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Construindo o Conceito do Módulo e da Função Modular

 

14/01/2011

Autor e Coautor(es)
Raquel Cupolillo Simões de Sousa
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Fernando Celso Villar Marinho; Rita Maria Cardoso Meirelles; Jackson Lopes; Ivail Muniz Junior; Clayton Gonçalves Silva

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Álgebra
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Relacionar o conceito de distância ao módulo ou valor absoluto de um número.

Identificar a lei de formação através da definição de módulo.

Trabalhar a construção de gráficos;

Determinar o domínio e a imagem da função.

Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos cada
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Reta numerada;

Conceito de função.

Estratégias e recursos da aula

Professor, para realizar essa aula, encaminhe primeiramente os alunos ao laboratório de Informática, e peça que os alunos se acomodem em, no máximo, três alunos por computador.    

Exiba, com o uso do Data Show, as imagens abaixo, que representam situações em que podemos utilizar a noção de distância no dia-a-dia.

Figura 1: Exemplo de distância - Estrada

Fonte: http://ts3.mm.bing.net/images/thumbnail.aspx?q=309010767558&id=9605c987cdb3327e67b5b04b84d619bf 

Figura 2: Exemplo de distância - Mapa

Fonte: http://ts4.mm.bing.net/images/thumbnail.aspx?q=303070194331&id=53881aaf04239a18040a19d7808e0915 

Figura 3: Exemplo de distância – Placas indicativas

Fonte: http://ts4.mm.bing.net/images/thumbnail.aspx?q=323523196247&id=cc1ffed005627465e1e17216e5bc8fbb E 

Peça para a turma analisar as imagens e pergunte se alguém passou pela experiência de, por exemplo, perguntar onde fica um determinado lugar e receber como resposta que o mesmo está a 5 km de distância. Esperamos que a turma observe que em todas as situações que envolvem o conceito de distância teremos como resposta um número positivo.

Solicite que a turma reflita sobre o mundo à sua volta e resgate outras situações do cotidiano onde o conceito de distância é utilizado, promovendo a seguir uma troca de ideias sobre o tema.

Atividade 1:

O objetivo da atividade, interativa e exploratória, é fazer com que o aluno trabalhe o conceito de módulo ou valor absoluto de um número associando-o ao de distância.

Exiba, com o uso do Data Show, a imagem abaixo que representa a reta numérica.

Figura 4: Reta numérica

Fonte: http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:xUjHQp7ifBzh9M:http://1.bp.blogspot.com/_a8eVxCfyq70 

Pergunte qual é a distância dos números -5 e 5 à origem.

A turma deve perceber que o número 5 está a uma distância de 5 unidades da origem, e que -5 também está a 5 unidades da origem.  

Peça que eles criem outros exemplos. Em seguida, questione sobre as descobertas feitas pela turma, verificando se os alunos apreenderam, com êxito, os conceitos trabalhados.

Definindo Módulo ou Valor Absoluto:

Professor, peça que os alunos registrem em seus cadernos a definição:

O conceito de módulo ou valor absoluto de um número real está ligado à ideia de distância de um ponto da reta à origem. Como existe uma correspondência entre os pontos da reta e os números reais, quando nos referimos à distância de um ponto à origem ou ao módulo de um número, estamos nos referindo à mesma  ideia.   

Notação: |a|.

Usamos duas barras para representar o módulo de um número.   

Professor, construa este conceito com a turma e, em seguida, apresente a figura abaixo.

Figura 5: Construção do conceito de módulo

Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/modulo/img_modulo/graficomodulo.gif 

Conclua com a turma:

Definindo Função Modular

Quando uma função é colocada dentro de um módulo, ela é denominada modular. Seu formato é dado por: y = |f(x)|.

Esta função pode ser substituída por outras duas funções que são equivalentes à função anterior:

Atividade 2:

Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos a percepção e o entendimento de como podemos aplicar a definição de função modular para construir gráficos.

Considerando a função y = |x|:

a)  Obtenha a lei de formação da função.

b) Construa o gráfico desta função.

c) Determine o domínio e a imagem da função.

Nota: Permita que os alunos troquem informações e, após realizada a atividade, confirme as soluções encontradas pela turma.

a)

 

b) 

Figura 6: Gráfico da função

Fonte: http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/modulo/img_modulo/image010.gif

c) O domínio é formado pelo conjunto dos números reais e a imagem é formada pelos números reais maiores ou iguais a zero.

 Ou seja, D = R e Im = R+

Os alunos devem perceber que:

1) A função modular gera duas sentenças.

2) O gráfico de y = |x| coincide com a reta y = x para valores de x positivos ou nulo, enquanto que para valores negativos de x considera-se a semi-reta "rebatida" pois, nesse caso, |x| = –x.

3) Esta semi-reta "rebatida" é simétrica da original em relação ao eixo das abscissas.

Atividade 3:

1) Informe aos alunos que a atividade a ser realizada tem como objetivos manipular e visualizar gráficos do tipo: f(x) = a|x – k| + h.

2) Para realização da mesma peça que acessem o recurso do portal:

 Função Módulo – Família de funções e parâmetros 

 

Figura 7: Trabalhando o gráfico da função modular

Fonte: http://mat.absolutamente.net/ra_f_mod.html 

3) Permita que os alunos manipulem e façam descobertas por um tempo aproximado de 10 minutos e, em seguida, promova uma discussão a respeito das descobertas feitas.

A turma deve perceber que:

1. As alterações do parâmetro h, provocam translações verticais no gráfico, alterando, deste modo, o conjunto imagem da função.        

2. As alterações do parâmetro k, provocam translações horizontais no gráfico.

3. As alterações do parâmetro a, modificam a "abertura"/"fechamento" do gráfico.

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Recursos Complementares

Sites consultados : http://ecalculo.if.usp.br/                              

                           http://modulos.math.ist.utl.pt/html/funcdeprop12.shtml   

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

  • Plano Cartesiano como Ferramenta na Resolução de Equações e Inequações Modulares;
  • Construindo os Conceitos de Função Composta, Injetora, Sobrejetora e Bijetora;
  • Estudando Colônia de Bactérias para Construir o Conceito de Função Exponencial ;
  • Abalos sísmicos e logaritmos; 
  • Análise gráfica e Criptografia: O Comportamento da função inversa.
Avaliação

Tal avaliação deve ser feita ao observar as dúvidas dos alunos durante a realização das atividades sugeridas acima onde o professor terá a oportunidade de verificar o nível de entendimento ao circular pelos grupos durante as atividades 1, 2 e 3.

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