O aluno aprenderá a construir elipses, parábolas e hipérboles usando dobraduras. No processo de construção o aluno entenderá as características e propriedades de cada cônica.

Noções de geometria

O que pretendemos nesta aula é propor atividades com dobraduras onde os alunos poderão construir as cônicas e analisar os resultados.

Antes de propor as atividades, vamos partir de um simples princípio. Quando marcamos dois pontos numa folha de papel (A e B) e dobramos essa folha de maneira que coincidamos os pontos, a dobra gerada será a mediatriz do segmento AB.

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Considerando este princípio, vamos as Atividades.

• Folha de papel A4; 
• Régua e compasso;
• Lápis e caneta hidrocor.

Nesta atividade, que pode ser realizada individualmente, o aluno criará uma parábola usando dobraduras. Para compreender o procedimento de construção exiba o vídeo abaixo. Basta acessar o link e clicar no botão player no lado superior direito (destacado na figura).

Vídeo do autor disponível em (http://www.matheducation.ca/iMathEducation.php?v=1.0&f=2927&i=242) 

  Os alunos terão que reproduzir a simulação usando os materiais citados. O resultado pode ser visto no trabalho do aluno abaixo:

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Vamos analisar e discutir esta construção com os alunos.

Exiba o vídeo para iniciar a discussão:

Vídeo do autor disponível em (http://www.matheducation.ca/iMathEducation.php?v=1.0&f=2859&i=242) 

Discuta com os alunos o que as dobraduras representam na construção da parábola. Observe a figura:

Vamos mostrar que um ponto da parábola é equidistante à diretriz e ao foco.

Lembre os alunos que a reta s (a dobra no papel) é a mediatriz do segmento PF, portanto M é ponto médio de PF e as distâncias PM e FM são iguais. Então pelo critério de congruência LAL, podemos afirmar que os triângulos APM e AFM são congruentes e que, por isso, podemos afirmar também, que o segmento AP é congruente a AF, característica da parábola.

É importante que o aluno não apenas reproduza o experimento, mas também compreenda a demonstração acima fixando assim as definições da parábola.

Para compreender o procedimento de construção da elipse exiba o vídeo abaixo:

Vídeo do autor disponível em (http://www.matheducation.ca/iMathEducation.php?v=1.0&f=2923&i=242) 

Novamente os alunos deverão reproduzir, na prática, o que foi simulado no vídeo. O resultado do trabalho está abaixo:

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Vamos analisar melhor o método usado. Observe a figura:

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Lembre os alunos que s (a dobra no papel) é a mediatriz do segmento PF. O ponto A (definido pela interseção da reta s com o segmento OP) é ponto da elipse de focos F e O. Pelo critério de congruência LAL, podemos afirmar que os triângulos FMA e PMA são congruentes e que portanto FA=PA. Pela definição da elipse podemos afirmar que OA + FA = AO + AP = R e que R = 2a, característica da elipse (o semi-eixo maior é igual ao raio da circunferência).

Para compreender o procedimento de construção da hipérbole exiba o vídeo abaixo:

Vídeo do autor disponível em (http://www.matheducation.ca/iMathEducation.php?v=1.0&f=2925&i=242) 

Peça para os alunos reproduzirem o experimento. O resultado será algo parecido com a figura abaixo:

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Analise com os alunos o método utilizado. Observe:

Imagem do autor

Lembre os alunos que s (a dobra no papel) é a mediatriz do segmento FP. O ponto A (definido pela interseção da reta s com a reta que passa por O e P) é ponto da hipérbole. Novamente temos os triângulos AFM e APM congruentes pelo critério LAL, então podemos afirmar que AF é congruente a AP. Logo AO – AF = AO – AP = R = 2a, característica da hipérbole.

Aulas com dobraduras podem ser bastante motivadoras. Aproveite o lado lúdico desta técnica para despertar o interesso dos alunos no aprendizado das cônicas.

Vídeo do autor que mostra as seções cônicas: (http://www.youtube.com/watch?v=pAaFbTJg2g0) 

A avaliação deverá ocorre durante o processo de construção das dobraduras e na análise das características e propriedades de cada cônica.