A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação. (H22), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Resolver problemas geométricos, no plano cartesiano, utilizando processos algébricos, tendo como recurso metodológico a utilização do computador.

- Estudar o comportamento do gráfico de algumas funções, dadas por f(x) = x, com x pertencente ao D(f), no plano cartesiano, tendo como recurso metodológico a utilização do Software GeoGebra.

·      Equações do 2º grau.

·      Plano Cartesiano.

·      Funções: definição e representação.

·      Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhose compreensão de conceitos geométricos.Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectadoao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponívelem: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 14 nov 2013). Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 14 nov 2013).

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra - Apresentação

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

O software GeoGebra: fazendo construções simples

Ao instalar o GeoGebra, um atalho será criado na sua área de trabalho. Para começar a utilizá-lo, basta dar um duplo clique sobre o atalho.

Inicialmente, peça aos alunos que observem a tela inicial do programa (Figura 1), questionando-os sobre as suas ferramentas, como utilizá-las, para que servem, estimule-os a experimentá-las até que descubram como se constrói um gráfico.

Figura 1: Tela inicial do GeoGebra

Fonte: Disponível em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 14 nov 2013.

Caso deseje explorar todos os comandos, solicite que os alunos acessem o Manual Oficial do programa da Versão 3.2. Disponível em: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 14 nov 2013.

PRIMEIRO MOMENTO DA AULA

Chama-se função quadrática a função f: IR-->IR, definida por f(x)=ax⊃2;+ bx+c (ou y=ax⊃2;+ bx+c), com a, b e c reais e a diferente de zero. O seu gráfico é uma parábola.

Pela equação é possível estudar propriedades dessa parábola, assim como a partir de uma propriedade da parábola se pode identificar uma equação. Para isso, proponha aos alunos as atividades a seguir.

1)      Solicite aos alunos que plotem no GeoGebra o gráfico das funções f:IR->IR dadas por f(x) = x + 5 e g(x) = x⊃2; – x + 2.  Para isso, basta inserir no campo “Entrada” as equações. (Figura 2). 

Figura 2: Construção dos gráficos da funções no GeoGebra

Fonte: Arquivo do autor

Quais os aspectos dos gráficos que você encontrou?

Padrão de resposta esperado: “Encontrou-se o gráfico da função do 1º grau sendo uma reta e o gráfico da função do 2º grau sendo uma parábola.”

Classifique as funções em crescente, decrescente ou constante, justificando suas respostas.

Padrão de resposta esperado: “Apenas a função do 1º grau é crescente pois o coeficiente angular é maior que 0 (zero). Já a função quadrática é crescente para x > x_v e decrescente para x < x_v.”

SEGUNDO MOMENTO DA AULA

1)      Peça que criem um ponto sobre a função f(x) e outro sobre a função g(x), movimente os pontos e observe na janela de álgebra o resultado. (Figura 3).

Figura 3: Pontos sobre a funções

Fonte: Arquivo do autor

O que você conclui em relação à opção "Traço"?

Padrão de resposta esperado: “Verifica-se que aparece um indicador na janela de álgebra mostrando que para cada valor de x existe um valor de y correspondente.”

2)      Selecione a opção “intersecção de dois objetos” e selecione a duas funções criadas. Selecione a “Exibição de Rótulo: Nome e Valor” nas propriedades dos pontos (Figura 4).

Figura 4: Intersecção das funções

Fonte: Arquivo do autor

O que você conclui em relação à opção "Interseção"?

Padrão de resposta esperado:  “Verifica-se que os pontos em comum das duas funções são (3,8) e (-1,4), que correspondem às intersecções dos gráficos.”

3)      No campo de “Entrada” digite “Extremo [ g(x) ]” (Figura 5).

Figura 5: Ponto Extremo da função g(x)

Fonte: Arquivo do autor

Qual o significado gráfico da opção selecionada?

Padrão de resposta esperado: “Esta opção indica o ponto de mínimo/máximo da função selecionada. Como se trata de uma função quadrática cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima, ela terá um ponto de mínimo, que é dado pelo vértice da parábola.”

4)      Peça aos alunos que digitem “Extremo [ f(x) ]” e analisem o resultado. (Figura 6).

Figura 6 – Ponto Extremo da função f(x)

Fonte: Arquivo do autor

Toda função tem extremos?

Padrão de resposta esperado: “Como percebe-se no exemplo acima, não se pode calcular o vértice de uma função do 1º grau (indefinido), logo ela não tem ponto de máximo e nem de mínimo.”

5)    Como os alunos conhecem o modelo matemático que permite calcular as coordenadas do vértice da parábola, encontre seu vértice e compare os resultados.

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

Manual GeoGebra (pt) Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/>. Acesso em 14 nov 2013. 

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

O processo avaliativo deve ser contínuo. Desse modo, sugere-se avaliar o desenvolvimento e o desempenho do aluno por meio de suas produções, por isso, solicite-lhe que salve os arquivos em uma pasta e os comentários no WORD.