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Jogando Dados: Chance de um Evento

 

14/01/2011

Autor e Coautor(es)
Raquel Cupolillo Simões de Sousa
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rita Maria Cardoso Meirelles, Ivail Muniz Junior, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes, Clayton Gonçalves Silva

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Matemática Análise de dados e probabilidade
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo Matemática Estatística, probabilidade e combinatória
Ensino Fundamental Final Matemática Tratamento da informação
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Reconhecer o espaço amostral de um experimento aleatório.

Verificar o número de vezes de ocorrência de um evento.

Determinar a chance de ocorrência de um evento.

Duração das atividades
2 aulas de 50 minutos cada
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Teoria dos conjuntos

Par ordenado

Representação de frações na forma percentual

Estratégias e recursos da aula

Segundo Bernardes (1987, p. 13):   

A teoria da probabilidade é um dos campos mais aliciantes da matemática. Parte dos acontecimentos do dia a dia, tropeça no conceito de azar ou de sorte e estabelecer leis que permitem “medir a sorte”.   

O objetivo da aula é apresentar sugestões para exploração dos tópicos em questão, de forma agradável, através de atividades lúdicas.

Professor, para que as atividades propostas atinjam seus objetivos, será necessário fazer uma preparação prévia, como:   

1. Agrupamento dos alunos em duplas;

2. Conforme o número de duplas formadas e, a seu critério, cada aluno/dupla deverá levar para esta aula um par de dados idênticos. Essa comunicação deverá ser feita com antecedência, de preferência relembrada na aula imediatamente anterior, de forma que existam duplas com:

a) pares de dados idênticos;

Fonte: http://2.bp.blogspot.com/_TBYOnPRKV2o/TI0xdSRBYYI/AAAAAAAAABE/lAUiXX4IzhA/s1600/dados.gif 

b) pares de dados de cores diferentes.

Composição da autora. 

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Wuerfel5.jpg

 

Nota: Outra opção para obtenção dos dados é que seja realizada a aquisição deste material pela escola — afinal, os dados não são tão caros assim.

Com os alunos já dispostos em duplas na sala, inicie a aula conversando com a turma sobre situações que proporcionem lidar com a incerteza como, por exemplo, lançar um dado e saber qual será a face voltada para cima em cada novo lançamento.   

Peça que os alunos realizem a experiência de jogar um único dado de modo a perceberem que, apesar de sabermos os possíveis resultados, não é possível saber qual será a face voltada para cima.

Nota: Utilizando uma linguagem adequada para o nível de ensino da sua turma, informe então que situações como essa, onde os acontecimentos (experimentos) possuem variabilidade de ocorrência, isto é, o mesmo experimento pode ter vários resultados diferentes, são chamados de experimentos aleatórios.

Aproveite também para informar que o conjunto dos possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral.     

Peça que os alunos registrem em seus cadernos os dois conceitos dados e o espaço amostral do experimento “lançar um dado e observar a face voltada para cima": {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Atividade 1:

Duplas lançando seus dados.

1. Escolha um aluno para fazer os “lançamentos” dos dados e o outro, para registrar TODOS os possíveis e diferentes resultados obtidos em cada lançamento.

2. Distribuição da folha para registro dos resultados.

Obs: Acesse previamente o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AtividadeJogandoDados.pdf e tire cópias para todos os alunos. 

Imagem da autora.

3. Designe as “regras do jogo” para cada dupla, como a seguir:   

– lançamentos simultâneos — os dois dados de uma só vez, para dupla(s) com dados idênticos;

– lançamentos simultâneos — os dois dados de uma só vez, para dupla(s) com dados de cores diferentes;

– lançamentos sucessivos — um dado por vez, para dupla(s) com dados idênticos;

– lançamentos sucessivos — um dado por vez, para dupla(s) com dados de cores diferentes;   

4. Estime um tempo aproximado de 15 minutos para realização da atividade.   

5. Solicite então, que cada dupla apresente os seus registros para os demais alunos, fazendo comentários sobre as suas descobertas.

1. Tabela com registro dos resultados encontrados nos lançamentos simultâneos com dados idênticos.

Imagem da autora.

2. Tabela com registro dos resultados encontrados nos lançamentos simultâneos com dados de cores diferentes.

Imagem da autora.

3. Tabela com registro dos resultados encontrados nos lançamentos sucessivos com dados idênticos.

Imagem da autora.

4. Tabela com registro dos resultados encontrados nos lançamentos sucessivos com dados de cores diferentes.

Imagem da autora.

1. Espera-se que os alunos percebam os possíveis resultados, sem necessitar efetuar todos os lançamentos.   

2. Caso os alunos não façam comentários a respeito, chame a atenção para a diferença existente nos lançamentos simultâneos, a saber:

a) utilizando dados idênticos a ordem não é relevante, isto é, resultados como, (1, 2) e (2, 1) representam um mesmo lançamento.

b) utilizando dados de cores diferentes o resultado, por exemplo, (1, 2) é diferente de (2, 1).   

3. Fale também sobre o nº de elementos do espaço amostral de cada um dos experimentos: 21 para lançamentos simultâneos de dados idênticos e 36 nos demais casos.

Atividade 2:

Duplas identificando eventos.

1. Mantenha os alunos em duplas como na atividade 1, e solicite que cada dupla observe os registros feitos, identifiquem e registrem, pela enumeração dos elementos do espaço amostral que satisfazem as condições a seguir:

1.1) resultados iguais nos dois dados;

1.2) face 5 voltada para cima em apenas um dado;

1.3) soma das faces igual a 1;

1.4) soma dos valores das faces dos dois dados menor do que 13;

1.5) números divisores de 3 nos dois dados.   

2. Estime um tempo aproximado de 10 minutos para realização da atividade.

3. Como na atividade anterior, peça que as duplas relatem as suas soluções para o restante da turma.   

4. Peça então que os alunos registrem em seus cadernos as respostas corretas em cada um dos tipos de lançamentos dos dados.

1.1 - O item tem solução única nos quatro casos trabalhados pela turma: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}   

1.2 - No caso de lançamento simultâneo de dados idênticos, tem-se: {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 6)}   

Nos demais casos, temos: {(1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}    

1.3 - Condição não satisfeita em nenhum dos casos, ou seja, o conjunto solução é vazio.   

1.4 – Em todos os casos a solução é o próprio espaço amostral.   

1.5 – No caso do lançamento simultâneo de dados idênticos, tem-se: {(1, 3), (3, 3)}   

Nos demais casos, temos: {(1, 3), (3, 1), (3, 3)}

I. Introduza o conceito de evento, informando e solicitando que os alunos registrem em seus cadernos que cada um dos conjuntos encontrados, representa um evento.

Explique ainda que o evento é, na verdade, um subconjunto do espaço amostral cujos elementos satisfazem a uma condição dada.  

II. Introduza também as definições:  

Evento impossível corresponde ao conjunto vazio.   

Evento certo é o próprio espaço amostral.

III. Introduza finalmente o conceito de chance de ocorrência de um evento.

Para que os alunos possam compreender tal conceito, questione à turma: Ao fazer o lançamento simultâneo com pares de dados idênticos, qual a chance de o evento “obter resultados iguais nos dois dados” ocorrer?   

Deixe que os alunos debatam sobre a questão e, em seguida, mostre que: dos 21 resultados encontrados, existem 6 que satisfazem à condição dada.

Ou seja, a chance de ocorrência é 6 em 21, ou ainda, 6/21.   

Mostre também que: 6/21 = 2/7 ~ 0,2857... ~ 28%   

Obs: Caso haja necessidade faça uma breve revisão sobre arredondamentos de números. Para revisão sobre o assunto acesse o link disponível nos recursos complementares.

Atividade 3:

Determinando as chances de ocorrência de um evento.

Peça para os alunos, independente das duplas formadas, determinarem as chances de ocorrência dos demais eventos da atividade anterior.   

Estime um tempo aproximado de 20 minutos e, em seguida, confira com a turma as soluções encontradas.

1.1 – Para os casos em que o espaço amostral tem 36 elementos, a chance de o evento “obter resultados iguais nos dois dados” é:   6/36 = 1/6 = 0,1666... ~ 17%   

1.2 – Evento: face “5” voltada para cima em apenas um dado   

No espaço amostral com 21 elementos, a chance é: 5/21 = 0,2380... ~ 24%  

No espaço amostral com 36 elementos, a chance é: 10/36 = 5/18 = 0,2777... ~ 28%  

1.3 – Evento: soma das faces igual a 1

Em todos os casos, a chance é: 0%   

1.4 – Evento: faces com números menores que “6” nos dois dados

Em todos os casos, a chance é: 100%   

1.5 – Evento: números divisores de 3 nos dois dados

No espaço amostral com 21 elementos, a chance é: 2/21 = 0,095... ~ 10%

No espaço amostral com 36 elementos, a chance é: 3/36 = 1/12 = 0,0833... ~ 8%

Faça então a generalização para os alunos:   

“Dado um evento A de um espaço amostral E a chance de ocorrência do evento A é igual ao quociente n(A)/n(E), em que: n(A) é o número de elementos de A e n(E) é o número de elementos do espaço amostral.”  

Nota: Caso considere necessário, elabore outros eventos utilizando os experimentos realizados.

Atividade 4:

Brincando e aprendendo com dados.   

Nessa atividade, você irá explorar as propriedades de eventos aleatórios e suas probabilidades a partir do experimento aleatório que consiste no lançamento de dois dados equilibrados. Um dado é verde e o outro dado é azul.

1. Para realização da atividade, encaminhe a turma ao laboratório de informática e peça que os alunos, em duplas, acessem o link: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/prob-doisdados-html/prob-doisdados-start.html. 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/prob-doisdados-html/prob-doisdados-start.html 

2. Leia, junto com a turma, as instruções contidas na página.

Obs: Para que a turma possa realizar a atividade em sua totalidade, esclareça as notações existentes:    

P(A): chance de ocorrência do evento A

P(Ā): chance de ocorrência do evento Ā    

Nota: Caso o aluno não se recorde, lembre-os de que, na teoria dos conjuntos, Ā significa o complementar de A, ou seja, o que não pertence a A.    

Exemplo:    Considerando o evento da atividade 2, “resultados iguais nos dois dados”, o evento complementar é: “resultados diferentes nos dois dados”. Se o evento possui 6 elementos então, no caso de  lançamento simultâneo de dois dados idênticos, o evento complementar possui 15 elementos.

3. Permita que cada grupo faça a atividade uma única vez, até que a mesma seja realizada em sua totalidade com sucesso.

4. Após todos os grupos terem finalizado, peça para que cada um relate o seu experimento e mostre para os demais a solução encontrada.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/prob-doisdados-html/prob-doisdados.html  

  

Obs: Utilize a atividade como uma forma de avaliar os conhecimentos adquiridos.

Atividades Extras:  

Para enriquecimento da aula e revisão dos conhecimentos adquiridos ao longo da mesma, sugerimos que você proponha aos alunos as atividades:  

I. Jogamos com Dados e Pensamos 

Acesse o link:  http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/jogo_dados.php   

Composição da autora.

Fonte: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/jogo_dados.php

II. Eventos Aleatórios 

Acesse o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/sucessos_aleatorios.php    

Composição da autora.

Fonte: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/sucessos_aleatorios.php

Recursos Complementares

Algumas atividades apresentadas nessa aula, foram baseadas no livro TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: Explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais, do Projeto Fundão: Instituto de Matemática/UFRJ, coordenado pela Professora Maria Laura Mouzinho Leite Lopes. http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/images/stories/tratamento_da_informao_para_sries_iniciais.jpg    

Arredondando Números: http://www.brasilescola.com/matematica/arredondando-numeros.htm   

Fontes de pesquisa:

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm  

http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeConceitos.aspx  

http://www.infoescola.com/matematica/espaco-amostral-e-evento/  

Avaliação

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Divida a turma em grupos de 4 a 5 alunos e designe para cada grupo um dos experimentos aleatórios abaixo:

I. Lançar 2 moedas sucessivamente e obervar as faces voltadas para cima

II. Lançar 3 moedas sucessivamente e obervar as faces voltadas para cima

III. Retirar sucessivamente, com reposição das bolas após cada retirada, 2 bolas de um saco contendo 2 bolas azuis e 4 bolas vermelhas

IV. Retirar sucessivamente, com reposição das bolas após cada retirada, 2 bolas de um saco contendo 2 bolas brancas, 2 azuis e 2 vermelhas   

Nota: Caso haja necessidade, crie outros experimentos de modo que TODOS os grupos realizem experimentos diferentes.   

Em cada grupo deve haver uma divisão de tarefas a saber:

1. Realizar o experimento

2. Registrar todos os possíveis resultados

3. Propor questões sobre eventos pertinentes ao experimento  

Após o cumprimento das etapas anteriores, os grupos trocam os experimentos, resolvem as questões propostas e apresentam para o restante da turma.

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