações envolvendo as função TANGENTE.
• Avaliação coletiva. Avaliar os alunos em atividades em grupo, tais como as utilizadas nas atividades acima. Associar variáveis físicas à Trigonometria, motiva e desperta a curiosidade do aluno. No caso da avaliação, ofereça alguns problemas com as funções já prontas, e outros para montarem as funções.