13/08/2009
Pedro Malagutti
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Fundamental Final | Matemática | Grandezas e medidas |
Ensino Fundamental Final | Matemática | Espaço e forma |
Associar a medida de área com a ideia de comparação. Compreender a fórmula (base x altura)/2 para o cálculo da área do triângulo.
Figuras planas básicas: retângulos, trapézios e triângulos. Conceito de área.
“O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e
é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com
noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o
aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc.” (PCN- 1998).
O cálculo de área de figuras planas corresponde a uma parte importante na geometria, principalmente por ser útil na descrição, representação e previsão quando modela um problema real. É sabido que qualquer polígono pode ser dividido em triângulos, ou seja, para obter a área de uma figura plana delimitada por uma linha poligonal fechada basta saber calcular a área dos triângulos nos quais ela foi subdividida.
Portanto área de triângulos é um assunto de extrema importância e utilidade!
Porém desde muito cedo ela é incorporada pelos estudantes como apenas uma fórmula sem explicações ou justificativas. Com essa atividade esperamos atribuir algum significado para tal conteúdo.
Qual é a área deste terreno?
Quanto papel preciso para encapar meu caderno?
Quantas pessoas por metro quadrado podem ocupar uma casa de show para que uma evacuação de emergência seja feita com segurança?
Estes são apenas alguns exemplos de situações que não se resolveriam sem o cálculo de alguma área. Pergunte se seus alunos conseguem pensar em outros!
Professor, converse com a classe e leve-os a concluir que qualquer polígono pode ser subdividido em triângulos. Mas que isso não garante que saibamos sua área, já que nem sempre é possível obter base a altura desses triângulos.
Questione-os sobre a origem dessa fórmula, (base x altura) / 2, de cálculo da área do triângulo e se eles conhecem outras maniras para o cálculo da área de triângulos.
Antes de iniciar esta atividade sugerimos que o professor certifique-se de que a classe tenha noções básicas sobre área de figuras planas.
Uma ideia interessante é enfatizar a noção de comparação. Isto é, quando queremos medir um segmento de reta desenhado no caderno devemos compará-lo com uma régua! Este instrumento está marcado com a unidade de medida mais comum para tais situações, o centímetro.
Quando queremos saber a área de uma figura devemos proceder de maneira análoga, isto é, por comparação e a unidade mais usada nesses casos é o centímetro quadrado (cm²), que é representado por um quadrado de lado 1cm.
Ou seja, medir a área de uma figura plana é descobrir quantos quadrados de 1cm X 1cm cabem dentro dessa figura.
Quando tratamos de retângulos com medidas inteiras de lados esta comparação é muito simples. Observe o retângulo 2cm X 3cm representado abaixo. É fácil ver que cabem exatamente 6 quadrado 1cm X 1cm dentro dele.
Figura 1
Nesse caso obtemos que A = base x altura.
Mesmo que as medidas dos lados sejam números fracionários, podemos obter a mesma relação. Imagine um quadrado de lado 4/3. Para fazer a comparação desejada subdividimos o quadrado 1cm X 1cm em 9 partes. Ou seja, cada parte tem 1/9 da unidade de área. Então, dividindo o quadrado de lado 4/3 em partes de 1/3 de lado obtemos um total de 16 partes e assim uma área de 16/9 cm². Que é equivalente a fazermos (4/3)².
Figura 2
Figura 2
Depois de argumentar sobre a fórmula para obter a área de retângulos com medidas dos lados inteiros e racionais, não compromete a compreensão dos alunos afirmar que será igualmente válido para valores irracionais.
Portanto fica esclarecido que a área de qualquer retângulo é dada por (base x altura).
Materiais extras:
tesoura;
régua;
folha de sulfite;
O próximo passo é de extrema importância para compreensão da fórmula (base x altura)/2 para a área do triângulo.
Coloque os alunos em grupos de dois ou três e peça que eles desenhem trapézios em uma folha de sulfite. Sugira que sejam feitos trapézios pequenos para que em uma folha sirva para a confecção de vários desse quadriláteros. Os estudantes devem anotar as medidas dos lados de cada trapézio.
Usando a tesoura, os grupos devem sugerir formas de recortar os trapézios para que um reposicionamento das peças obtidas forme um retângulo de mesma área. Atente os grupos para o fato de recortar não muda a área da figura.
A ilustração abaixo mostra o que os estudantes devem obter. A partir do trapézio ABCD, recortando o triângulo HLG e reposicionando-o em JIF, obtemos o retângulo HIFE.
Figura 3
Além disso a área do retângulo HIFE é dado pela fórm ula já vista com base = EF = AD e altura = HE.
Ao final desta parte peça para que eles construam uma tabela com os valores dos lados e da área de cada trapézio construído.
Lado1 / Lado 2 | Altura | Área |
Quando todos os grupos concluírem sobre a área do trapézio, distribua outra folha de sulfite. Agora os grupos deverão recortar triângulos. Porém, antes de começar a desenhar peça que eles dobrem a folha ao meio. Esta dobra permitirá que sejam obtidos sempre dois triângulos congruentes.
Com cada par de triângulos congruentes os grupos devem tentar obter figuras das quais eles já saibam calcular a área, isto é retângulos ou trapézios.
Figra 4
Os lados dos triângulos recortados devem ser medidos e registrados numa tabela:
Lado 1 | Lado 2 | Lado 3 | Base do Trapézio | Altura do Trapézio | Área do Triângulo |
As últimas colunas da tabela serão preenchidas depois que os grupos terminarem de montar suas figuras! (trapézios e retângulos).
Com toda a classe conclua que: COM 2 TRIÂNGULO CONGRUENTES PODEMOS FORMAR UM TRAPÉZIO E OBTER SUA ÁREA, O QUE PERMITE TAMBÉM CALCULAR A ÁREA DOS TRIÂNGULOS, BASTA DIVIDIR O RESULTADO POR 2!
Assim, área do triângulo = (base x altura)/2
Para o professor que tiver oportunidade sugerimos levar os estudantes na sala de informática e utilizar um objeto educacional do Banco Internacional. Este objeto é uma ferramenta dinâmica que permite a visualização dos conceitos já estudados nas partes anteriores. Ele servirá para fixar o conteúdo estudado!
Acesse este objeto pelo link ao lado, Área do triângulo como metade da área do retângulo
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5136
Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais – MathematicaPlayer
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737
Os vértices ABC formam o triângulo, e os vértices BCDE formam o retângulo. Os pontos móveis são o A - na vertical - e o C - na horizontal. A base varia de 0,1 até 1 e a altura (altitude) de 0,2 até 1,4.
Professor, mesmo que seus alunos já conheçam a fórmula para cálculo da área de triângulos eles tirarão proveito desta atividade. Pois ela fornece uma visão geral do significado da fórmula.
Sugestão:
Quadrado e triângulo retângulo
Um caso onde é extremamente fácil ver a relação entre as áreas é quando temos um quadrado e um triângulo retângulo inscrito.
Posicione o vértice A do triângulo sobre o vértice E (ou D) do retângulo e forme um quadrado.
Figura 5
- Em quantas partes o segmento AC divide o quadrado?
- Mova o ponto A de D para E (de E para D). Comente
- Por que a área do triângulo não varia?
Retângulo e triângulo retângulo
Figura 6
Posicione o vértice A do triângulo sobre o vértice E (ou D) do retângulo e forme um retângulo.
- Qual é a relação entre as áreas?
Retângulo e triângulo qualquer
Figura 7
- Posicione o ponto A fora do retângulo.
- Sem alterar a altura do retângulo, mova o ponto A. A área do triângulo muda? Por quê?
Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas: 7ª série e 8ª série
http://www.obmep.org.br/banco_de_questoes.html – site da OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, banco de questões
Temas e Problemas Elementares – Elon Lages Lima, Paulo Cezar P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado – Coleção do Professor de Matemática – SBM
http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=tex&cod=_areadeumtriangulo
Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório com os novos conceitos aprendidos, ou seja, com as justificativas das fórmulas de área de retângulos, trapézios e triângulos.
As tabelas também são um forte indicativo do trabalho dos grupos, eles podem montar, em uma cartolina, um quadro explicativo, com as figuras recortadas e remontadas ao lado das tabelas com as medidas!
Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas das questões sugeridas.
Quatro estrelas 3 classificações
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08/10/2010
Quatro estrelasGosto dessa maneira de explicar área, pois quando se desmonstra uma fórmula o aluno entende melhor e não precisa decorar .
24/03/2010
Cinco estrelasAchei a aula super interessante. Com certeza vai me ajudar a realizar uma aula muito boa com meus alunos. Parabéns Rita, abraços, Gildeth
24/03/2010
Cinco estrelasuma aula de fácil entendimento para nossos alunos e de uma excelente qualidade