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Matrizes e Determinantes

 

23/07/2012

Autor e Coautor(es)
IOZODARA TELMA BRANCO DE GEORGE
imagem do usuário

CURITIBA - PR SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO

Suelen Fernanda Machado

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Números e operações
Educação de Jovens e Adultos - 2º ciclo Matemática Estatística, probabilidade e combinatória
Ensino Médio Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

- Identificar e representar os diferentes tipos de matrizes e seus elementos.

- Conceituar matrizes e determinantes.

- Interpretar e resolver problemas que envolvam matrizes e determinantes.

Duração das atividades
3 aulas (50 minutos cada).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conhecimentos de matemática básica.

Estratégias e recursos da aula

Icone Videos

Prática social inicial

Apresente aos alunos o vídeo Cooperativa de Leite, disponível em: http://www.mais.mat.br/wiki/Cooperativa_de_leite ou http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17236. O vídeo propõe um problema, onde uma cooperativa de seis fazendas produtoras de leite decide construir um tanque de refrigeração para uso comum; assim, a questão chave é: Em qual das fazendas deve ser instalado o tanque?

 

 

 

Professor, apresente o vídeo aos alunos até mais ou menos 4 min 26 seg. Quando aparece a imagem do quadro a seguir:

coop_leite1

Fonte: Vídeo Cooperativa de Leite.

Na sequência, solicite que os grupos de alunos resolvam o problema em seus cadernos, indicando qual seria fazenda a ser instalada o tanque e o por que da escolha. O problema em questão admite várias soluções, pois há vários critérios para se decidir qual a melhor opção. Após a resolução, proponha uma rodada para que os grupos justifiquem suas respostas. 

Destaque que no vídeo, os cooperados decidem adotar como critério que o tanque seja instalado na fazenda que estiver no menor maior percurso, ou seja, dadas as distâncias que cada fazendeiro deverá percorrer para levar seu leite até o tanque, a fazenda escolhida será a que resultar uma menor distância entre as maiores distâncias percorrida pelos outros fazendeiros. 

Atividade 1

A seguir, solicite aos alunos que organizem no caderno uma tabela que represente as distâncias entre cada uma das fazendas. 
 
Resposta:
 
Sugestão de tabela:
Fazendas
A
B
C
D
E
F
A
0
5
11
14
12
15
B
5
0
6
9
14
10
C
11
6
0
3
8
4
D
14
9
3
0
5
2
E
12
14
8
5
0
7
F
15
10
4
2
7
0

A partir da tabela, abra questionamentos para que os alunos resolvam nos grupos e depois socializem com os demais. 

a) Se instalarmos o tanque na fazenda B, o fazendeiro que percorreria a maior distância seria?
- Conforme a segunda linha da tabela, seria o E com 14 Km. 
 
b) Se escolhermos a fazenda  A, o fazendeiro que percorreria a maior distância, seria?
- Conforme a primeira linha da tabela seria o F com 15 Km. 
 
c) E de acordo com o critério de maior distância percorrida e a menor possível? Qual a melhor opção? 
- A fazenda C seria a melhor opção. 
 
Após a realização desta atividade, apresente aos grupos o restante do vídeo. Discuta a segunda tabela apresentada no vídeo (fazendo comparação com a primeira tabela) a partir não apenas das distâncias entre as fazendas, mas também da quantidade de viagens que cada fazendeiro faria por dia. 
 
Fazendas A B C D E F
A 0 15 22 14 36 60
B 20 0 12 9 42 40
C 44 18 0 3 24 16
D 56 27 6 0 15 8
E 48 42 16 5 0 28
F 60 30 8 2 21 0

Explique aos alunos que esta nova matriz não é simétrica como era o primeira, conforme todos podem observar. E que para resolver este problema, é necessário apenas ler e interpretar os dados do problema e, nesse caso, a representação na forma de uma tabela foi muito útil. Que nos dois quadros, o que fizemos foi uma representação de matriz.

Atividade 2

Continuando ainda com o problema e se escolhêssemos outro critério para colocação do tanque. Se fosse instalado em uma das fazendas tal que a soma das distâncias que serão percorridas por todos os fazendeiros seja a menor. Este critério também pode ser apropriado se o custo do transporte for dividido entre todos os cooperados. Solicite que os grupos resolvam no caderno, podem se utilizar também de tabelas como foi feito no anterior. Após discutir as respostas encontradas pelos alunos, formalize:

Resposta:
 
Para resolver o problema não devemos mais olhar para os elementos individuais da matriz de distâncias a serem percorridas pelos fazendeiros, mas sim para a soma dos elementos de cada linha. Nesse caso, a resposta ao problema seria a fazenda C. 
 
Fazendas A B C D E F  
A 0 15 22 14 36 60 127
B 20 0 12 9 42 40 123
C 44 18 0 3 24 16 105
D 56 27 6 0 15 8 112
E 48 42 16 5 0 28 139
F 60 30 8 2 21 0 121

 

Professor, você pode elaborar outros critérios a partir do problema para resolver com os alunos. Também pode explorar outros conceitos que aparecem no vídeo, de acordo com a pertinência.

Explicando
Na sequência encaminhe...
 
As Matrizes não são conceitos que encontramos apenas quando estudamos Matemática, mas que estão presentes na engenharia, informática, tabelas financeiras etc. Em uma Matriz, cada um dos seus elementos tem dois índices ( ai j). O índice i indica a linha e o   j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem, chama-se dimensão da matriz. A matriz  pode ter m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão m x n (m por n) e a representamos por A = (ai j) m x n.  Quando o número de linhas é igual ao número de colunas dizemos que a matriz é de ordem n  e a chamamos de matriz quadrada. 
 
matriz
A importância dos índices da linha i e coluna j são fundamentais para localizarmos a posição dos números em uma matriz.  
 

Atividade 3

a) Com os grupos de alunos reunidos no laboratório de informática, propor o gerador de matrizes disponível em: http://www.igm.mat.br/mpd/a_linear/mpd1.htm

 
gerador de matrizes
 
Permita que os alunos "brinquem" com o gerador, alterando o número de linhas e de colunas (dimensão da matriz). Utilizando os botões de número de linhas e de número de colunas, os alunos vão conseguir identificar cada elemento da matriz.  Ao clicar no botão Nova Matriz obterão uma nova matriz conservando o número de linhas e colunas da anterior. Com o botão Tipo de Matriz podem observar a classificação de algumas matrizes atendendo a sua forma.
Professor, você pode sugerir alguns modelos de matriz para que os alunos criem, assim como os grupos podem indicar aos demais grupos. Identificando a dimensão e classificação das matrizes geradas. Assim como, pode ser indicado dimensão e classificação e os grupos gerarem a matriz a partir desses dados.
 
Podemos classificar as matrizes em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e dos elementos que a formam. Identificar os tipos de matrizes irá facilitar aos alunos os cálculos matemáticos e os conhecimentos de suas propriedades. São de especiais interesse a classe das matrizes quadradas, e nesta classe, alguns tipos particulares.
 
A figura a seguir apresenta uma Matriz Triangular Superior A (os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) com Dim A = 4 x 4, elemento a 12 = 30 (localizado na linha 1 e na coluna 2). 
matriz1
 

b) Identifique a dimensão das seguintes matrizes:

atividades

Resposta:

A) Matriz 1 X 3

B) Matriz 3 X 2

C) Matriz 2 X 2

D) Matriz 3 X 4

 

c) Considerando a Matriz B do exercício anterior, identificar os elementos a11, a12, a21, a32:

Resposta:

a11 =  3

a12 = -7

a21 = 1/2

a32 = 4

Atividade 4

a) Após a explicação, propor aos alunos o simulador disponível em http://www.igm.mat.br/mpd/a_linear/mpd2.htm, que permite aos alunos manipular e observar as características de algumas matrizes quadradas, fazer exercícios para fixar as definições e estudar suas propriedades. Por meios do simulador os alunos podem escolha a ordem e o tipo da matriz, bem como identificar cada elemento, selecionar a linha ( i ) e a coluna ( j ). Da mesma forma do exercício anterior, o professor pode indicar algumas matrizes para os grupos gerarem, assim como os grupos para os demais colegas, buscando identificar a ordem, dimensão e elementos de acordo com a linha e coluna.
 
 
matriz2
 
 
 

b) Escrever a matriz A = (a ij ) 2X3, em que a ij = i - j.

 
Resposta:
 
Uma matriz do 2 X 3 pode ser genericamente representada por  A= 
matriz3
Porém, utilizando a regra proposta para os elementos desta matriz, teremos:

a11 =  1-1 =  0            a12 =  1-2 = -1        a13 =  1-3 = -2

a21 =  2-1 =  1            a22 =  2-2 =  0         a23 =  2-3 = -1

Assim,

 
matriz4

Atividade 5

As matrizes de ordem quadradas (2 x 2, 3 x 3, 4 x 4...), são chamadas Determinantes e possuem regras específica para resolução. Para explicar essa relação aos alunos, propor a simulação Cálculo do determinante de uma matriz pela regra de Sarrus, disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17441. Tal animação apresenta dois métodos de resolução, a partir da regra de Sarrus, para o cálculo de determinantes de ordem 3.
 
 
 
Com base na animação, propor aos grupos de alunos que elaborem uma matriz quadrada e as resolvam pelos métodos apresentados na simulação. Após o desenvolvimento da atividade, o professor pode propor uma rodada de apresentação das matrizes criadas, bem como a resolução.
 
Ao final da aula, o professor deverá discutir com os alunos, sobre as atividades propostas desde o início da aula. Indagando se ficou clara a questão do conceito de matriz e determinante, identificação dos seus elementos e que todas as atividades tiveram por objetivo apresentar noções sobre esses dois conteúdos.
 
É importante que o professor observe os cadernos dos grupos de alunos, discutindo as estratégias de solução dos exercícios adotados pelos grupos, bem como as dificuldades encontradas por eles para a realização dos mesmos, dando ênfase aos objetivos da aula, resultados, informações complementares, etc.
Recursos Educacionais
Nome Tipo
Cálculo del determinante de una matriz por la regla de Sarrus Animação/simulação
Cooperativa de leite Vídeo
Recursos Complementares

Que a força esteja com você. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1166, aceso em 16 de julho de 2012.

Mensagens secretas com matrizes. Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1020, acesso em 16 de julho de 2012.

Vídeo-aula sobre Matrizes e Determinanteshttp://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2008http://video.impa.br/index.php?page=julho-de-2006http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2002, acesso em 16 de julho de 2012.

Avaliação

 

A avaliação deverá ser realizada ao longo das aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:

1. Desenvolvimento e socialização no grupo na resolução atividade inicial. Se concentrou no desenvolvimento das atividades? Contribuiu na discussão posterior?

2. No desenvolvimento da atividade no laboratório de informática?  O aluno foi argumentativo? Sua produção no grupo foi pertinente?

3. Na realização das atividades complementares, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas.

4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.

Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos alunos é sempre solicitar aos alunos que realizem anotações no caderno referente ao contexto da aula para registro de suas aprendizagens. Que diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.

Opinião de quem acessou

Quatro estrelas 7 classificações

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