• a variação da função cosseno a partir das alterações dos parâmetros;
• o domínio e a imagem da função cosseno;
• o crescimento/decrescimento da função cosseno, bem como os seus sinais;
• algumas aplicações da função cosseno.

02 tempos de 45 min cada

• Plano cartesiano;
• Comprimento da circunferência e de um arco contido na mesma;
• Medidas de arcos e ângulos em graus e em radianos;
• Razões trigonométricas no triângulo retângulo;
• Equações trigonométricas básicas do tipo cos x = a, onde a é um número real.

Prezado professor, vamos apresentar algumas atividades para a exploração da função cosseno, onde o aluno é o foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo nesse processo. O dinamismo da interação do aluno com o programa pode ajudar muito na compreensão dessa função.   

Os alunos costumam ter dificuldades na compreensão das funções trigonométricas quando os conceitos de radiano e de ciclo trigonométrico não ficam muito claros. A aula do portal do professor: Manipulando e Construindo Conceitos do Seno e do Cosseno no Ciclo Trigonométrico pode ser usada para reforçar tais assuntos.   

Outro ponto importante é a passagem da trigonometria do ensino fundamental (EF) para a ensinada no Ensino Médio (EM).

No EF estuda-se, geralmente, o objeto inicial da Trigonometria, que é o tradicional problema da resolução de triângulos, que consiste em determinar os seis elementos dessa figura (três lados e três ângulos) quando se conhecem três deles (sendo pelo menos um deles um lado).   

Já no EM, além de se ampliar o que foi estudado no EF, atribuem-se às noções de seno, cosseno e suas associadas, o status de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, ao lado de cos Â, o cosseno do ângulo Â, tem-se também cos x, o cosseno do número real x. Com isso, o que era apenas o cosseno de um ângulo no EF, ampliar-se-á no EM para a função cos: IR -> IR.

Essa ampliação surgiu por causa do desenvolvimento do Cálculo e da Análise. Posteriormente, essas funções se mostraram extremamente úteis na descrição de fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, tais como: movimento dos planetas, som, corrente elétrica alternada, circulação de sangue, batimentos cardíacos, movimento das marés, etc.   

Para mais detalhes acesse:      

http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/trigapl.html    

http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_trigonometria.htm  

http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html  

(Nesse link o professor pode reforçar a ideia de “enrolar a reta na circunferência” o que pode ajudar muito no estudo das funções trigonométricas).

Para tentar ajudar nessa passagem, vamos utilizar as duas primeiras atividades para apresentar o gráfico da função seno utilizando graus e radianos como variável independente. Faremos isso com o objetivo de fazer essa passagem. Depois disso, usaremos apenas radianos.   

É muito importante que o professor acompanhe atentamente a interação do aluno com os aplicativos e com os seus colegas de classe. É preciso intervir sem retirar o prazer da descoberta.

ATENÇÃO: A função cosseno pode ser obtida a partir da função seno, por uma defasagem (ou translação de PI/2. Assim, o professor pode representar qualquer situação envolvendo uma função seno por uma cosseno e vice-versa.   

Vamos à aula!

ATIVIDADE 1.

Estudando a Função Cosseno usando o grau como medida para o ângulo.

1) Divida a turma em duplas, e leve-os para o Laboratório de Informática.   

2) Peça para os alunos acessarem o link:  

http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-deg-br.html 

Imagem em http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-deg-br.html     

3) Permita que os alunos manipulem a função por 10 min. Este é um momento de reconhecimento do aplicativo. Momento em que o aluno se adapta ao ambiente virtual e começa a fazer conexões entre o que aprendeu em sala com o que visualiza na tela.   

4) Depois desse contato inicial ajude seu aluno a perceber que para cada ângulo s, existe um cosseno, formando assim um par (s, cos (s)). O conjunto de todos os pontos que podem ser formados, geram o gráfico da função cosseno, chamada COSSENÓIDE. O gráfico representa, de uma forma global, essa dependência entre as variáveis s e sen s, de modo que a medida s é a abscissa do Ponto P e o valor do cosseno de s a ordenada do Ponto P.   

Professor, aqui seu aluno pode ver o valor do seno para ângulos que não costuma trabalhar em sala. Explore isso. Mostre que para cada valor de ângulo, o computador calcula o seno, e automaticamente marca o ponto do plano cartesiano. Isso seria inviável sem esse recurso computacional.   

5) Pergunte aos alunos quem é s e quem é y=f(s) no gráfico. O aluno precisa identificar y como o valor do cosseno de s. O dinamismo e a interação facilitam essa associação. Mas essa aprendizagem precisa ser bem monitorada.   

CUIDADO!!! 

Na função cosseno, diferente da função seno, a variação da variável dependente, que é o cosseno, acontece na horizontal no ciclo. Entretanto é representada na  vertical no gráfico. Alerte seus alunos para esse fato, pois isso costuma causar muita confusão quando interagem com aplicativos como esses.     

6) Peça-os para posicionarem o ponto P em cada um dos ângulos de 30º, 60º, etc, ou seja, com os múltiplos de 30º. Depois repita para os de 45º. Faça a ponte com os valores aprendidos em sala. Na tela o aluno pode inclusive visualizar as razões mais usadas.     

7) Pontos que precisam ser respondidos pelos alunos ao longo da interação:   

a) Reforce valores como cos 120º, 150º, 240º, etc.

b) Qual é a imagem da função?

c) Qual o valor máximo de f(s)? E o mínimo? Para que valores de s isso acontece?

d) O que significa s negativo?

e) cos (s) e cos (-s) são iguais? Qual a relação entre esses valores? Porque isso acontece?

f) Depois de uma volta completa, os valores de sen se repetem? Introduza o conceito de período da função seno.

g) Peça-os para posicionarem o ponto P em um ângulo no primeiro quadrante e registrarem o seno. Depois disso, pergunte onde ficaria o ponto P, ao adicionarmos/subtrairmos 90, 180, 360 graus ao ângulo que eles marcaram inicialmente. Faça-os entender a relação existente entre os valores do seno inicial com os obtidos com essas adições/subtrações. A atividade precisa levar às construções conceituais.     

8) Ao final da atividade, peça aos alunos para fazerem um relatório sobre a atividade, onde devem relatar em um texto de 5 a 10 linhas os conceitos que aprenderam. Essa é uma forma de desenvolver a escrita e a argumentação, bem como identificar concepções erradas sobre o tema estudado e descobertas que vão além da atividade.   

9) A análise desses relatórios pelo professor é de fundamental importância para o processo.   

10) Dê o retorno dessa análise para os alunos. 

ATIVIDADE 2.

Estudando a Função Cosseno usando o radiano como medida para o ângulo.    

Nessa atividade, abordaremos a função seno, utilizando um número real x como variável independente.

1) Reforce com os alunos o conceito de radiano. Utilize o aplicativo abaixo para isso, tanto para a interação quanto para a explicação apresentada. Isso é muito importante e tudo o que vem pela frente depende dessa parte inicial. Acesse http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html 

Imagem em http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html    

2) Mostre o deslocamento t está representado sobre a circunferência. Veja as linhas vermelhas.

3) Excelente oportunidade para mostrar valores de seno negativos, e os valores de t que produzem essa mudança no sinal do seno.

4) Mostre ainda que t pode ser negativo, pois o deslocamento é orientado. Reforce as idéias de sentido anti- horário e horário. Cuidado para o fato de que o sentido positivo no ciclo trigonométrico é o anti-horário.

Não precisa se estender muito no que é função de Euler. O importante é a idéia de “enrolar” a reta, e que para cada número real t, existe um sen t. Utilize a idéia de uma pessoa que se movimenta em uma roda gigante, para ilustrar ainda mais esse processo.       

5) Depois disso, acesse  http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html para iniciar o estudo da cossenóide. 

Imagem : http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html     

1) Reforce os valores máximo e mínimo;   

2) Qual é a imagem da função cosseno?   

3) Estude o sinal da função, analisando para que valores de t ela é positiva, negativa ou zero.   

4) Pergunte quantas vezes o cos t = 0,8. Repita a pergunta para outros valores.   

5) Depois de uma volta completa, os valores de sen se repetem? Introduza o conceito de período da função seno, fazendo-os a descobrir qual o período da função seno.

6) Discuta com os alunos como marcar t = PI/3. Muitos até dirão que isso é correspondente, no ciclo, a um ângulo de 30º. Mas como a medida não é grau, como marcar? O aluno vai precisar entender que t = PI/3 = 1,05, e que isso fornece, no gráfico, um valor de cosseno aproximadamente igual a 0,5.   

7) Pergunte qual o valor de cos 1. Peça-os para deslocar o t de uma unidade e discuta com os alunos qual o ângulo estaria subtendido ao arco (no ciclo unitário) cujo comprimento fosse 1. Reforce a pergunta: Qual o valor de cos 1?   

8) Discuta porque o computador apresenta o seno com tantas casas decimais. Excelente oportunidade para discutir números racionais e irracionais.   

9) cos t e cos (-t) são iguais? Qual a relação entre esses valores? Porque isso acontece?   

10) Peça-os para posicionarem o ponto P em um ângulo t qualquer escolhido por eles. Peça para registrarem o valor de t e o cos t. Depois disso, peça-os para posicionarem o ponto P, e dizer qual o valor do seno para os seguintes deslocamentos de t:

 

É importante que os alunos entendam as relações dos valores antes de depois dos senos obtidos com essas adições/subtrações. A atividade precisa levar às construções conceituais. O registro das atividades colabora na aprendizagem do aluno, na medida em que ele pára para pensar e escrever o que aprendeu. Além disso, permite ao professor identificar, até certo ponto, o que o aluno aprendeu e os equívocos na interpretação dos conceitos e das relações estudadas.

ATIVIDADE 3. 

Nessa atividade ampliaremos o estudo da função cosseno. Veremos como a amplitude e a freqüência, de uma onda senoidal podem ser alteradas. Veremos ainda as translações horizontais e verticais nas senóides.

1) Divida a turma em duplas e leve os alunos para o Laboratório de Informática.   

2) Peça-os para abrirem um arquivo Word ou bloco de notas OU EQUIVALENTE, e salvar com o nome TURMA X - GRUPO Y. Nesse arquivo cada dupla registrará suas descobertas e responderá às perguntas feitas pelo professor. Depois da aula o professor terá um registro parcial da compreensão de cada dupla sobre a aula.   

3) Acesse http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html para iniciar o estudo das transformações da cossenóide.   

4) Observe que há 4 parâmetros por função e há 6 opções para a função trigonométrica. Peça aos para selecionarem a função cosseno. Vamos estudar cada parâmetro para a função cosseno separadamente.   

5) Peça aos alunos para marcarem apenas a função cosseno. Em seguida peça para variarem o parâmetro a, na reta indicada. 

Imagem em http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html   

6) Pergunte a eles o que percebem. Peça para registrarem suas observações no arquivo. Em até 10 min, os alunos devem ser capazes de associar o parâmetro com a mudança na amplitude da senóide, o que altera também a imagem e os valores máximo e mínimo da função. 

Imagem obtida a partir de http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html     

7) Conclua o caso geral f(x) = a.cos(x). Analise nesse caso a imagem, e os valores máximo e mínimo também.     

8) Peça para reiniciarem (clicar em Reiniciar) a atividade, variando agora apenas o parâmetro B, na reta indicada. Depois da interação inicial, pergunte o que aconteceu.    

9) O que acontece com b = 2, 3 ou 4? Lance a pergunta com pontuação para a resposta mais rápida: Qual a relação entre o parâmetro b e o número de ciclos completos no intervalo de 0 a 2PI? 

Imagem obtida a partir de  http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tr-rad-br.html   

10) Depois de percebida a relação, explique porque isso acontece. Geralmente os alunos sentem muita dificuldade em explicar essa transformação, diferente da transformação anterior. Pergunte, mas se perceber que não terá conclusões razoáveis, explique você mesmo. Mostre que o período é inversamente proporcional ao parâmetro b.     

11) Conclua o caso geral f(x) = cos (bx). Importante sair desse ponto com a relação entre b e o período. Se T é o período, temos que T = 2PI/b. A interação atenta dessa atividade permite suspeitar dessa relação. Cabe ao professor fazer o fechamento desse resultado.      

12) Os próximos parâmetros apresentam translações. Vamos começar pelo parâmetro d, que é mais fácil. Peça aos alunos para reiniciarem a atividade e variarem esse parâmetro.   

13) Eles precisam perceber que o gráfico sofre uma translação vertical, onde período e amplitude não se alteram, mas a imagem sofre alteração.     

14) Finalmente, peça que variem o parâmetro c. Ele produz uma translação horizontal, onde a função se desloca c unidades para a esquerda ou para a direita. 

15) Depois de percebida a relação, explique porque isso acontece. Geralmente os alunos sentem muita dificuldade em explicar essa transformação, diferente da transformação anterior. Pergunte, mas se perceber que eles não conseguiram chegar a conclusões razoáveis, explique você mesmo.   

16) Peça para explicarem o caso geral. Ao final da atividade o aluno deve ser capaz de explicar cada um dos parâmetros na função f(x) = a.cos (bx+ c) + d.   

ATIVIDADE 4. 

Vamos ver uma aplicação da função cosseno em movimentos harmônicos simples.

1) Acesse o site http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/oscilaciones/circular/oscila1.htm   

2) Ao final tem um simulador. Peça aos alunos para entrarem com os dados abaixo. 

Imagem de http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/oscilaciones/circular/oscila1.htm    

3) Em seguida, clicar em Empieza. O sistema mostra o deslocamento total de uma mola, que é dado, por uma função cosseno. Porque é uma função cosseno?

Imagem de http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/oscilaciones/circular/oscila1.htm 

4) Peça aos alunos para variarem os parâmetros do simulador.   

5) Em seguida peça para estabelecerem uma conexão entre esses parâmetros e os estudados anteriormente.   

6) Se o ângulo inicial fosse zero, essa função seria uma senóide. Por que? Veja a figura abaixo, cuja simulação ajuda a responder essa pergunta.

Imagem de http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/oscilaciones/circular/oscila1.htm 

7) O que representa essa freqüência angular e qual a sua relação o número de voltas necessárias para se ter uma variação de 2pi, no gráfico?

Imagem de http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/oscilaciones/circular/oscila1.htm 

8) Conclua a aula reforçando o papel de cada um dos parâmetros a, b, c e d, na função cosseno geral, dada por f(t) = a.cos (bt + c ) + d.      

ATIVIDADE 5.   

Nessa atividade veremos uma aplicação da função seno/cosseno, na área da Física. A corrente elétrica que chega às nossas casas é alternada. Diferentemente da corrente elétrica que uma pilha proporciona, as “tomadas” das residências fornecem corrente alternada. O aluno possivelmente vai perguntar por que a corrente alternada tem a forma da senóide. Vamos antes de iniciar a atividade aprender um pouco sobre Eletricidade e Magnetismo.

Sugerimos que antes da aula o professor acesse o site abaixo e veja um pouco da física do processo de geração de corrente alternada. Mais importante ainda é fazer uma simulação do processo de produção de energia elétrica nas hidroelétricas, disponível do endereço abaixo.  

http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/induccion/generador/generador.htm

 

1) Apresente o simulador que sugerimos anteriormente, disponível em

http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/induccion/generador/generador.htm   

2) Depois que os alunos viram o processo de geração de corrente alternada, mostre que apesar da Tensão (Fem) ser uma função seno, o Fluxo magnético é uma função cosseno. Os gráficos dessas funções são praticamente o mesmo, a não ser por uma diferença (defasagem) de  PI/2 radianos. Lembre-os que cos (x + PI/2) = sen x. 

Imagem em http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/elecmagnet/induccion/generador/generador.htm   

3) Se o aluno leu a primeira parte, não precisa explicar quem movimenta a espira. O importante aqui, nesse nível de ensino, é perceber o fenômeno. Uma espira girando, dentro de um campo magnético (faça associação com os imãs) gera uma corrente elétrica que se alterna, pois a espira gira, que ao passar por uma lâmpada incandescente, a faz brilhar. Você deu uma explicação suscinta, honesta, e realmente contextualizada.    

4) Depois de entendermos esse fenômeno, vamos estudar a amplitude e a freqüência de senóides utilizando um outro simulador. Utilizaremos o PhET, da Universidade do Colorado.   

5) Acesse com seus alunos o simulador do PhET para circuitos AC, disponível em http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac      

6) Clique em Run Now, ou baixe o simulador.     

7) Vamos construir um circuito elétrico simples.   

8) Monte o circuito com os alunos conforme ilustrado na figura abaixo. Basta clicar e arrastar o componente que você vai precisar. As figuras são bem instrutivas. Os componentes são:   

a) fonte AC

b) Chave liga-desliga

c) Lâmpada

d) Amperímetro (clique em AM meter – conforme mostra a figura)

e) Condutores (Wire) 

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac      

9) Ligue a chave, fechando o circuito. (é equivalente a apertar o interruptor para acender uma lâmpada).   

10) Veja o circuito funcionando, e o fluxo de elétrons passando pela lâmpada.

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac

11) Clique na fonte AC, e em seguida, com o botão direito do mouse, clique em mudar a freqüência. (Change frequency). Altere para 1Hz.

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac

12) Agora selecione o Voltage Chart e o Currente Chart, ligando-os ao circuito, conforme mostra a figura abaixo. Esses medidores (que chamaremos de osciloscópios) mostrarão o gráfico da tensão que sai da fonte e da corrente do circuito, em função do tempo.

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac

13) A figura mostra duas cossenóides, considerando o sistema de eixos mostrado na tela dos osciloscópios. Não esqueça que podemos expressar tanto a Tensão, quanto a corrente, por duas funções senoidais defasadas, conforme aprendemos na aula da senóide.     

14) Peça aos alunos para mudarem observarem a onda senoidal. Incentive-os a descobrir (se não sabem da Física) o que significa ter uma freqüência de 1 Hz. Pergunte a eles, caso não percebam, quanto tempo leva para a onda completar um ciclo.     

15) Se a freqüência fosse 0,5 Hz, quantos ciclos conseguiríamos ver na tela do osciloscópio? Incentive os alunos a responderem antes de simular. Conjecturar e depois constatar pode ser muito mais instrutivo do que apenas constatar.      

16) Mude agora a voltagem da fonte. Ela está inicialmente com 10 Volts. Mude para 20. O que acontecerá com o gráfico. E com a lâmpada? A figura abaixo ilustra o que aconteceu. O aluno precisa perceber que a Amplitude dobrou e que, com mais tensão, a lâmpada brilha mais!

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac    

17) Qual a relação da Tensão e da Freqüência com os parâmetros estudados anteriormente? Qual o papel dos parâmetros a e b. E a variável tempo, estaria associada a que variável estudada anteriormente?   

18) Se a tensão da fonte fosse de 20 volts, com uma freqüência de 1 Hz, começando no tempo t = 0, como poderíamos expressar a Tensão na lâmpada, em função do tempo t.    

19) Se colocarmos um INDUTOR, não teremos mais duas ondas do mesmo tipo. Insira um indutor no circuito, conforme mostra a figura abaixo, e depois analise as novas formas de onda.

Imagem do autor a partir de http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-ac

Para aprender mais Matemática e Física com os simuladores, basta acessar:

• http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/new 
• http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/index.htm 

• Avaliação individual. Aplicar problemas e situações envolvendo as função seno.
• Avaliação coletiva. Avaliar os alunos em atividades em grupo, tais como as utilizadas nas atividades acima. Associar variáveis físicas à Trigonometria, motiva e desperta a curiosidade do aluno. No caso da avaliação, ofereça alguns problemas com as funções já prontas, e outros para montarem as funções.