A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H19), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Resolver problemas geométricos, no plano cartesiano, utilizando processos algébricos, tendo como recurso metodológico a utilização do computador. 

- Estudar o comportamento do gráfico de algumas funções, dadas por y=f(x) com x fazendo parte do domínio D(f), no plano cartesiano, tendo como recurso metodológico a utilização do software GeoGebra. 

• Equações do 2º grau. 
• Plano Cartesiano. 
• Funções: definição e representação. 
• Noções básicas da utilização do software GeoGebra

Professor (a), não é novidade que, em um mundo cada vez mais atraente fora da escola, é necessário utilizar diferentes recursos, no trabalho escolar, que incentivem os estudantes a se apropriarem dos significados dos conceitos científicos e a buscarem estratégias para melhor trabalhar com os conhecimentos matemáticos adquiridos.

Para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o software GeoGebra para auxiliar a visualização do plano cartesiano e compreensão de conceitos geométricos.Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado ao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 14 out 2013). Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 14 out 2013).

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra - Apresentação

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se criar ilustrações profissionais para serem usadas em outros programas, como no Microsoft Word, no Open Office, no LaTeX, entre outros. Escrito em JAVA e disponível em português, o GeoGebra é multiplataforma e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS. (Disponível no site http://www.geogebra.im-uff.mat.br/)

A utilização de softwares de geometria dinâmica pode favorecer a verificação de hipóteses e conjecturas levantadas pelos alunos de maneira mais dinâmica, permitindo-lhes escolher seus próprios caminhos, interagir com outros espaços e seguir o seu próprio ritmo de aprendizagem, o que nem sempre é possibilitado na escola.

PRIMEIRO MOMENTO

Chama-se função quadrática a função f:IR→IR, definida por f(x) = ax⊃2; + bx + c (ou y = ax⊃2; + bx + c), com a, b e c reais e a diferente de zero. O seu gráfico é uma parábola.

Pela equação é possível estudar propriedades dessa parábola, assim como a partir de uma propriedade da parábola se pode identificar uma equação.

Atividade 1

Construir o gráfico da função f:IR→IR dada por f(x) = 2x⊃2; – 8x. Para isso, primeiramente, construa uma tabela com cinco valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com os valores correspondentes para y = f(x). 

Processo de construção: Clique em “Exibir” e escolha “Planilha”, como descrito na figura 1. Escolha os pares ordenados (x, y), descrito na planilha como (A,B), selecione os ponto e clique em “Criar Lista de Pontos”. 

Figura 1: Construção dos pontos

Fonte: Arquivo do autor

Plote o gráfico da função.

Vá até a barra de ferramentas e escolha o comando “Cônica Definida por Cinco Pontos” (Figura 2), selecione os pontos e veja o que ocorre.

Figura 2: Unindo os pontos

Fonte: Arquivo do autor

Qual o aspecto do gráfico que você encontrou? 

Padrão de resposta esperado:  Encontrou-se um gráfico com parábola voltada para cima e que passa pelos pontos da tabela.

Atividade 2:

Com uso do GeoGebra, plote o gráfico da função f(x)=x⊃2; – 4x + 3 utilizando o comando “Entrada”(Figura 3).

Figura 3: Gráfico da função f(x)

Fonte: Arquivo do autor

Crie um ponto em cima da função f(x), logo após selecione o ponto e o movimente (Figura 4). Veja o que acontece na janela de álgebra, analise os pares ordenados.

Figura 4: Pares ordenados (x, y) da função f(x)

Fonte: Arquivo do autor

O que você conclui?

Padrão de resposta esperado: Verifica-se que aparece um indicador (ponto A) no gráfico mostrando em que posição dele está-se percorrendo e o valor de (y) correspondente a (x) em que se está percorrendo. Quando se muda o valor de x, o valor de y é automaticamente mostrado na janela de álgebra.

Comentário: Essa atividade é importante para que o aluno perceba que o valor de f(x), depende do valor de x e também para se ensinar como calcular o valor de f(x) para determinado valor de x.

Crie um ponto de “Interseção de Dois Objetos” entre o eixo x e a função f(x) (Figura 5).

Figura 5: Encontrando os zeros da função

Fonte: Arquivo do autor

Qual o significado gráfico da opção selecionada?

Padrão de resposta esperado: O GeoGebra destaca com pontos os zeros da função, que é justamente a abscissa do ponto em que a mesma “toca” o eixo (x).

Encontre, analiticamente, o(s) zero(s) da função e compare os resultados.

O que você concluiu?

Para encontrarmos o vértice da parábola, basta digitar no campo entrada “extremo [f(x)]” (Figura 6).

Figura 6: Vértice da parábola

Fonte: Arquivo do autor

Qual o significado da construção feita?

Padrão de resposta esperado: Esta construção indica qual é o ponto de mínimo/máximo da função selecionada. Como se trata de uma função de parábola voltada para cima, ela terá um ponto de mínimo, que é dado pelo vértice da parábola, analiticamente calculado pela fórmula Xv=-b/2a e Yv=-(b²-4ac)/4a.

Calculando analiticamente, temos:

O que você verificou?

Padrão de resposta esperado: Verificamos assim que os resultados são semelhantes.

Como recurso complementar o professor pode consultar:

1.       BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

2.  SOARES, L.H.; Contribuições do uso do GeoGebra no estudo de funções. Apresentação disponível em: <http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

3.        FARIAS, C. B. L; ALVES, E. L.. O ensino da função afim com o auxílio do software geogebra. XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Disponível em: < http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/1905_1672_ID.pdf> Acesso em 12 ago 2013.

4. O Site “Dia a dia educação” abordando exemplos práticos. Disponível em: < http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=130> Acesso em 12 ago 2013.

5.         ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf>. Acesso em 12 ago 2013. 

O processo avaliativo deve ser contínuo. Desse modo, sugere-se avaliar o desenvolvimento e o desempenho do aluno por meio de suas produções, por isso, solicite-lhe que salve os arquivos em uma pasta e os comentários no WORD.