*Determinar o número π e o comprimento da circunferência;

*Deduzir a área de um círculo de raio R.

*Identificar as características de um triângulo eqüilátero a partir dos raios de circunferências

Conhecimentos básicos de geometria plana:

• Ponto, segmento de reta e reta;
• Área do paralelogramo e do retângulo.

AMBIENTE 1/ATIVIDADE 1: SALA DE AULA

PREPARAÇÃO AMBIENTE:

Os recursos utilizados nesta atividade são: pincel, quadro branco, circunferências confeccionadas em EVA (ou cartolina) de diferentes cores e tamanhos, barbantes, réguas e tesouras.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE 1:

Nesta etapa, o professor deverá definir o que é círculo e circunferência, explicitando a diferença entre esses dois conceitos. Sugere-se o seguinte endereço como fonte de pesquisa: http://faliolor.blogspot.com/2008/08/crculo-e-circunferncia.html.

Em seguida, a turma deverá organizar-se em grupos com 5 alunos. Cada grupo deverá receber 5 círculos feitos de EVA (ou cartolina) de diferentes tamanhos e cores, barbantes, tesouras e réguas. Com o material já disponibilizado, o professor deverá propor aos alunos a seguinte atividade:

Utilizando os círculos de EVA, executar o que se pede:

a) Medir o comprimento C de cada circunferência dos círculos com um pedaço de barbante e em seguida medir o barbante equivalente ao comprimento de cada circunferência com a régua.

b) Medir o diâmetro D de cada circunferência e o raio.

c) Preencher a tabela abaixo:

Observação: O campo cor tem o objetivo de facilitar a identificação rápida do círculo a que se refere os valores preenchidos na tabela.

d) O que pode ser concluído sobre a razão C/D?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos farão as medições pedidas e preencherão a tabela. Eles poderão apresentar dificuldades em utilizar a régua para medir o barbante referente ao comprimento.  No intuito de orientar a realização da atividade, o professor poderá reunir os seguintes materiais: caneta, um pincel, as dimensões da capa de um caderno..., medir um deles mostrando assim como fazer a leitura correta na régua e em seguida solicitar que os alunos meçam os outros materiais.  

DISCUSSÃO:

Neste momento os alunos deverão expor o modo como desenvolveram a atividade. Em seguida o professor promoverá um debate sobre a relação entre o comprimento e o raio de uma circunferência, a partir do seguinte questionamento: De acordo com o que foi observado, como  construir uma fórmula que pode ser usada para se obter o comprimento de uma circunferência de raio R? Recomenda-se a utilização da tabela construída anteriormente para auxiliar a análise da referida relação.

SISTEMATIZAÇÃO:

Sugere-se que o professor formalize, junto aos alunos, a fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência. Para isso, o docente deverá solicitar a um aluno de cada grupo que a partir da fórmula estabelecida anteriormente pela turma, apresente no quadro branco, o cálculo do comprimento de uma das circunferências recebidas pelo grupo no início da atividade.

AMBIENTE 2/ATIVIDADE 2: Sala de aula

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

 Recomenda-se que os alunos continuem organizados nos mesmos grupos. Serão utilizados todos os materiais citados na atividade 1 (exceto o barbante).

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE 2:

Inicialmente o professor apresentará aos alunos a seguinte atividade no quadro branco:

1)Divida o círculo (de EVA) de raio R, em 8 partes iguais, como no exemplo abaixo:

Fonte: Imagem do autor

2)  Recorte as linhas traçadas, obtendo 8 peças.

3)  Com essas peças forme a figura abaixo:

Fonte: Imagem do autor

Como determinar as medidas dos lados dessa figura?

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos desenvolverão a atividade com os mesmos círculos de EVA que utilizaram na atividade 1.

DISCUSSÃO:

Os alunos deverão expor o modo como desenvolveram a atividade. Em seguida recomenda-se que o professor oriente um debate sobre a relação entre a área do paralelogramo formado e a área da circunferência que foi dividida, propondo o seguinte questionamento: Se a circunferência fosse dividida em mais partes qual figura poderia ser construída?

SISTEMATIZAÇÃO: 

Nesta etapa, deverão ser escolhidos um aluno de cada grupo (recomenda-se que não sejam os mesmo alunos que já participaram da sistematização da atividade 1), que por sua vez escolherá um dos círculos de EVA de um outro grupo, e assim todos eles deverão escolher um círculo que não pertenceu ao seu grupo. Em seguida, eles realizarão, com o auxílio do professor, o cálculo da área de cada figura formada a partir da divisão dos círculos, ressaltando os seguintes aspectos: a) a figura obtida é um paralelogramo, pois seus dois lados opostos têm medidas iguais e são paralelos, b) a  base mede  a metade do comprimento do círculo e a altura têm a mesma medida do raio e c) a área da figura montada é calculada multiplicando-se a base pela altura, assim:

Fonte: Imagem do autor

Caso os alunos não percebam, é importante que o professor ressalte que esta fórmula é uma aproximação da área do paralelogramo, e que ao dividir o círculo em mais partes é possível construir um retângulo.

Fonte:http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html

AMBIENTE 3/ATIVIDADE 3: Laboratório de Informática

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE:

Os alunos deverão executar a atividade em dupla e os recursos utilizados serão o computador, o data show (alternativa:quadro branco e pincel) e o software geogebra, que se encontra disponível no Banco Internacional de objetos Educacionais: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/3538

Botões e opções que serão utilizados nesta aula

·         Segmento definido por dois pontos

Clicar no triângulo pequeno no canto inferior direito do botão indicado, conforme a figura abaixo.

Fonte: Imagem do autor

Selecionar a opção Segmento definido por dois pontos/ Clicar na janela de gráficos (Esse clique determinará um dos extremos do segmento)/Arrastar o mouse pela tela e escolher o outro extremo do segmento. Para marcá-lo é só clicar novamente na tela.

·         Círculo definido pelo centro e um de seus pontos

Clicar no triângulo pequeno no canto inferior direito do botão indicado, conforme a figura abaixo:              

Fonte: Imagem do autor

Selecionar a opção: Círculo definido pelo centro e um de seus pontos/Ao clicar na janela de gráficos, o centro do círculo estará sendo marcado/Arrastar o mouse pela tela e escolher um segundo ponto (Para marcá-lo é só clicar novamente na tela).

·         Interseção de dois objetos

Para definir um ponto de interseção de dois objetos, clicar no triângulo pequeno no canto inferior direito do botão indicado, conforme a figura abaixo:                  

Fonte: Imagem do autor

Selecionar a opção: Interseção de dois objetos/ Clicar na região (quando ela for encontrada os dois objetos ficarão em destaque na tela) que por simples visualização consideramos como sendo a interseção dos dois objetos em questão.

·         Calcular a área

Clicar no triângulo pequeno no canto inferior direito do botão indicado, conforme a figura abaixo:

Fonte: Imagem do autor

Selecionar a opção Área/ Clicar em qualquer ponto da figura que se deseja determinar a área.

·         Calcular os ângulos

Clicar no triângulo pequeno no canto inferior direito do botão indicado, conforme a figura abaixo:

Fonte: Imagem do autor

               Selecionar os segmentos de reta que formam o ângulo no sentido anti-horário (assim obtêm-se ângulos agudos).

Recomenda-se que o professor reserve 15 minutos da aula para explicar aos alunos como manipular o software Geogebra.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE:

Recomenda-se que o professor proponha aos alunos a seguinte atividade:

Utilizando o software Geogebra faça o que se pede abaixo:

1) Construa um segmento com extremidades em dois pontos A e B;
2 ) Construa uma circunferência com centro no ponto A, passando por B;
3) Construa outra circunferência com centro em B, passando por A;
4) Marque as interseções entre as circunferências;
5) Construa um segmento de reta unindo o ponto  A e uma das interseções entre as circunferências;
6) Construa outro segmento de reta unindo o ponto B e o mesmo ponto de interseção utilizado anteriormente ;
7) Qual é a figura formada com os segmentos construídos ? Justifique sua resposta.

MOMENTO DO ALUNO:

Este é o momento em que os alunos farão a construção proposta. O professor deverá averiguar se os alunos conseguem manipular o geogebrana execução da atividade. Eles poderão ter dificuldade em reconhecer as características das principais figuras geométricas, entre elas o triângulo eqüilátero, formado ao final da construção. Desse modo, o professor poderá fazer as seguintes indagações aos alunos: Qual é a relação entre os lados da figura formada? Quais são os ângulos desta figura?

DISCUSSÃO:

Neste momento, o professor pedirá às duplas que exponham as observações e dúvidas que surgiram durante a realização da atividade, e em seguida um aluno construa e narre, simultaneamente, os passos efetuados para desenvolver a atividade. Após essa apresentação, recomenda-se que o professor estimule um debate propondo o seguinte questionamento aos alunos: Podemos observar que os círculos possuem raios e diâmetros iguais. O que podemos afirmar sobre o comprimento e sobre a área desses círculos?

SISTEMATIZAÇÃO:

Nesta etapa, ocorrerá a sistematização da formação de um triângulo eqüilátero ao final da construção. Será utilizado o data show (alternativa: quadro branco e pincel) para fazer passo a passo a construção geométrica proposta na atividade 3 com três segmentos iniciais diferentes (passo 1 da construção proposta). As três construções devem ser realizadas por alunos que não participaram das sistematizações anteriores. Em seguida, o professor deverá estimular os alunos a analisarem a relação entre o segmento construído e o triângulo formado, ou seja, o triângulo eqüilátero será formado independentemente do segmento inicial construído.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2069– Recurso educacional, disponibilizado no Banco Internacional de Objetos Educacionais, que aborda conceitos sobre grandezas e medidas, enfatizando o número π.

Sugere-se que o professor verifique na primeira atividade se os alunos conseguiram determinar o número  π utilizando círculos de raios diferentes e deduzir o comprimento da circunferência. Na atividade 2, poderá ser averiguado se os alunos compreenderam que, através da partição do círculo e do conhecimento da área do paralelogramo, pode-se  encontrar a área aproximada do círculo. Já na atividade 3, recomenda-se que o professor verifique se os alunos  conseguiram realizar a construção geométrica e identificar  as características do  triângulo equilátero presente na figura formada.