História e aplicabilidade da teoria das probabilidades.

Tabelas de dupla entrada.

Determinar a probabilidade de ganhos em um jogo.

Calcular a probabilidade da união, interseção e diferença de dois eventos.

3 aulas de 50 minutos cada

Experimento aleatório

Evento e chances de um evento

Teoria dos conjuntos e operações de união, interseção e diferença de dois conjuntos

Gráfico de barras

Par ordenado

Representação de frações na forma percentual

Converse um pouco com os alunos sobre a história da probabilidade e de suas diversas aplicações no cotidiano e em outras áreas de estudo.   

Conte para a turma que o interesse do homem em estudar os fenômenos que envolviam determinadas possibilidades fez surgir a probabilidade. O surgimento da teoria das probabilidades teve início nos jogos de azar, comumente praticados através de apostas e disseminados na Idade Média.   

Nota: Se achar oportuno fale também sobre os matemáticos que desenvolveram a teoria das probabilidades e, como fonte de informação, acesse o link: http://www.brasilescola.com/matematica/historia-probabilidade.htm. 

Enumere algumas aplicações dessa teoria no cotidiano, tais como: avaliação de riscos e no comércio de matérias-primas, métodos de probabilidade na regulação ambiental, na teoria dos jogos etc.   

Para mais exemplos, consulte o link: http://pt.wikipedia.org/wiki/Probabilidade. 

Promova então uma discussão na turma e proponha que os alunos pesquisem sobre o assunto e tragam mais informações sobre as aplicações da Teoria das Probabilidades no cotidiano e em outras áreas de estudo.

Atividade 1:   

Jogo da Cultura Popular   

A atividade proposta permitirá que a turma vivencie a prática do jogo de habilidade conhecido popularmente como “Purrinha”. 

Fonte: http://www.flickr.com/photos/diegorrrangel/4270405052/sizes/z/in/set-72157622941039210/  

1. Proponha que o jogo seja feito em duplas. 

2. Distribua três palitos (de fósforo ou similar) para cada aluno.   

3. Providencie cópias do arquivo disponível no link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/AtividadeJogandoPurrinha.pdf para distribuição aos alunos no momento da exploração da atividade. 

4. Caso os alunos desconheçam as regras do jogo, enumere-as para os mesmos.  

   

Regras do Jogo  

1) Cada jogador, de posse dos três palitos, “esconde” em uma das mãos — sem que o outro jogador veja — uma das quantidades: 0 (nenhum palito), 1, 2 ou 3.

2) Em seguida, cada um aposta qual a soma de palitos que serão mostrados por eles.

3) Depois das apostas feitas, cada um abre a mão e mostra o número de palitos.

4) Vence o jogo aquele que acertar a soma obtida.   

5. Dê início ao jogo, permitindo que os alunos “brinquem” por aproximadamente 10 minutos.

Exploração da Atividade

1. Após o período exploratório, entregue para os alunos a folha com a tabela de dupla entrada e solicite que eles a completem com as somas obtidas.

Imagem da autora.

2. Peça então que os alunos preencham a segunda tabela constante na folha, com as somas possíveis e suas respectivas ocorrências, por exemplo, a soma 4 pode ocorrer em três situações: (2, 2), (3, 1) e (1, 3) onde a ordem dos pares é dada para diferenciar as quantidades de palitos de cada aluno (aluno1, aluno2).

Imagem da autora.

3. Após o preenchimento das tabelas, peça que os alunos respondam os seguintes questionamentos, registrando em seus cadernos, as respectivas respostas.

3.1. Quantas são as somas possíveis?

3.2. Quais são, respectivamente, a menor e a maior soma possível?

3.3. De quantas formas diferentes podem acontecer, respectivamente, a menor e a maior soma possível?

3.4. De quantas formas diferentes pode ocorrer:

3.4.1. soma igual a 2?

3.4.2. a sequência das somas 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

3.4.3. soma menor que 3?

3.4.4. soma maior ou igual a 3?

4.  Quantas somas diferentes podemos obter?

5. Em relação ao total de adições, qual a probabilidade de ocorrer as somas descritas nos itens 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3 e 3.4.4?

6. Represente, por meio de um gráfico de barras, a relação de cada soma com o número de sua ocorrência (frequência).

1.

Imagem da autora.

2.    

Imagem da autora.

3.1. 7 somas possíveis

3.2. 0 e 6

3.3. Uma única forma possível nos dois casos.

Obtenção da menor soma possível: nenhum palito nas mãos de cada jogador: (0, 0)

Obtenção da maior soma possível: 3 palitos nas mãos de cada jogador: (3, 3)

  

Nota: Para melhor visualização da resolução dos itens a seguir, utilize o Data Show e exiba as imagens com as soluções.

3.4.1. Três formas diferentes: (2, 0), (1, 1) e (0, 2)

Imagem da autora.

3.4.2. Duas formas diferentes:   

1ª forma: (0, 1) → (0, 2) → (0, 3) → (1, 3) → (2, 3) → (3, 3)  

2ª forma: (1, 0) → (1, 1) → (1, 2) → (1, 3) → (2, 3) → (3, 3)

Imagem da autora.

3.4.3. Seis formas diferentes: (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (2, 0)

Imagem da autora.

3.4.4. 10 formas diferentes: (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3)

Imagem da autora.

4. 16 maneiras diferentes 

Obs: Caso haja necessidade, faça uma breve revisão sobre arredondamentos de números. Para revisão sobre o assunto acesse o link disponível nos recursos complementares.   

5. 

a) soma igual a 2: 3 em 16 ou 3/16 = 0,1875 ~ 19%   

b) a sequência das somas 1, 2, 3, 4, 5 e 6: 2 em 16 ou 2/16 = 0,125 ~ 12%  

c) soma menor que 3: 6 em 16 ou 6/16 = 0,375 ~ 38%   

d) soma maior ou igual a 3: 10 em 16 ou 10/16 = 0,625 ~ 62%   

6.

 

Imagem da autora.

Nota: Caso haja necessidade, reveja com a turma a construção de gráficos de barras. 

Imagem da autora.

Nota:

Pode-se jogar com um número maior de alunos. Observar que a maior soma é sempre um múltiplo de 3 e que o número total de possibilidades de somas é uma potência de 2.

Atividade 2:

Rodas da Fortuna

Fonte: http://www.uff.br/cdme/rdf/rdf-html/rdf-c-br.html  

Esta atividade oferece um aplicativo orientado para a simulação de experimentos aleatórios no computador, com ênfase em probabilidade geométrica. No caso, uma roda da fortuna, onde o espaço amostral e as probabilidades podem ser modificados, permitindo a simulação de experimentos clássicos como o lançamento de uma moeda (número de possibilidades = 2) e o lançamento de um dado (número de possibilidades = 6).

1. Para realização da atividade, encaminhe a turma ao laboratório de informática e peça que se acomodem em grupos de 3 alunos por computador

2. Informe-os de que a atividade a ser realizada é: Rodas da Fortuna – Parte I e, com auxílio do Data Show, exiba as imagens a seguir contando um pouco sobre “Fortuna e Sua Roda”.

Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tadeusz_Kuntze_001.jpg  

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/File:ForutuneWheel.jpg 

Fortuna (equivalente à deusa grega Tique) era a deusa da fortuna e a personificação da sorte na mitologia romana. Ela pode trazer boa ou má sorte, sendo algumas vezes representada com a vista vendada (como a moderna imagem da justiça) ou cega, pois distribuía seus desígnios aleatoriamente. Em outros quadros e desenhos, Fortuna é representada girando sua Roda da Fortuna (Rota Fortunae) de forma aleatória, mudando as posições das pessoas sobre a roda: algumas sofrem grande infortúnio, outras ganham lucros inesperados.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/rdf/rdf-html/rdf-br.html 

3. Solicite que acessem o link: http://www.uff.br/cdme/rdf/rdf-html/rdf-c-br.html e leia com os alunos os dois primeiros parágrafos das instruções. Após a leitura designe uma quantidade do número de possibilidades (2 a 13) para cada grupo, e permita então que eles, caso queiram, alterem as cores e os posicionamentos dos “nomes”.   

Nota: Garanta que pelo menos um grupo fique com número de possibilidades igual a 2 e outro fique com número de possibilidades igual a 6.  

4. Peça que os grupos iniciem então a atividade efetuando 20 sorteios!   

5. Exiba, com o uso do Data Show, as imagens das atividades realizadas pelos grupos (uma por vez), solicitando que os “autores” de cada uma delas relatem as suas descobertas para os demais grupos.

Nota: Limite um tempo aproximado de 2 a 3 minutos para cada relato.  

Enfatize a questão da probabilidade inicial de cada possibilidade e as frequências registradas após 20 lançamentos.   

Exemplos:    

1) Simulando o lançamento de uma moeda e considerando 1: “cara” e 2: “coroa”, observa-se, neste sorteio feito por nós que, apesar de a probabilidade ser ½ para cada face em um único “lançamento”, após 20 deles, a ocorrência de cara foi 11 e de coroa foi 9.

Composição da autora.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/rdf/rdf-html/rdf-c-br.html  

2) Simulando o lançamento de um dado e considerando 1, 2, 3, 4, 5, 6 as suas faces, observa-se, neste sorteio feito por nós que, apesar de a probabilidade ser 1/6 para cada face em um único “lançamento”, após 20 deles, as ocorrências das faces foram:

1 → 3 

2 → 5 

3 ou 5 → 2 

4 ou 6 → 4

Composição da autora. 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/rdf/rdf-html/rdf-c-br.html 

Atividade 3:

Probabilidade: Eventos Equiprováveis

Nessa atividade, você irá explorar as propriedades da união, interseção e diferença de eventos aleatórios e suas probabilidades a partir do experimento aleatório que consiste em sortear uma pessoa de um grupo formado por 28 meninos e meninas.

Professor, caso considere necessário, faça uma breve revisão sobre as operações de união, interseção e diferença de dois conjuntos.   

Defina para os alunos:   

Eventos equiprováveis são aqueles que têm a mesma chance de ocorrer.   

Exemplo: Lançamento de uma moeda: 50% de chances de dar “cara” e 50% de dar “coroa”.

Pergunte aos alunos se os eventos das atividades 1 e 2 são equiprováveis.

Obs: Espera-se que os alunos percebam que os eventos da atividade 1 não são equiprováveis, pois as somas dos valores exibidos têm frequências diferentes.

1. Peça aos grupos, já organizados para realizarem a atividade anterior, que acessem o link: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos-start.html.  

2. Leia, junto com a turma, as instruções contidas na página. 

Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos-start.html 

3. Permita que cada grupo faça a atividade uma única vez, até que a mesma seja realizada em sua totalidade com sucesso.

4. Após todos os grupos terem finalizado, peça para que cada um relate o seu experimento e mostre para os demais a solução encontrada.

Composição da autora.

Fonte: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/prob-bonecos-html/prob-bonecos.html  

Obs: Utilize a atividade como uma forma de avaliar os conhecimentos adquiridos.   

Sugestão: Para enriquecimento da aula, sugerimos que você utilize o recurso do portal: Probabilidade com urnas, como atividade extra.

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/15600/open/file/index.html?sequence=279 

Composição da autora.

Fonte: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/15600/open/file/atividade1_parte1.html 

Probabilidade com urnas 

Nome	Tipo
Probabilidade com urnas	Animação/simulação

Algumas atividades apresentadas nessa aula, foram baseadas no livro TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: Explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais, do Projeto Fundão: Instituto de Matemática/UFRJ, coordenado pela Professora Maria Laura Mouzinho Leite Lopes. http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/images/stories/tratamento_da_informao_para_sries_iniciais.jpg    

Arredondando Números: http://www.brasilescola.com/matematica/arredondando-numeros.htm   

Fontes de pesquisa: 

http://www.slideshare.net/MargarethDomingues/histria-das-probabilidades-e-eleies  

http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT705269-2680,00.html  

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.

Avaliar a apresentação da pesquisa proposta no início dessa aula, em que os alunos mostrarão aplicações da Teoria das Probabilidades no cotidiano e em outras áreas de estudo.