Introduzir o conceito de princípio multiplicativo;

Construir a relação entre a árvore das possibilidades e o Princípio Multiplicativo.

2 aulas de 50 minutos

Multiplicação de Números Naturais.

Construção de tabelas de dupla entrada.

Árvore de possibilidades.

Professor, para realizar essa aula, inicie uma brincadeira com seus alunos, informando que eles são agora integrantes das equipes que irão investigar um fato muito estranho: o desaparecimento das provas de matemática.   

Nova função da turma

Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_R_1GT82CqWo/TBKy_wUPdyI/AAAAAAAAAPk/ve5Xe0hoWN0/s320/detetive.jpg 

Para tanto, forme três grupos e nomeie-os: Equipe dos Cenários, Equipe dos Trajes, Equipe dos Perfis. Caso a turma seja grande, oriente que cada equipe forme grupos menores e que ao terminarem a atividade promovam uma discussão que os leve a formação de uma única solução.

Cada equipe será responsável por apresentar, utilizando o quadro de giz, a parte do caso que couber a mesma resolver para os demais grupos, citando a(s) pista(s), os questionamentos e o encaminhamento das soluções.

Previamente acesse o link http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/PrincMultipli.pdf,   tire cópias da atividade e distribua um exemplar para cada aluno. Este arquivo contém as atividades e definições desta aula.

Imagem autora

Para tornar mais interessante, escolha um outro professor da escola e faça as alterações necessárias para se adequarem às características dele e ao final da apresentação de cada equipe, indique qual das possibilidades melhor descrevem o suspeito.

O objetivo destas atividades é introduzir o conceito de princípio multiplicativo utilizando pistas fornecidas pelo professor como meio para chegar às informações necessárias para solucionar o caso.

Solicite aos grupos que iniciem a atividade correspondente ao seu grupo.

Reserve um momento para que os componentes em cada grupo troquem opiniões e elaborem as soluções.

Atividade 1:  

Equipe dos cenários – Quando ocorreu o desaparecimento?

Professor, você fornecerá ao grupo pistas que devem ser consideradas para definir as condições nais quais ocorreu o misterioso desaparecimento.

Pistas:

• Para que este caso seja desvendado é necessário saber o turno no qual se deu o fato. Fomos informados que a escola funciona o dia inteiro, isto é, das 7:00 às 22:00;
• Também devemos estar atentos ao momento em que se encontravam os alunos, ou seja, em sala de aula ou no intervalo (recreio);

Solicite ao grupo que registre em seus cadernos estas informações e responda aos itens a seguir.

a) Em quantos turnos o desaparecimento pode ter ocorrido?

b) Quantos momentos foram considerados para analisar o caso?

c) Construa uma tabela de dupla entrada que represente a situação.

d) Represente todas as opções referentes a esta parte do caso utilizando a árvore de possibilidades.

e) Quantos cenários diferentes podemos formar analisando os turnos e o momento em que os alunos estavam?

 

a) O desaparecimento pode ter ocorrido em três turnos.

b) Foram considerados dois momentos.

c)

	Alunos em sala	Alunos no recreio
Turno da manhã	Turno da manhã e alunos em sala	Turno da manhã e alunos no recreio
Turno da tarde	Turno da tarde e alunos em sala	Turno da tarde e alunos no recreio
Turno da noite	Turno da noite e alunos em sala	Turno da noite e alunos no recreio

 Imagem da autora

d)

Imagem da autora

e) Puderam ser formados seis cenários diferentes para o desaparecimento das provas.

Atividade 2:

Equipe dos trajes - Como suspeito estava vestido?

Professor, dê ao grupo as informações a seguir:

Pistas: 

• Uma testemunha disse que o suspeito estava com uma calça escura, porém não conseguiu dizer se era preta ou azul;
• Outra pessoa que também viu o suspeito tentou lembrar a cor da blusa, mas ficou em dúvida entre o verde, o cinza e o azul;

 Solicite aos alunos que registrem em seus cadernos estas pistas e respondam aos questionamentos a seguir.

a) A testemunha estava em dúvida entre quantas cores de calça ?

b) Quantas cores diferentes foram consideradas para a blusa?

c) Construa uma tabela de dupla entrada para representar a situação.

d) Utilize a árvore de possibilidades para representar as possíveis soluções referentes a roupa do suspeito.

e) Quantos de trajes diferentes podemos formar considerando as cores das calças e das blusas?

a) A testemunha estava em dúvida entre duas cores de calça.

b) Foram consideradas três cores para a blusa.

c)

	Blusa verde	Blusa cinza	Blusa azul
Calça preta	Calça preta e blusa verde	Calça preta e blusa cinza	Calça preta e blusa azul
Calça azul	Calça azul e blua verde	Calça azul e blusa cinza	Calça azul e blusa azul

Imagem da autora

d)

Imagem da autora

e) Podemos formar 6 tipos diferentes de trajes.

Atividade 3:

Equipe dos perfis - Qual a descrição do suspeito?

 

Professor, forneça ao grupo a pista abaixo que auxiliará na constituição de um perfil para o suspeito.

Pista:  

• Ao entrevistar o chefe da segurança da escola, o mesmo disse que relatórios destacaram a entrada de pessoas fora do horário habitual porém, algo surpreendente aconteceu. Não constavam informações sobre a descrição física delas. Assim, não devemos descartar possibilidade alguma, tais como a estatura, que pode ser alta, média ou baixa, nem a idade, que podemos classificar como jovem caso o suspeito tenha até 18 anos, adulto de 19 aos 65 ou idoso de 66 em diante. 

Peça a equipe que registre em seus cadernos esta informação e responda às indagações a seguir.

a) Considerando a estatura do suspeito, quantas informações foram registradas?

b) Já ao tratarmos da faixa etária, quantas possibilidades devemos considerar?

c) Construa uma tabela de dupla entrada para representar a situação.

d) Encontre as possíveis descrições, utilizando a árvore de possibilidades.

e) Quantas descrições envolvendo estatura e idade diferentes podemos formar?

a) Foram registradas três informações referentes à estatura.

b) Devemos considerar três possibilidades para a faixa etária.

c)

	Jovem	Adulto	Idoso
Estatura alta	Estatura alta e jovem	Estatura alta e adulto	Estatura alta e idoso
Estatura média	Estatura média e jovem	Estatura média e adulto	Estatura média e idoso
Estatura baixa	Estatura baixa e jovem	Estatura baixa e adulto	Estatura baixa e idoso

Imagem da autora

d)

Imagem da autora

e) Podemos formar nove descrições diferentes envolvendo a estatura e a idade.

Após o tempo estabelecido, peça a equipe dos cenários para iniciar a apresentação.

Solicite aos demais alunos que registrem em seus cadernos as soluções de cada parte do mistério, isto é, de cada atividade.

Neste momento, estabeleça o diálogo entre o grupo que estará expondo o problema a ser resolvido e as outras equipes, para que todas as dúvidas sejam esclarecidas.

Ao término desta etapa, pergunte a turma os pontos em comum na obtenção dos resultados das três atividades. A turma deve perceber que o número total de possíbilidades é dado pela multiplicação do número de possibilidades da primeira situação pelo número de possibilidades da segunda.

Informe a turma que estas atividades são exemplos do princípio multiplicativo.

Definindo o Princípio Multiplicativo: Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes de tal forma que o número de possibilidades da primeira etapa é m e da segunda é n, então o  número total de possibilidades para a ocorrência deste evento é dado pelo produto mn.

Mostre, utilizando um dos problemas apresentados que, na equipe dos trajes por exemplo, se chamarmos de m o número de possibilidades para a escolha da nossa primeira etapa que é descobrir se o suspeito estava de calça preta ou azul e n o número de possibilidades diferentes para a escolha da blusa, nossa segunda etapa, então teremos que o número de trajes que o suspeito poderia ter usado no dia do desaparecimento é m . n = 2 .3 = 6.

Imagem da autora

 

Atividade 4:

Última etapa da investigação - Retrato falado

1. Esta etapa deverá ser realizada no laboratório de informática. Peça a eles para se acomodem em grupo com, no máximo, três alunos por computador.

Nota: Esta atividade pode ser utilizada como avaliação.

2. Informe a turma qual o objetivo de um retrato falado. Dê exemplos de uso prático. Diga aos alunos que a partir desta atividade eles poderão estimar a quantidade de rostos diferentes que podem ser formados, para isso farão uso do princípio multiplicativo.

3. Peça que eles acessem o link http://jogueaki.ig.com.br/jogos-online.php?jogo=cara_maluca.  

Imagem editada pela autora a partir de http://jogueaki.ig.com.br/jogos-online.php?jogo=cara_maluca   

4. Leia as instruções contidas na página junto com a turma.

5. Permita que eles explorem a atividade por 15 minutos.

6. Solicite a turma que responda aos questionamentos a seguir.

Nota: Ressalte que, em alguns casos, também é possível considerar a inversões das peças, veja o exemplo abaixo.

Exemplo: Uma boca pode ser utilizada de duas formas diferentes.

Imagem editada pela autora a partir de http://jogueaki.ig.com.br/jogos-online.php?jogo=cara_maluca  

a) Quantos pares de olhos de formato diferente temos?

b) Podemos contar com quantos tipos diferentes de nariz neste jogo?

c) Considerando apenas os formatos dos olhos e nariz, quantos rostos diferentes podem ser formados?

d) Agora observe o formato das bocas. Dispomos de quantos formatos diferentes nesta brincadeira?

e) Quantos rostos com formato de olhos, nariz e boca diferentes são formados no jogo Cara Maluca?

a) Existem quatro formatos de olhos diferentes.

b) Neste jogo contamos com dois tipos de nariz diferentes.

c) Podem ser formados oito rostos diferentes, considerando apenas os formatos de olhos e nariz.

d) Dispomos de três formatos de boca diferentes.

e) Podem ser formados vinte e quatro rostos diferentes.

Ao final desta atividade forneça os dados referentes ao rosto do suspeito, pergunte às equipes se conseguiram fazer a identificação de quem desapareceu com tão valioso material.

Atividade 5:

Trabalhando Conceitos

O objetivo desta atividade é solidificar o conceito de princípio multiplicativo através de exemplos envolvendo três contextos diferentes.

A turma continuará distribuída da mesma maneira da atividade 4.

1. Solicite aos alunos que acessem o link

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/principio_multiplicativo.html ;

2. Leia junto com a turma o primeiro problema;

Imagem da autora

3. Solicite sugestões para resolvê-lo. Reserve um momento para o diálogo e troca de ideias.

4. Apresente e discuta a resolução do problema;

Nota: Para apresentar o encaminhamento da resposta, clique em solução como na figura abaixo.

Imagem da autora

5. Repita o processo para os problemas 2 e 3.

  

Exiba, com o uso do Data Show, a reportagem RETRATO FALADO PF, exibida em 30/06/2009, visando mostrar a turma que o conteúdo aprendido nesta aula é, de fato, aplicado do cotidiano.

Reportagem Retrato Falado PF

Fonte: http://www.youtube.com/watch?v=9hPe6vo4fog   

Peça aos alunos para pesquisarem na internet sobre outras aplicações do princípio multiplicativo no cotidiano.

Após a pesquisa, peça aos alunos que relatem seus resultados.

Utilize esta reportagem para iniciar um debate sobre os benefícios dos avanços tecnológicos na sociedade. 

Curiosidade:

Se houver oportunidade mostre para a turma o site  http://www.pimptheface.com/ que é um site onde a própria pessoa pode fazer o seu retrato falado online. 

Imagem editada pela autora a partir de http://www.pimptheface.com/ 

 

Algumas atividades apresentadas nessa aula, foram baseadas no livro TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: Explorando dados estatísticos e noções de probabilidade a partir das séries iniciais, do Projeto Fundão: Instituto de Matemática/UFRJ, coordenado pela Professora Maria Laura Mouzinho Leite Lopes.

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/images/stories/tratamento_da_informao_para_sries_iniciais.jpg   

Aplicação de problemas visando a avaliação do conteúdo apresentado.

O link abaixo apresenta sugestões de exercícios para serem aplicados ao final desta aula.

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/PrincMultipliAluno.pdf  

As soluções dos problemas propostos se encontram no link abaixo:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/pdf/PrincMultipliProfessor.pdf