A fim de desenvolver as competências da área 1 da matriz do ENEM, que é construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais, identificando padrões numéricos ou princípios de contagem (H2) são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

• Relacionar um número racional em suas diferentes formas (inteira, decimal, fração, potência e raiz);
• compreender os números negativos como números opostos em relação aos positivos, seja numa situação social ou na reta numérica;
• identificar as posições dos números na reta numérica classificando-os em ordem crescente ou decrescente, considerando os conceitos de antecessor e sucessor;
• considerar o zero como valor relativo, servindo de referência para organizar e comparar números positivos e negativos;
• desenvolver o conceito de módulo ou valor absoluto.

Representação dos números racionais nas suas diferentes formas: inteiro, decimal, fração, potência e raiz.

Considerações iniciais

Professor, quando os alunos recorrem à reta numérica como instrumento para resolver ou ajudar a pensar alguma questão é comum observarmos uma série de conhecimentos importantes não consolidados. Como exemplos, podemos citar: a percepção do zero como valor relativo; a determinação da ordem dos números negativos e a compreensão da não existência do maior ou do menor número positivo ou negativo; a comparação de dois números determinando o maior e o menor, em especial entre dois números negativos; a adoção de uma escala de medida entre uma unidade e outra; a compreensão de que cada abscissa tem o seu lugar definido na reta numérica, mesmo que não esteja expresso e a compreensão de que entre uma abscissa e outra existem infinitos números. Além disso, percebemos pela prática, que alunos apresentam dificuldades em perceber e relacionar os números nas suas diferentes formas, ou seja, que um número natural pode ser expresso na forma decimal e também na forma de fração, e que uma ou outra forma é conveniente dependendo do contexto em que se apresentam. Assim, propomos utilizar como estratégia o “varal dos números racionais” ou, como os alunos de uma turma de 7º ano bem o renomeou, “varal dos opostos, para trabalhar esse conjunto de conhecimentos estabelecendo uma relação entre eles. Esta atividade foi adaptada do livro “Jogando com a Matemática”, escrito por LARA (2003, p. 74).

Primeiro momento: atividade prévia

Antes de descrevermos os recursos materiais e apresentarmos uma maneira possível para o desenvolvimento da atividade, orientamos que convém ao professor fazer uma reflexão prévia com os alunos, tendo como contexto diferentes situações do cotidiano, a fim de se destacar os dois sentidos que se opõem em cada situação. Por exemplo, numa situação financeira, podemos ter ou dever dinheiro; numa situação de deslocamento na direção horizontal podemos seguir sentido à direita ou à esquerda; em deslocamento cuja direção é a vertical, podemos nos referir aos sentidos de baixo para cima ou de cima para baixo (ou abaixo do nível do mar e acima do nível do mar); numa situação de jogo, destaca-se os sentidos de ganhar ou perder pontos; entre outras situações que os alunos podem trazer como situação de temperatura, abaixo e acima de zero graus Celsius.

Dessa forma, podemos perguntar aos alunos:

_ Como o ser humano resolveu esse problema para diferenciar os dois sentidos que se opõem nas situações sociais apresentadas, entre outras existentes?

Espera-se que apresentem como respostas a criação do sinal ( - ), compreendendo que um número negativo é o oposto de número positivo. Dessa forma, o sinal de menos ganha um sentido, bem como a existência dos números. Assim, os números são tecnologias criadas para atender uma necessidade e ajuda a responder situações que se opõe. Isto é, facilita a vida em sociedade.

Continuando o trabalho, outra pergunta pode vir em seguida:

_ Qual é o ponto de referência que nos permite identificar quando passamos de um sentido para outro numa situação?

Comentário: Espera-se que percebam que para passar de um sentido a outro é preciso considerar o zero. Assim, o zero além de valor absoluto também passa a assumir a condição de valor relativo. Em outras palavras, é ponto de referência e não ausência de quantidade.

Comentário: Para ilustrar a importância do zero como referência entre os dois sentidos o professor pode trazer uma situação financeira, semelhante a exemplificada a seguir:

_ Imagine-se na seguinte situação: você tem R$20,00. Gasta R$5,00 com transporte para ir ao colégio, R$7,00 com lanche, R$8,00 com a compra de um material escolar e mais R$5,00 com o transporte da volta. Quantos reais você tem?

Comentário: Observe que o problema começou com o pronome pessoal “você”. Essa iniciativa tem o propósito de fazer com que o aluno se coloque na situação.

Fica fácil o aluno perceber que a quantidade de dinheiro disponível não foi suficiente. Contudo, a resposta não é tão simples quanto parece. Alguns podem dizer que não é possível responder esta questão, ou que não é possível fazer tudo o que precisa, sendo obrigado a abrir mão de alguma coisa. Ou, então, que precisaria pegar dinheiro emprestado para voltar para casa. Contudo, as respostas não respondem a pergunta feita.

Esta situação simula um problema historicamente enfrentado, antes de criarem e até mesmo aceitarem os números negativos, como ampliação do conjunto numérico até então existente. Para destacar a passagem da condição de ter dinheiro para a de dever dê continuidade à questão, problematizando:

_ Se um colega lhe arruma o dinheiro emprestado, apenas para cobrir as despesas, como podemos expressar por escrito essa situação?

Não será difícil os alunos concluírem que ficarão devendo. Assim, espera-se como resposta que: utiliza-se o sinal (-) para indicar que está devendo o colega. Ou seja: -R$5,00. Enquanto que, o colega que emprestou o dinheiro tem um crédito que pode ser indicado por +R$5,00. Por fim, não deixe de perguntar:

_ Qual é a referência para sabermos nesta situação, quando temos ou quando devemos dinheiro?

Espera-se que associem ao fato de que isso somente é possível quando o dinheiro acaba, quando podemos representar essa situação com o zero. Assim, além de valor absoluto também assume a função de valor relativo.

Realizada esta etapa, os alunos terão melhores condições de desenvolver a atividade e consolidar outros conhecimentos que o varal dos números favorece.

Recursos materiais

Para o varal o professor pode utilizar um barbante. Certifique-se o tamanho necessário e o lugar na sala de aula em que este pode ser amarrado.

Com relação aos números, que serão presos ao varal, pode-se usar cartolinas fazendo fichas ou cartões com tamanho aproximado de 6 x 4cm. Para viabilizar a atividade sugiro que o maior e o menor número escrito, sejam, respectivamente, o 5 e o –5. Escreva números diversos utilizando diferentes cores de cartolina dependendo da forma em que o número se apresenta, por exemplo, branco para os inteiros, amarelo para os decimais e frações, verde para as potências e raízes. Utilize pincel atômico para destacar os numerais nos cartões.

Observação: Procure fazer pelo menos dois cartões para cada aluno, na expectativa de que todos possam participar da atividade, além de auxiliar um colega, colocando pelo menos um número no varal. É provável que não sejam colocados todos os cartões no varal, e que estes, com certa frequência necessitem ser reposicionados. Isto acontece devido a escala inicialmente escolhida pelos alunos e pelos números racionais não inteiros que precisam ser inseridos entre os inteiros. Sobre isso, entraremos em detalhes mais adiante. Acreditamos que é conveniente o professor simular a atividade antes de ir para a sala de aula.

Para prender os cartões no varal, utilize prendedores de roupas. Também adote uma cor para os positivos e outra para os negativos. É interessante deixar um prendedor diferente para o zero.

Segundo momento: a atividade “o varal dos números racionais”

Na sala de aula converse com os alunos sobre a atividade, deixando claro que o objetivo é montar o varal, com os cartões, observando as posições corretas dos diferentes números. Avise-os que a atividade é coletiva e que a organização facilita o trabalho em grupo. A figura abaixo (figura 1) ilustra momentos de alunos trabalhando na construção do varal dos números e pode servir de referência para o professor acompanhar a descrição da aula proposta. À medida que o varal vai ganhando números, a necessidade de organizar as posições incentiva os alunos a se interagirem levando-os a trabalharem de forma coletiva no varal.

Figura 1: registro de uma atividade do varal dos números sendo construído por alunos do 7º ano e de algumas questões na lousa ilustrando a interação dos alunos e riqueza de possibilidades que esta atividade permite.

Fonte: autor.

 Para iniciar a atividade, distribua dois cartões para cada aluno.

Comentário: É importante que o professor perceba a reação dos alunos quando receberem os números. Pode ser que surja algum estranhamento quanto ao valor ou a forma de um número, como, por exemplo, de uma potência ou de uma raiz, o que pode suscitar a necessidade de se rever algum conteúdo.

Em seguida, pergunte aos alunos:

_Quem gostaria de começar a atividade? Ou melhor, por onde começar a atividade?

Diante da iniciativa pergunte:

_ Por quê?

Estes questionamentos servem para os alunos buscarem uma estratégia na hora de distribuir os números.

Caso não surja a observação de iniciar pelo zero, o professor pode questionar:

_ Existe um caminho ou estratégia que ajuda a posicionar os números no varal?

Comentário: Normalmente os alunos manifestam a alternativa de, mesmo sem considerar o conceito, colocar o zero no ponto médio do cordão. Afinal, buscando utilizar termos apresentados pelos próprios alunos, o zero é o “ponto de referência”, ou, “é fronteira entre os positivos e os negativos”. Busque a justificativa dos alunos para esta ou outra indicação.

A fim de continuar a atividade e garantir a reflexão sobre o que fazer, o professor pode perguntar:

_ Depois do zero, qual número é estratégico para colocarmos no varal?

Comentário: É verdade que não há uma regra para o próximo número. No entanto, o número um é interessante, pois, com ele, é possível destacar a escala utilizada entre um inteiro e outro.

                Com a inserção do número um, o professor pode questionar:

_ Qual é a relação entre o +1 e o -1?

Espera-se que reconheçam que o -1 é o oposto de +1. Dessa forma, confirme que cada número positivo apresenta um número que é o seu oposto. Isto é importante, pois, normalmente, os alunos, tanto no desenho de uma reta numérica quanto na atividade do varal não se preocupam com a distância padrão entre uma unidade e outra, ou seja, não observam um padrão de distância entre uma abscissa até o zero. Dessa forma, o professor pode trabalhar ou resgatar o conceito de módulo ou valor absoluto e combinar, com os alunos, o seguinte: para cada número colocado, o próximo será o seu oposto, sempre observando as distâncias até a origem (zero). Assim, o professor pode questionar:

_ Se o +1 é colocado, por exemplo, a um palmo de distância à direita do zero, qual deve ser a posição do seu oposto no varal?

_ Se o número +4,5 é colocado a 9 cm de distância em relação ao zero, qual deve ser a distância do seu oposto?

Padrão de resposta esperada: A distância precisa ser a mesma, o que ajuda o aluno a perceber a noção de módulo, de abscissa e assim, observar que cada número tem a sua posição definida na reta, e que: a) esta depende da unidade de medida escolhida como padrão; b) um número pode não estar expresso na reta, mas o seu lugar precisa ser considerado e reservado. Isso é necessário para adquirir segurança em organizar os números, em especial os negativos, na reta numérica.

Comentário: Os alunos podem manifestar dúvidas em relação à posição dos números positivos e negativos, quanto à questão de ficarem a esquerda ou a direita do zero. Essa é uma boa oportunidade para o professor abrir uma discussão sobre convenção matemática e definir com os alunos o acordo de representar no varal ou numa reta com direção horizontal, os números positivos à direita e os negativos à esquerda do zero. E também, numa reta com direção vertical, os números negativos abaixo de zero e os números positivos acima de zero.

Comentário: No momento da distribuição dos números negativos os alunos podem, a partir do zero, sentido à esquerda, posicioná-los começando por aquele que apresenta maior módulo (figura2).

Figura 2: Situação ilustrando uma forma equivocada de expressar os números negativos na reta numérica.

Fonte: autor.

Um motivo possível para esse equívoco pode ser a forma como visualiza a descrição dos positivos 0, 1, 2, 3, ..., assim, pensa que o correto é -1, -2, -3, .... Independente, se esta situação ocorrer, ou não, fomente a seguinte discussão entre a classe:

“_Dos números colocados no varal qual é o menor? E qual é o maior?” Entre os números positivos, tomando como referência o zero, qual é o menor? E qual é o maior? Normalmente, no caso dos positivos associam que o menor é o que está mais próximo do zero e o maior é o que está mais distante do zero.

Contudo, os alunos podem apresentar algumas dúvidas quando:

a)      os números forem negativos.

b)      for um número decimal ou fração.

c)       o número estiver na forma de potência ou raiz.

Com relação aos números negativos, questione:

Dos números negativos expostos no varal, qual deles é maior? E qual deles é o menor? Buscando o sentido do que se fala e do que se ouve, o professor pode perguntar: se nos positivos o número é maior quanto mais afastado estiver do zero, e nos negativos que são os opostos dos positivos?

Espera-se que eles associem o sentido do termo oposto para concluir que se o negativo é o sentido oposto do positivo, portanto, quanto mais distante do zero o número negativo estiver, menor ele é. Resumindo: se no sentido positivo o número tem maior valor quanto mais distante do zero estiver, no negativo é o oposto, terá menor valor. Assim, enquanto um número positivo tem menor valor por estar mais próximo do zero, nos negativos é o oposto, terá maior valor quanto mais próximo estiver do zero.

Comentário: Novamente o professor pode recorrer a situações sociais para, por meio dos sentidos, ilustrar estas relações. Assim, numa situação de temperatura, o professor pode concluir com os alunos que: na parte positiva do termômetro, quanto mais longe de zero grau a temperatura estiver mais alta ela está. Já na parte negativa, quanto mais longe de zero grau ela estiver, mais baixa está a temperatura.

Entendido a particularidade dos negativos em relação aos positivos, o professor pode retomar a leitura dos números decimais ou frações, recordando que toda fração é uma divisão que gera um número decimal (no caso das próprias e impróprias), ou um número inteiro - que também pode ser escrito na forma decimal – (no caso das frações aparentes). O fato é que, o resultado de uma divisão, dependendo do numerador, pode gerar um decimal com parte inteira igual ou diferente de zero, o que nos serve de referência, juntamente com o sinal (+) ou (-) para saber o lugar desse número na reta ou no varal. Dessa forma, o professor pode aproveitar para recordar como expressar por escrito e verbalmente um número decimal e um número fracionário equivalente.

A atividade também favorece ao professor retomar os conceitos de potência e raiz (quadrada e cúbica) de um número, ressaltando o conceito de operação inversa. Assim, além de recordar estes conceitos, os alunos poderão fazer a leitura de uma raiz quadrada ou cúbica, como a operação inversa de uma potência (com expoentes 2 e 3, respectivamente). E, ainda, aplicar o conceito de oposto. Por exemplo:

Figura 3: Numa situação com quadrados e cubos podemos ilustrar a relação de operação inversa entre potências e raízes e aproveitar para trabalhar com o sentido de oposto.

Fonte: autor

Para finalizarmos nossas considerações a respeito desta atividade, enfatizamos que a colocação de números não inteiros obriga os alunos a se preocuparem em mudar a escala. O que em certa medida pode dificultar o trabalho dos alunos. No entanto, observamos que isto se configura como um ótimo exercício para as próximas atividades em que o aluno terá que desenhar uma reta numérica, visto que este tende a não considerar esta particularidade em seu desenho. Entendemos que esta atividade possibilita ao aluno trabalhar e avaliar os números positivos e negativos com uma visão de conjunto, relacionando suas particularidades, elaborando, recordando e (re)significando conceitos, além de trabalhar com  estimativa escolhendo a escala mais adequada para a situação apresentada.

Para apoio na compreensão dos submúltiplos do Sistema Métrico Decimal (decímetro, centímetro e milímetro) e sua utilização em situações cotidianas, o professor pode recorrer a aula “Números Decimais na reta numérica: uso da régua como instrumento facilitador da representação”, disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=49919. Acesso em 02 set 2013.

A atividade varal dos números racionais possibilita ao professor e alunos mobilizarem saberes diversos, sejam os já estudados ou outros a desenvolver. Nesse sentido é interessante que o professor avalie tanto as ações quanto as reações dos alunos, observando quando há a necessidade de abordar um conceito ainda não apropriado, de modo satisfatório, pelo aluno.

Após a atividade com o varal dos números o professor pode propor um exercício para avaliar os conhecimentos desenvolvidos a partir da atividade. Escreva na lousa quinze números, mais ou menos, de modo que tenha números positivos, negativos e zero, trazendo também diferentes formas, ou seja, inteiros, decimais e fracionários e, em seguida, distribua uma folha para cada aluno e peça-os que desenhem uma reta numérica, escrevendo nela os números dados. Recolha a atividade e avalie quais os conceitos foram desenvolvidos e quais precisam ser destacados e trabalhados em outras atividades.

Referência

LARA, Isabel Cristina Machado de. Jogando com a Matemática de 5ª a 8ª série. São Paulo: Rêspel, 2003.