- Identificar as diferentes funções.

- Aplicar os conhecimentos sobre funções para resolver situações-problema.

- Reconhecer e identificar as particularidades da sequência de Fibonaccci.

Conhecimentos de matemática básica e noções de funções.

Para começar essa aula, propor aos alunos o vídeo O Código Da Vinci - A Sequência de Fibonacci. Disponível para download em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=21241, acesso em 01 de abril de 2012.

Professor proponha aos alunos assistir o recorte do filme. Questione se conhecem o filme, se já ouviram falar. Após verem o recorte, solicite que descrevam o que mais lhe chamou a atenção.

O vídeo permite ao professor instigar uma provocação aos alunos em relação a sequência de Fibonacci. Pois, apresenta um trecho do filme O Código Da Vinci, onde o professor Robert Langdon é convocado pela polícia francesa a comparecer ao Museu do Louvre, onde o curador Jaques Saunière fora assassinado.  Com a ajuda da agente Sophie Neveu, criptóloga da polícia, Langdon descobre uma série de mensagens ocultas, que levam a uma sociedade secreta. A sequência de números escritos por Jaques Saunière no chão do museu, com sangue, é um código e, se colocado na sequência correta, corresponde à sequência de Fibonacci ou série de Fibonacci, uma sequência de números naturais, que inicia pelo número um, e uma sequência onde cada número é a soma dos dois números anteriores - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Pergunte aos alunos se já ouviram falar na sequência de Fibonacci e o que ela significa.

Só então proponha aos grupos o  quadro com as sequências na horizontal da tabela, instigando os alunos para que identifiquem qual seria o número que está faltando. Deixe que os alunos pensem e identifiquem qual a lógica das sequências.Peça que registrem suas descobertas e, em seguida, socializem com a turma.

Resposta: 

No caso das sequências, os números seguintes resultam da soma e/ou diferença dos números anteriores. Cada linha tem uma lógica. A princípio professor, é interessante apenas discutir qual a lógica das sequências, sem formalização. Cada grupo pode criar uma sequência e propor aos demais grupos suas resoluções.

Após ficar claro a ideia das sequências, encaminhar a atividade de pesquisa a seguir.            

Atividade 1

Após a identificação das sequências, encaminhe os alunos ao laboratório de informática, organizando-os em grupos (3 a 4 alunos). Proponha a atividade de pesquisa, por meio da WebQuest "As sequências de Fibonacci" disponível em: http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w5.php?id_actividad=14323&id_pagina=5.

A ênfase da pesquisa dos alunos deve ser em:

- Quem foi Fibonacci?

- O que é a sequência de Fibonacci?

- Como relacionar números, natureza, arte e situações cotidianas com as sequências de Fibonacci?

Ao final da pesquisa, o professor deve propor uma rodada de apresentação das produções. Onde um dos alunos do grupo deverá  socializar com os demais os resultados encontrados pelo grupo.

Para fechar a pesquisa, se julgar necessário, o professor pode também encaminhar que Leonardo de Pisa (1170-1250), também conhecido como Fibonacci, foi um matemático italiano. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos indo-arábicos na Europa.

A sequência de Fibonacci é bastante famosa e esconde em si a proporção áurea (número de ouro), famosa por ser uma constante presente em várias outras circunstâncias na natureza. Podemos encontrá-la em plantas, flores e em seres como a estrela-do-mar. Muitas construções também contam com sua presença.

Em seu livro Liber Abaci (Livro de Cálculo), Fibonacci brinca com os números propondo diversos problemas. Um dos problemas clássicos propostos pro Fibonacci em seu livro, diz respeito ao problema dos coelhos.

A seguir, com os alunos reunidos em grupo (pode ser o mesmo grupo da pesquisa), distribuir os seguintes problemas.

Atividade 2 - Resolução de Problemas

Problema 1

Fibonacci criou um cenário imaginário com as condições ideais, sob as quais os coelhos poderiam procriar. O objetivo é responder à seguinte questão: Quantos pares de coelhos vão existir daqui a  um ano?

Condições do problema:

1.                 No primeiro mês temos um coelho macho e um coelho fêmea. Estes dois coelhos acabaram de nascer.

2.                 Um coelho só atinge a maturidade sexual ao fim de um mês.

3.                 O período de gestação de um coelho dura um mês.

4.                 Ao atingirem a maturidade sexual, a fêmea irá dar à luz todos os meses.

5.                 A mãe irá dar todos os meses um coelho macho e um coelho fêmea.

6.                 Os coelhos nunca morrem.

Para resolução proponha que os alunos resolvam da maneira que acharem conveniente (desenho, cálculo, afins...).

Resposta:

O resultado da reprodução dos coelhos resulta em uma sequência, conforme segue.

Ao fim de um ano (12 meses) Fibonacci concluiu que:

Flores e a sequência de Fibonacci. Disponível em: http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/matematica_e_%20natureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html, acesso em 01 de abril de 2012.

Número de Ouro. Disponível em: http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/numeros_ouro/numeros_ouro.html, acesso em 01 de abril de 2012.

Pi – Série de Fibonacci. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/modules/debaser/singlefile.php?id=19775, acesso em 01 de abril de 2012.

Razão Áurea: A beleza de uma razão surpreendente. Disponível em: http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/md_rosania_maria_queiroz.pdf, acesso em 01 de abril de 2012.

A avaliação deverá ser realizada ao longo de todas as aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:

1. Desenvolvimento e socialização das atividades no grupo? Participou? Contribuiu com os colegas?

2.  Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas no laboratório de informática?  O aluno foi argumentativo? Sua produção no grupo foi pertinente?

3. Na produção textual, o aluno formulou conceitos?

4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar que tenham um portfólio para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.

Consideramos que o Portfólio tem sido um instrumento que compreende a compilação dos trabalhos realizados pelos estudantes. Inclui, registros de visitas, resenhas ou fichamentos de textos, projetos e relatórios de pesquisa e inclui principalmente ensaios auto reflexivos que, permitem aos alunos a discussão de como a experiência na disciplina está interferindo na sua formação. O Portfólio permite ainda uma maior interação aluno/professor, possibilitando que sugestões, dúvidas, aprofundamentos de assuntos, façam parte do processo ensino/aprendizagem.

O Portfólio pode ser desenvolvido em projetos individuais ou coletivos. Não deve ser confundido com uma pasta de trabalho onde o aluno vai guardar tudo o que fez, cronologicamente, ao longo de um período letivo ou curso. O seu valor do ponto de vista da auto avaliação é exatamente na seleção e organização do material que será incluído, assim como nos comentários e justificativas que o aluno vai apresentar para tal escolha.

Para saber mais sobre avaliação por portfólio ver:

Sá. Ilydio Pereira. Avaliação por Portfólio ou “nem só de provas vive a Escola”. Disponível em: http://magiadamatematica.com/uerj/licenciatura/05-portfolio1.pdf, acesso em 05/04/2012.

Sá. Ilydio Pereira. O uso do portfólio na avaliação da aprendizagem em Matemática. Disponível em: http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/a5.pdf, acesso em 05/04/2012.