A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H19), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Estudar o comportamento do gráfico de algumas funções, dadas por y = f(x), com x fazendo parte do domínio D(f), no plano cartesiano, tendo como recurso metodológico a utilização do software GeoGebra.

- Compreender a função composta como uma composição de funções.

2 horas/aula (50 minutos cada).

·         Equações.

·         Ângulos.

·         Coordenadas cartesianas.

·         Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor (a), não é novidade que em um mundo cada vez mais atraente fora da escola, é necessário utilizar diferentes recursos, no trabalho escolar, que incentivem os estudantes a se apropriarem dos significados dos conceitos científicos e a buscarem estratégias para melhor trabalhar com os conhecimentos matemáticos adquiridos.

Para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o software GeoGebra para auxiliar a visualização do plano cartesiano e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado ao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 14 out 2013). Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 14 out 2013).

 

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra - Apresentação

 

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se criar ilustrações profissionais para serem usadas em outros programas, como no Microsoft Word, no Open Office, no LaTeX, entre outros. Escrito em JAVA e disponível em português, o GeoGebra é multiplataforma e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. (Disponível no site http://www.geogebra.im-uff.mat.br/)

A utilização de softwares de geometria dinâmica pode favorecer a verificação de hipóteses e conjecturas levantadas pelos alunos de maneira mais dinâmica, permitindo-lhes escolher seus próprios caminhos, interagir com outros espaços e seguir o seu próprio ritmo de aprendizagem, o que nem sempre é possibilitado na escola.

Sobre softwares de geometria dinâmica, Baldin (2003), defende que estes possuem qualidades de visualização e de interatividade para explorar propriedades e podem ser utilizados para auxiliar a construção dos conhecimentos, assim como podem auxiliar na modelagem de problemas e nas simulações. Esses programas permitem manipulação fácil e especulação de conceitos pelo próprio aluno, o que aumenta seu prazer em interagir com a tecnologia para construir conhecimentos matemáticos.

Ainda sobre esta questão, as orientações dos PCN (BRASIL, 1998), afirmam que o uso de computadores pode trazer significativas contribuições para repensar o processo de ensino e aprendizagem de matemática, pois:

relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente;- possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem;- permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo (BRASIL, 1998, pp.43-4).

 

PRIMEIRO MOMENTO: Construção de Gráficos

 

Chama-se função quadrática a função f:IR→IR, definida por f(x) = ax⊃2; +  bx + c (ou y = ax⊃2; + bx + c), com a, b e c reais e a diferente de zero. O seu gráfico é uma parábola.

Chama-se função afim a função f:IR→IR, definida por f(x) = ax + b (ou y = ax + b), com a e b reais e a diferente de zero. O seu gráfico é uma reta. Pela equação é possível estudar propriedades da parábola ou da reta, assim como a partir de uma propriedade da parábola ou da reta se pode identificar uma equação.

 

1ª PARTE: Função afim e quadrática

Considere as funções f:IR→IR dadas por f(x) = x + 5 e g(x) = x⊃2; – x + 2.

Construa os seus gráficos no software GeoGebra. No campo “Entrada”, digite a função desejada e clique “enter”. Lembre-se que “x⊃2;” deve ser escrito “x^2 “(Figuras 1 e 2). 

 

Figura 1: Construção da função f(x) = x + 5

Fonte: Arquivo do autor

 

Figura 2: Construção da função g (x) = x⊃2; - x+2

Fonte: Arquivo do autor

 

Professor, questione o aluno a respeito do comportamento e das características dos gráficos dessas funções. Destaque, por exemplo, no gráfico da função afim: o zero da função, a raiz, o coeficiente linear, a declividade e o coeficiente angular, já no gráfico da função quadrática: a concavidade, as raízes, a declividade, entre outros. 

 

2ª PARTE: Função composta

Desse modo, usando as funções estudadas anteriormente (f e g), encontre analiticamente as funções fog(x) e gof(x).

Questione os alunos:

- O que esperam sobre a composição dessas funções?

- Como será o gráfico das composições?

A) fog(x)

• fog(x)= f(g(x)) = (x⊃2; – x + 2) + 5 = x⊃2; – x + 7

Solicite aos alunos que digitem no campo de entrada “f(g(x))”, verifique sua resposta e analise o gráfico (Figura 3).

 

Figura 3:  Construção da função “f” composta com a função “g”

Fonte: Arquivo do autor

 

Clique na bolinha em “Objetos Livres” e esconda as funções “f” e “g” para melhor análise (Figura 4).

 

Figura 4:  Gráfico da função composta f(g(x))

Fonte: Arquivo do autor

 

B) gof(x)

• gof(x) =  g(f(x)) = (x+5)⊃2; – (x + 5) + 2 = x⊃2; + 9x + 22

Análogo ao item anterior. As figuras 5 e 6 representam o gráfico da função g composta com a função f.

 

Figura 5:  Construção da função "g" composta com a função "f"

Fonte: Arquivo do autor

 

Figura 6:  Gráfico da função composta g(f(x))

Fonte: Arquivo do autor

 

C) Calcule fog(-5) e gof(-5).

• fog(-5) = (–5)⊃2; – (–5) + 7= 25 + 12 = 37

Sabemos que a função composta fog está representada nos gráficos pela função h, desta forma basta digitar no campo de entrada “h(-5)”. Observe a Figura 7: nos “Objetos Dependentes” h(-5) é dado por a = 37 e representado pelo ponto A (-5,37).

• gof(–5)=( –5)⊃2; + 9 (–5) + 22 = 25 – 45 + 22 = 2

Sabemos que a função composta gof está representada nos gráficos pela função p, desta forma basta digitar no campo de entrada “p(–5)”. Observe a Figura 7: nos “Objetos Dependentes” p(-5) é dado por b = 2 e representado pelo ponto B (-5, 2).

Observe o gráfico e compare os resultados (Figura 7).

 

Figura 7:  Cálculo de h(-5) e p(-5)

                   Fonte: Arquivo do autor                

Discuta com os alunos a atividade proposta e através de uma outra situação formalize com eles o conceito e o esquema de função composta.

 

Comentário: Espera-se que os alunos cheguem a conceitos próximos a definição e ao esquema apresentados a seguir:

 

Definição:
                Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f: A→B e g: B→C. A função h: A→C tal que h(x)=g(f(x)) é chama de função composta de g com f. Indica-se essa composição por gof e lê-se g composta com f. Esquematicamente:

 

         Fonte: Arquivo do autor            

 

SEGUNDO MOMENTO: Compondo funções no cotidiano.

      VOCÊ SABIA???

A função composta pode ser aplicada tanto na matemática quanto em situações cotidianas, como por exemplo, no trânsito, em vendas e na produção.

 

Sugestão de Atividade

Uma loja de eletrodomésticos recebe, através de um banco, as prestações dos produtos vendidos em crediário. No mês de abril a loja fará a seguinte promoção: o cliente que pagar a prestação na primeira quinzena do mês terá um desconto sobre o valor x da prestação. O cliente pagará apenas o valor f(x), que representa o valor da prestação após um desconto de 10%.
                O banco que faz a intermediação desse dinheiro cobra da loja uma taxa de serviços. Para cada quantia de t reais recebidos, o banco transfere para a conta da loja a quantia g(t), que representa 98% dos t reais recebidos. 

Entenda o esquema:

Fonte: Arquivo do autor

 

·        A prestação do mês de abril de um cliente é de 200 reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena do mês, quanto pagará?

A resposta para essa questão é dada pela função f(x) = 0,9x. O cliente vai pagar f(200) = 0,9*200 = 180 reais.

• Que parcela desse dinheiro será transferida pelo banco para a conta da loja?

 A resposta é dada pela função g(t) = 0,98t. Como o banco terá recebido t = 180 reais do cliente, a loja receberá do banco g(180) = 0,98*180 = 176,40 reais.

·        A prestação de um cliente para o mês de abril é de x reais. Se esse cliente pagá-la na primeira quinzena de abril, terá o desconto oferecido pela loja. Qual a função que dá o valor recebido pela loja em função de x, sabendo que esse cliente pagará a prestação na primeira quinzena?
       

 Vejamos o esquema:

 
Fonte: Arquivo do autor
   

A função h é a que expressa o valor recebido pela loja em função de x, ou seja, h(x) = 0,98*0,9x = 0,882x. A função h é chamada de função composta de g com f.

Como recurso complementar o professor pode consultar:

1.    SOARES, L.H.; Contribuições do uso do GeoGebra no estudo de funções. Apresentação disponível em: <http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

2.    FARIAS, C. B. L; ALVES, E. L.. O ensino da função afim com o auxílio do software geogebra. XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Disponível em: < http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/1905_1672_ID.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

3.    O Site “Dia a dia educação” abordando exemplos práticos. Disponível em:< http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=130> Acesso em 12 ago 2013.

4.    ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em 12 ago 2013. 

             O processo avaliativo deve ser contínuo. Desse modo, sugere-se avaliar o desenvolvimento e o desempenho do aluno por meio de suas produções, por isso, solicite-lhe que salve os arquivos em uma pasta e os comentários no WORD.