A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H19), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Construir gráficos no plano cartesiano e analisar o seu comportamento tendo como recurso metodológico a utilização do computador.

- Estudar o comportamento do gráfico da função quadrática, dadas por y = f(x), com x fazendo parte do domínio D(f), no plano cartesiano, tendo como recurso metodológico a utilização do software GeoGebra.

• Equações do 2º grau: cálculo de raízes.
• Plano Cartesiano: localização de pontos, leitura das coordenadas de um ponto, representação.
• Funções polinomiais de 1º e 2º graus: definição e representação.
• Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor (a), não é novidade que em um mundo cada vez mais atraente fora da escola, é necessário utilizar diferentes recursos, no trabalho escolar, que incentivem os estudantes a se apropriarem dos significados, dos conceitos científicos e a buscarem estratégias para melhor trabalhar com os conhecimentos matemáticos adquiridos.

Para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o software GeoGebra para auxiliar a visualização do plano cartesiano e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado ao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 14 out. 2013). Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 14 out 2013).

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra - Apresentação

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se criar ilustrações profissionais para serem usadas em outros programas, como no Microsoft Word, no Open Office, no LaTeX, entre outros. Escrito em JAVA e disponível em português, o GeoGebra é multiplataforma e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. (Disponível no site http://www.geogebra.im-uff.mat.br/)

A utilização de softwares de geometria dinâmica pode favorecer a verificação de hipóteses e conjecturas levantadas pelos alunos de maneira mais dinâmica, permitindo-lhes escolher seus próprios caminhos, interagir com outros espaços e seguir o seu próprio ritmo de aprendizagem, o que nem sempre é possibilitado na escola.

PRIMEIRO MOMENTO

Antes de iniciar, sugerimos que você acesse  a aula “Explorando a função do primeiro grau com o GeoGebra ” disponível em  <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=52998>. Acesso em 11 nov 2013. Em seguida apresente aos alunos o roteiro abaixo.

ROTEIRO

Chama-se função quadrática a função f:IR→IR, definida por f(x) = ax⊃2; + bx + c (ou y = ax⊃2; + bx + c), com a, b e c reais e a diferente de zero. O seu gráfico é uma parábola. Pela equação é possível estudar propriedades dessa parábola, assim como a partir de uma propriedade da parábola se pode identificar uma equação.

a) Em nosso estudo, tomaremos inicialmente  b = 0 e c = 0. Variando o valor de “a”, observaremos o comportamento dos gráficos das parábolas. Com uso do software GeoGebra, construa parábolas do tipo y = ax⊃2;, com "a" assumindo os seguintes valores – 3, – 2 , – 1, 1 , 2 e 3. Plote os gráficos das funções utilizando o campo de “entrada” (Figura 1) e o “seletor” (Figura 2).

Figura 1: Variando o valor de "a"

Fonte: Arquivo do autor

Figura 2: Variando o valor de "a" através do seletor

Fonte: Arquivo do autor

Questione os alunos:

- O que você pôde observar com relação ao valor absoluto do coeficiente "a"?

Padrão de resposta esperado:  "Esse valor define a abertura da parábola no gráfico da função quadrática, isto é, quanto à medida que o valor absoluto de ‘a’ aumenta a abertura da parábola diminui".

- O que você pôde observar com relação ao sinal do coeficiente "a"?

Padrão de resposta esperado:  "Esse sinal orienta a concavidade da parábola para cima ou para baixo: para ser voltada para cima o coeficiente ‘a’ é positivo, para baixo o coeficiente ‘a’ é negativo)".

b) Tomemos agora a = 1 e c diferente de zero. Crie as parábolas y = x⊃2; + c, com “c” assumindo os valores – 2, – 1, 1 e 2. Veja o que ocorre. 

Figura 3 – Variando o valor de “c”

Fonte: Arquivo do autor

Solicite aos alunos que descrevam o ocorrido nos gráficos com suas palavras.

Padrão de resposta esperado: "Os gráficos são deslocados da origem para passarem pelos pontos do termo independente, isto é, o vértice da parábola intercepta o eixo y (das ordenadas), em y = c. Isso ocorre, pois, quando se atribui o valor 0 (zero) para x, a imagem obrigatoriamente será o termo independente".

c) Vamos considerar agora o problema de fazer o gráfico de uma função dada por um trinômio do 2º grau. Comecemos, a partir de y = x⊃2;, com o caso mais simples, de um quadrado perfeito, como    y = (x – m)⊃2;. Crie parábolas descritas com “m” assumindo os seguintes valores -2, -1, 1 e 2.

Figura 4: Variando o valor de “m”

Fonte: Arquivo do autor

Solicite aos alunos que descrevam o que ocorre com os gráficos.

Padrão de resposta esperado: "Os gráficos são deslocados horizontalmente para a direita e para a esquerda conforme o sinal do termo m. Quando m assume um valor de sinal negativo, o gráfico é deslocado para a esquerda e quando assume um valor de sinal positivo, a parábola é deslocada para a direita. Percebe-se que o sinal de m, quando positivo, a parábola é deslocada para a esquerda e quando m é negativo, o gráfico desloca-se para a direita".

d) Com base no estudo anterior, como você espera que seja o gráfico de y = x⊃2; + 6x + 11, em relação ao gráfico de y = x⊃2;?

Em se tratando de trinômio que não seja quadrado perfeito, utilize a técnica de completar o quadrado, que consiste em somar e subtrair um termo a uma expressão x⊃2; + kx (deste tipo) com vistas a obter um quadrado perfeito.

Figura 5: Completar quadrado

Fonte: Arquivo do autor

Conforme visto, foi um gráfico deslocado para a esquerda e, utilizando a técnica de completar quadrados, chegou-se a raiz quadrada de -2, que não é definido no conjunto dos números reais.

Como recurso complementar o professor pode consultar:

1. BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.
2. SOARES, L.H.; Contribuições do uso do GeoGebra no estudo de funções. Apresentação disponível em: <http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf> Acesso em 12 ago 2013.
3.  FARIAS, C. B. L; ALVES, E. L.. O ensino da função afim com o auxílio do software geogebra. XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Disponível em: < http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/1905_1672_ID.pdf> Acesso em 12 ago 2013.
4. O Site “Dia a dia educação” abordando exemplos práticos. Disponível em:< http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=130> Acesso em 12 ago 2013.
5. ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em 12 ago 2013. 

O processo avaliativo deve ser contínuo. Desse modo, sugere-se avaliar o desenvolvimento e o desempenho do aluno por meio de suas produções, por isso, solicite-lhe que salve os arquivos em uma pasta e os comentários no WORD.