- Definir funções trigonométricas e conhecer a importância de sua utilização;

- Compreender o papel das constantes envolvidas no cálculo da função trigonométrica;

- Modelar fenômenos através das funções trigonométricas.

- Definição de seno e cosseno;

- Círculo trigonométrico.

ATIVIDADE 1: CONHECENDO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Essa atividade ocorrerá na sala de aula ou sala de vídeo, ou ainda no Laboratório de Informática Educativa (LIE), conforme as condições da escola.

1.1. Apresentando o tema da aula: com o intuito de introduzir o tema da aula, o professor deverá exibir aos seus alunos o vídeo “Desenhando Ondas”, disponível no seguinte endereço: http://www.youtube.com/watch?v=YI5isg4p1Wc. Este vídeo mostra funções periódicas em um contexto musical. Os alunos deverão observar, principalmente: o “comportamento” de uma função periódica, como também o seu período e frequência.

1.2. Debate: o professor deverá discutir com seus alunos o vídeo apresentado e perguntar se eles podem dar exemplos de outros fenômenos periódicos. O docente poderá auxiliar os alunos nessa etapa, enumerando alguns fenômenos, tais como a altura das marés durante o dia, a pressão arterial, o movimento de um pêndulo, as fases da lua, etc. (ver recursos complementares).

1.3. Aprofundamento: o professor irá introduzir os conceitos de funções trigonométricas, neste caso, a função seno e a função cosseno. O docente deverá abordar, principalmente, os conceitos de período, imagem e amplitude.

ATIVIDADE 2: O PAPEL DAS CONSTANTES EM  FUNÇÕES PERIÓDICAS
 

PREPARAÇÃO DO AMBIENTE

Essa aula deverá ocorrer no laboratório de informática educativa (LIE). Os recursos utilizados serão folhas de papel, lápis e o software GeoGebra, disponível no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do seguinte endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17984.

Geogebra.Br 

Recomenda-se que o professor, estabeleça juntamente com os alunos algumas regras para o desenvolvimento dessa atividade:

- Participação na atividade;

- A turma será dividida em duplas;

- Respeitar a opinião do colega.

DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE

ETAPA1: CONSTRUINDO A FUNÇÃO

Cada dupla deverá iniciar o software GeoGebra e realizar os seguintes passos:

1)      Clicar no botão Seletor, que é representado pelo ícone;

2)      Clicar com o mouse na janela de visualização;

3)      Clicar no botão “aplicar” da janela que foi aberta;

4)      Repetir os passos 2) e 3) mais três vezes, assim,várias barras de rolagens foram criadas, estas serão úteis para o estudo da variação da função seno;

5)      Digitar a seguinte fórmula na barra de entrada: “f(x)=a+b*sin(c*x+d)” , ou seja, 

.

Neste momento os alunos estarão visualizando a seguinte imagem:

IMAGEM 1 – Função no GeoGebra

Fonte: Criação do autor

ETAPA 2: ESTUDANDO AS CONSTANTES

Com o software ainda aberto, o professor deverá solicitar que os alunos realizem os seguintes passos:

A)    Clicar no botão “Mover”, representado pelo ícone ;

B)    Em seguida, variar as constantes a, b, c e d que estão presentes nas respectivas barras de rolagem;

C)    Solicitar que os alunos associem os parâmetros a, b, c e d com suas respectivas ações sobre a função seno, escrevendo em uma folha de papel os valores ou características relacionados aos seguintes aspectos:

- Período da função;

- Amplitude da curva (altura da curva);

- Deslocamento vertical da curva;

- Deslocamento horizontal da curva.Observação: a amplitude de uma função trigonométrica pode ser calculada de forma mais geral da seguinte maneira:

MOMENTO DO ALUNO:

Neste momento, os alunos buscarão realizar a atividade proposta.

DISCUSSÃO:

As duplas irão comparar seus resultados, buscando associar os movimentos realizados no software com os valores obtidos. Após essa comparação, com o intuito de estimular uma discussão sobre este tipo de função com seus alunos, o professor deverá propor as seguintes questões:

1.   Qual a imagem da função obtida?

2.   O que acontece se a, b, c, ou d forem nulos? Em algum desses casos, ainda temos uma função trigonométrica?

SISTEMATIZAÇÃO:

O professor deverá solicitar aos alunos a realização das ações propostas nas etapas anteriores dessa atividade, só que, agora, utilizando o cosseno ao invés do seno, comparando as duas funções. Nesse caso, os alunos deverão inserir a seguinte fórmula na barra de entrada: “f(x)=a+b*cos(c*x+d)”, ou seja, . Após a análise dessas funções, o docente deverá propor o seguinte questionamento para os alunos: “Podemos descrever a mesma curva com uma função que utiliza seno e outra que utiliza o cosseno?”. Espera-se que os alunos utilizem o GeoGebra e variem o valor das constantes para perceberem que a mesma curva pode ser representada por duas funções distintas.

ATIVIDADE 3: ESTUDANDO FENÔMENOS PERIÓDICOS

Após a conclusão das atividades 1 e 2, será abordada a modelagem de fenômenos periódicos. Para isso, o docente deverá resolver, juntamente com seus alunos, o seguinte problema:

Um estudante de oceanografia decidiu descobrir a função que modela a altura da maré em certa praia, para isso, ele se utilizou dos instrumentos de medição necessários e anotou os seguintes resultados:

·         As marés altas ocorriam às 0h e às 12h com altura de 0,8m.

·         As marés baixas ocorriam às 6h e às 18h com altura de 0,2 m.

Baseado nesses dados, qual a função trigonométrica que modela a altura das marés?

Os seguintes passos deverão orientar o processo de modelagem:

1)      Escolher a função seno ou cosseno

Notar que a escolha da função cosseno é mais adequada, pois o valor máximo da função ocorrerá no ponto x=0. Logo, será escolhida a função do tipo .

2)      Calcular a amplitude da função.

Será calculada da seguinte forma:

Portanto, .

3)      Calcular o período:

Notar que às 0h a altura da maré era 0,8 m e volta a essa altura às 12h, e assim, a cada 12h a maré volta à altura de 0,8 m. Lembrando que o período da função cosseno é dado por:

Temos , logo .

3.1  Substituindo os valores encontrados para b e c em    tem-se:

 Como  é um valor máximo e , então devemos escolher . Assim,

3.2  Às 0h a altura da maré era de 0,8m, ou seja, , substituindo esses valores na função, tem-se:

4)      Escrever a função que modela o fenômeno:

No exemplo em questão, a função que modela a altura da maré em determinada hora do dia será:

Segue abaixo o gráfico dessa função:

IMAGEM 2 – Função modeladora das marés

Fonte: Criação do autor

Após a modelagem da situação proposta, os alunos deverão se reunir em grupos (quantidade de alunos a ser definida pelo professor) e modelar um fenômeno periódico observado na escola ou no bairro, por exemplo, o comprimento da sombra de um objeto no decorrer do dia. Os alunos deverão seguir o roteiro acima e modelar este fenômeno, e os resultados da atividade deverão ser apresentados em sala de aula. Os outros alunos, como também o professor, deverão avaliar a situação encontrada pelo proponente e verificar a existência de possibilidades alternativas de análise do fenômeno.

RECURSOS COMPLEMENTARES:

Sugestão de links para alunos:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15898 (Atividade3) (acessado em 05/07/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=21944 (Nesse endereço o aluno poderá explorar as função seno) (Acessado em 07/11/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=38216 (Nesse endereço o aluno poderá explorar as função cosseno) (Acessado em 07/11/2012)

Sugestão de links para professores:

http://www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo0910200706.htm (Nesse endereço o professor irá encontrar um exemplo da aplicação da função trigonométrica na pressão sanguínea) (Acessado em 05/07/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35359 (Nesse endereço o professor poderá entender melhor o uso das funções trigonométricas no cotidiano) (Acesso 08/11/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=35360 (Nesse endereço o professor poderá entender melhor o uso das funções trigonométricas no cotidiano) (Acesso 08/11/2012)

Links do portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32908 (Nesse endereço o professor encontrará um software que aborda o assunto desta aula) (Acessado em 08/11/2012)

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=32867 (Nesse endereço o professor poderá encontrar mais uma aplicação para o uso das funções trigonométricas) (Acessado em 08/11/2012)

Na atividade 1, o professor poderá verificar se os alunos compreenderam a definição e importância do uso das funções trigonométricas para descrever fenômenos periódicos a partir dos exemplos enunciados pelos discentes. Na atividade 2, o docente poderá averiguar se os alunos entenderam o papel das constantes na função a partir das análises baseadas nas simulações de troca de valores, como também das opiniões emitidas no momento da discussão. Na atividade 3, o professor deverá verificar se os alunos compreenderam o processo de modelagem de um fenômeno a partir do seu desempenho na realização das ações propostas no roteiro para  esse processo, como também, na indicação e análise das situações determinadas por eles mesmos para um processo de modelagem.