• Conhecer as principais propriedades de um triângulo retângulo;
• Identificar as relações métricas dentro de um triângulo retângulo;
• Aplicar as relações métricas em situações cotidianas.

Classificação de triângulos

ATIVIDADE 1:

Propor o seguinte problema aos alunos:

1) Dadas uma corda esticada do ponto A de São Paulo até o ponto B do Rio de Janeiro cujo comprimento é de a =  400Km  e outra corda com 1m a mais indo do ponto A até o ponto B também. Determine:

A) a altura h do triângulo formado ao se suspender a 2ª corda pelo seu ponto médio conforme mostra a Fig.1.

Fonte: Livro: Explorando o ensino Matemática. Volume 1.

B) a altura b do triângulo retângulo formado ao suspender a corda conforme mostra a Fig.2 

Fonte: Livro: Explorando o ensino Matemática. Volume 1.

Na resolução do item A devemos usar o triângulo retângulo de catetos h e a/2 e hipotenusa (a+1)/2. Usando o teorema de Pitágoras obtemos h = 1/2 (2a +1)^1/2(*). Substituindo a=400000m, obtemos h = 447m, aproximadamente.

Já na resolução do item B devemos resolver o sistema formado pelas equações c = a+1-b e c² = a²+b² (teorema de Pitágoras). Ao resolver o sistema obtemos b = (2a+1)/(2a+2)(**). Substituindo a=400000m, obtemos b = 0,999999m, aproximadamente. Mostrando que a nossa intuição pode falhar, já que a diferença de altura é muito grande.

Depois devemos pedir aos alunos que, utilizando o software Winplot, façam o gráfico das funções (*) e (**) para melhor entender o resultado. Vejamos os gráficos:       

Gráfico da função (*)

Devemos deixar claro aos alunos que a parte do gráfico que nos interessa é a parte positiva do eixo x, pois a só pode assumir valores positivos pois representa distância. Devemos dizer que quanto maior for o valor de a, maior será o valor de b.

Gráfico da função (**).

Devemos deixar claro aos alunos que a parte do gráfico que nos interessa é a parte positiva do eixo x, pois a só pode assumir valores positivos pois representa distância. Devemos dizer que quanto maior for o valor de a, o valor de b estará mais próximo de 1.

ATIVIDADE 2:

Determinaremos, geometricamente, a raiz quadrada de um número utilizando apenas as relações métricas de um triângulo retângulo e construções geométricas. Para a realização desta atividade é necessário régua e compasso. Vamos mostrar, por exemplo, como podemos determinar a raiz quadrada do número 7. Primeiro desenhamos uma reta r e nessa reta marquemos os pontos A e B tal que AB = 7 e depois tomemos o ponto C sobre r tal que B esteja entre A e C e BC = 1.  Tracemos uma circunferência com diâmetro AC e depois uma reta perpendicular a AC passando por B, como mostra a figura a seguir. O segmento BE é a raiz quadrada de 7.

Para entendermos porque o segmento BE é a raiz quadrada de 7 devemos olhar para o triângulo retângulo AEC.

Como BE é a altura relativa à hipotenusa AC então BE² = AB.BC (uma das relações métricas de um triângulo retângulo). Substituindo os valores, temos BE² = 7x1, isto é, BE = (7)^1/2. Para um número x qualquer temos BE² = xx1, isto é, BE = (x)^1/2. Antes de chegarmos na fórmula geral devemos passar vários exercícios para os alunos calcularem raízes quadradas de vários números.

Para fazermos os desenhos utilizamos o software geogebra. É importante explorarmos o programa com os alunos para que eles façam essas construções.

ATIVIDADE 3:

http://www.youtube.com/watch?v=dfPx0PG36tE (Eratóstenes)  

Devemos pedir aos alunos que calculem a altura de um poste utilizando a sombra do poste e a sua própria sombra. Sejam H a altura do poste, m a sombra do poste, h a altura do aluno e n a sombra do aluno e utilizando a semelhança entre triângulos retângulos temos: H/m=h/n. Como os valores de m,n e h são conhecidos podemos assim determinar o valor de H. Os alunos podem calcular outros objetos que sejam grandes utilizando esse método. Como por exemplo a altura de uma árvore.

Livro: fundamentos da matemática elementar.

Desafio: As medidas dos lados de um triângulo retângulo podem ser números primos?