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ÁREA DE FIGURAS POLIGONAIS EM MALHA PONTILHADA

 

28/04/2011

Autor e Coautor(es)
RAQUEL GOMES DE OLIVEIRA
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PRESIDENTE PRUDENTE - SP HUGO MIELE PROF

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Grandezas e medidas
Ensino Fundamental Final Matemática Espaço e forma
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Aprender a determinar a área de figuras geométricas poligonais planas (conhecidas e não conhecidas) através da relação entre o número de pontos que estão no interior destas figuras geométricas e o número de pontos que estão sob o traçado ou a borda das mesmas.

Duração das atividades
Três aulas de 50 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
Conceito de área de figura geométrica plana e maneiras conhecidas (fórmulas) para a determinação de áreas em figuras, tais como: triângulo, trapézio, quadrado, losango, retângulo. 
Estratégias e recursos da aula

 Professor, comece sua aula propondo aos alunos que encontrem a área da figura 1 e da figura 2, que estão sobre uma malha pontilhada tendo. Para determinar a área das figuras, os alunos deverão utilizar um quadrado da malha pontilhada formado por 4 pontos enquanto unidade.
 

Combine com seus alunos um tempo de resolução.
 

Você perceberá que para a figura 1, os alunos recorrerão a um processo de contagem, no sentido de descobrir quantas vezes o quadrado formado por 4 pontos, isto é, a unidade de medida cabe na figura que se quer determinar a área.
 

Já a figura 2 foi construída de modo a dificultar a determinação de sua área através da contagem da unidade. Isto porque essa figura é composta por unidades inteiras e frações da unidade que não são determinadas facilmente, pois, em alguns casos, a linha poligonal não passa no meio da unidade como o que acontece, algumas vezes, na figura 1.

Na figura 1, podemos obter uma unidade, juntando em determinadas partes da figura, duas metades da mesma. Este procedimento não é válido para a figura 2.
 

Então cabe aqui perguntar aos alunos: “- Será que a ideia de contar quadradinhos ainda é válida frente a esta situação?”
A dificuldade para determinar a área da figura 2 por contagem é a motivação para o trabalho a fim de buscar um modo de superar esta dificuldade para contar as unidades.
 

Figura 1
 

 Figura 1

       Fonte: Material próprio elaborado utilizando o software Geoplano Computacional encontrado em http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software2.html 

Figura 2

 Figura 2

 Fonte: Material próprio elaborado utilizando o software Geoplano Computacional encontrado em http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software2.html 

A partir da figura 2, vamos buscar trabalhar com a Fórmula de Pick.

Contudo, ao invés de apresentá-la aos alunos para que a apliquem na situação proposta, o objetivo da aula é oportunizar que os alunos determinem a área de figuras geométricas utilizando a Fórmula de Pick.
 
Atividade 1: determinando áreas de polígonos convencionais

Material necessário:

1) folhas de papel com malha pontilhada
(você pode fazer o download desta malha em
 
 
 
 
2) elaboração de uma tabela, tal como:
 
tabelajpg

  Professor, separe seus alunos em grupos, distribuindo as malhas pontilhadas e a tabela para cada grupo.

 Cada grupo será responsável por determinar a área de polígonos como quadrados, retângulos, trapézios, triângulos...
 
A pós o preenchimento da tabela, cada grupo deverá responder às questões:
 
1ª) Existe alguma relação entre o valor encontrado para a área da figura e os valores de I e de B?
 
 
 2ª) Se existe, é possível expressar essa relação na forma de uma fórmula matemática? Como seria essa fórmula?
 
 
 
 A atividade 1 é encerrada promovendo na aula uma espécie de fórum no qual cada grupo irá apresentar os dados de sua tabela e as repostas para as questões acima.
   
Atividade 2: sistematizando a Fórmula de Pick
 
A atividade 2 está diretamente ligada à atividade 1, no entanto, para ela é reservado o momento da sistematização da Fórmula de Pick na qual:
 
A área de um polígono sobre uma malha pontilhada é dada por
 A = (B/2 + I–1), onde B é o número de pontos que estão sob o contorno de um polígono e I é o número de pontos que estão do lado de dentro deste contorno.
 
Para sistematizar e validar a fórmula, peça para seus alunos aplicarem a mesma para quaisquer polígonos.
 
Professor, você pode sugerir que os alunos desenhem polígonos para seus colegas, do mesmo modo, pode sugerir que os alunos utilizem o geoplano virtual (figura 3) encontrado em http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html
 
Observação: não é preciso descarregar o arquivo do geoplano virtual. Ao entrar no endeço acima, já é possivel trabalhar com o mesmo.
 
Figura 3:
Figura 3  
Fonte: material próprio elaborado a partir do geoplano virtual encontrado em: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html
 
Observação: não é preciso fazer o download do geoplano virtual. Ao entrar no endeço acima, já é possivel trabalhar com o mesmo.  

 Este geoplano virtual é muito útil para a validação da fórmula, pois nele existe um recurso que permite saber a área da figura. Por exemplo, na figura 3, os alunos determinarão:

 
B (número de pontos sob o contorno da figura) = 12;
 
I (número de pontos internos da figura) = 7.
 
Logo, pela Fórmula de Pick, para a figura 3, a área do triângulo é  12/2 + 7 – 1, que é igual a 12.
 
Então, após os alunos aplicarem a fórmula em qualquer figura desenhada na malha pontilhada, eles poderão confrontar suas respostas (figura 4). O que é pedagogicamente muito produtivo para o professor e para os alunos, pois se houver divergências entre os resultados, os alunos certamente ficarão interessados em saber o porquê.
 
Buscar o porquê das coisas, não só nas aulas de Matemática, como em outras situações, tem sido uma das competências mais relevantes em nossa sociedade.
 
Figura 4:
Figura 4
Fonte: material próprio elaborado a partir do geoplano virtual encontrado em: http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_277_g_1_t_3.html
 
Observação: não é preciso descarregar o arquivo do geoplano virtual. Ao entrar no endeço acima, já é possivel trabalhar com o mesmo.  
 
 
Nesta atividade, você perceberá que alguns alunos conseguirão deduzir a fórmula, que outros chegarão próximo à dedução e que outros não conseguirão.
 
No entanto, um dos propósitos da aula é levar seus alunos a fazerem Matemática. E com sua mediação, os resultados obtidos ficam em segundo plano frente à ideia de desenvolverem nos alunos atitudes e procedimentos que efetivamente contribuam para o aprendizado dos mesmo. 
Recursos Complementares

A biografia do matemático Georg Alexander Pick  e algumas curiosidades sobre a Fórmula de Pick podem ser encontrados em:

    http://www.profgarcia.xpg.com.br/matematicos_nop.htm

       

Avaliação
Professor, para avaliar esta aula você poderá levar em conta os procedimentos e as atitudes dos seus alunos quando participaram das atividades que você propôs.
 
A ideia de levar os alunos a partirem de situações práticas que vão permitir que elaborem uma fórmula matemática, traz em si alguns pressupostos sobre avaliação escolar. Dentre esses pressupostos está a verificação da predisposição do seus alunos para o desenvolvimento de competências e habilidades que lhes serão úteis em outras situações. Nesse sentido, mesmo podendo avaliar as atividades por notas, considere que: errar, levantar hipóteses, testar essas hipóteses, trabalhar em conjunto, argumentar sobre resultados encontrados, para o objetivo desta aula serão ações que não passam pela determinação do certo ou do errado.
Opinião de quem acessou

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Opiniões

  • Gautama, UI 31 DE MARÇO , Maranhão - disse:
    gautamass@yahoo.com.br

    01/05/2011

    Três estrelas

    Parabéns pela aula. O uso das TIC em sala de aula vem despertando um olhar diferente com relação ao estudo da Matemática, pois esta se torna mais atraente e significativa em suas vidas.


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