Perceber que a função inversa é simétrica em relação à reta y = x.

Estabelecer um procedimento para a obtenção da inversa de uma função dada;

Analisar o comportamento da função inversa através da análise gráfica.

1 aula de 50 minutos

Funções polinomiais do 1º grau

Funções logarítmicas e exponenciais

Função composta

Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que eles se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.   

Para realização das atividades, o  software Graphmatica deve ser instalado previamente nos computadores e disponibilizado na área de trabalho.

Nota: As informações sobre este software estão nos Recursos Complementares.

Nota: Para dar início às atividades, solicite que os alunos "cliquem" na ferramenta de modo a abri-la.

Informe aos alunos que as atividades 1 e 2 a serem realizadas, têm como objetivos a percepção e o entendimento do comportamento da função inversa através da análise gráfica.

Atividade 1:

Solicite que iniciem as atividades propostas a seguir, estipulando um tempo aproximado de 10 minutos.

a) Peça para os alunos digitarem as funções f (x) = 2x – 3 e g (x) = (x + 3)/2.

b) Solicite que determinem, através do gráfico, os valores de: f (1) e de g (–1).

c) Peça que eles obtenham, através da análise gráfica, os valores de f (–3) e g (–9).

Observação: Os alunos devem digitar a lei de formação completa, isto é, y = 2x – 3 e não apenas 2x – 3 conforme a figura 1.

Figura 1: Imagem da autora

Encerrado o tempo previsto, peça que os alunos relatem o encaminhamento de seus raciocínios e desenvolva, com a participação da turma, as soluções encontradas.

a)      Manipulação gráfica

b)      f (1) = –1 e g (–1 ) = 1

c)      f (–3) = - 9 e g (–9) = –3.

Finalize esta atividade perguntando:

Em que gráfico está o ponto (x, f(x))? E o ponto (f(x), x)?

Por exemplo, (1, –1) e (–1, 1), respectivamente. 

A turma deve responder que o primeiro ponto está no gráfico da função f(x) e o segundo no da função g(x).

Atividade 2:

Peça que os alunos iniciem as atividades propostas a seguir, e estipule um tempo aproximado de 10 minutos.

a) Solicite que a turma digite as funções f (x) = x³ e g (x) = raiz cúbica de x.

b) Peça que os alunos encontrem, através do gráfico, os valores de f (2) e g (8).

c) Peça que eles obtenham, através da análise gráfica, os valores de f (–2) e g (–8).

Observação: Os alunos devem digitar o símbolo (^) quando desejarem elevar um número conforme a figura 2.

Figura 2: Imagem da autora 

Após o término do tempo previsto, peça que a turma relate o encaminhamento de seus raciocínios e desenvolva, com a participação de todos, as soluções encontradas.

a)     Manipulação gráfica.

b)     f(2) = 8 e g(8) = 2.

c)     f(–2) = – 8 e g(–8) = – 2.

Finalize esta atividade perguntando novamente:

Em que gráfico está o ponto (x, f(x))? E o ponto (f(x), x)?

Por exemplo, (2, 8) e (8, 2), respectivamente.

A turma deve responder que o primeiro ponto está no gráfico da função f(x) e o segundo no da função g(x).

Nota: Conclua esta parte da aula mostrando, nos gráficos produzidos pela turma, que quando o par ordenado (x, f(x)) está no gráfico de f e o par ordenado (f(x), x) no gráfico de g, estamos diante de funções inversas.

Definindo função inversa: 

Professor, peça que os alunos registrem em seus cadernos a definição:

Diz-se que a função g, cujo domínio é formado pelo conjunto Y, e cuja imagem é formada pelo conjunto X é a inversa da função f de X em Y quando se tem g(f(x)) = x e f(g(y)) = y para quaisquer x pertencente a X e y pertencente a Y.

Após a análise das situações e as considerações realizadas, podemos estabelecer as seguintes conclusões: 

i) Se uma função f admite uma inversa g, então g também admite uma inversa que é a própria f.  

ii) Dada uma função dizemos que ela é inversível quando podemos determinar uma outra função que "desfaz o serviço de f".

Notação: f^–1(x).

Atividade 3:

Informe à turma que esta atividade tem como objetivos a percepção e o entendimento de como se comporta a função inversa em relação à reta y = x.

Solicite que os alunos iniciem a atividade e estipule um tempo aproximado de 10 minutos.

a) Peça para a turma abrir o programa e digitar a função y = x nos dois gráficos.

b) Solicite que os alunos reflitam sobre o comportamento das funções e suas inversas em relação a esta reta e descrevam o que foi observado.

Figura 3: Composição da autora

Terminado o tempo previsto, peça para a turma relatar o encaminhamento de seus raciocínios e verifique as soluções encontradas.

a)     Manipulação gráfica;

b)     As funções são simétricas em relação à reta y = x.

Atividade 4:

Informe à turma que esta atividade tem como objetivo a compreensão do procedimento para determinar, algebricamente, a função inversa de uma função dada.

Primeiramente, solicite que os alunos acessem o link: http://ecalculo.if.usp.br/, cliquem em FUNÇÕES e, em seguida, em Inversível e sua inversa.

Em seguida, peça que acessem o link: http://modulos.math.ist.utl.pt/html/funcdeprop16.shtml.

Figura 4: Manipulação algébrica – opção 1

Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/

Figura 5: Manipulação algébrica – opção 2

Fonte: http://modulos.math.ist.utl.pt/html/funcdeprop16.shtml

 

O artigo Codificando e decifrando mensagens visa mostrar, de maneira interessante para a turma, como o conceito de função inversa pode ser utilizado na criptografia.

Acesse o recurso do portal:  http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_2.pdf  e faça as adaptações para se adequarem à realidade da sua sala de aula.

Obs. Este é o segundo artigo deste arquivo. 

Figura 6: Codificando e decifrando mensagens

Fonte: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_2.pdf 

Software Graphmatica : http://www.baixaki.com.br/download/graphmatica.htm 

Para saber como utilizar o software Graphmatica : http://modulos.math.ist.utl.pt/html/funcdeprop16.shtml   

Sites consultados : http://ecalculo.if.usp.br/  

                           http://modulos.math.ist.utl.pt/html/funcdeprop16.shtml  

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Construindo o Conceito do Módulo e da Função Modular;
• Plano Cartesiano como Ferramenta na Resolução de Equações e Inequações Modulares;
• Construindo os Conceitos de Função Composta, Injetora, Sobrejetora e Bijetora;
• Estudando Colônia de Bactérias para Construir o Conceito de Função Exponencial ;
• Abalos sísmicos e logaritmos. 

A avaliação deve ser feita através da observação das dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas na aula. Dessa forma, o  professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento dos alunos durante as atividades 1, 2 e 3.

Verificar se o processo para o obtenção da função inversa, estabelecido na atividade 4, foi apreendido no momento da aula em que a turma trabalhará com os princípios da criptografia.