A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação (H22), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

- Identificar se a função exponencial é crescente ou decrescente, conhecendo sua lei de formação.

- Associar o gráfico da função exponencial y = b^x a uma curva que intercepta o eixo “y”no ponto cuja ordenada é y = 1 e que não tem ponto comum com o eixo “x”, apenas se aproxima dele.

- Analisar o comportamento do gráfico da função exponencial quando varia a expressão constante expoente.

1 hora/aula de 50 minutos

·        Definição de função exponencial e reconhecimento de sua lei de formação.

·        Gráfico de funções no plano cartesiano.

·        Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a visualização do plano cartesiano e compreensão de conceitos geométricos.Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectadoao computador  com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível  em: <http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm> (Acesso em 14 nov. 2013). Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html (Acesso em 14 nov. 2013).

O desenvolvimento da atividade envolve a utilização do Software GeoGebra,  mas é possível  adaptá-la a qualquer outro software de construção de gráficos, como por exemplo, "Oficina de funções, Graph, Winplot", reescrevendo as instruções de acordo com as ferramentas que o programa traz.

 

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

O software GeoGebra - Apresentação

 

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

PRIMEIRO MOMENTO DA AULA:

 

O software GeoGebra: fazendo construções simples

 

Ao instalar o GeoGebra, um atalho será criado na sua área de trabalho. Para começar a utilizá-lo, basta dar um duplo clique sobre o atalho.

Inicialmente, peça aos alunos que observem a tela inicial do programa (Figura 1), questionando-os sobre as suas ferramentas, como utilizá-las, para que servem, estimule-os a experimentá-las até que descubram como se constrói um gráfico.

 

Figura 1: Tela inicial do GeoGebra

Fonte: Disponível em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 14 nov. 2013.

 

Caso deseje explorar todos os comandos, solicite que os alunos acessem o Manual Oficial do programa da Versão 3.2. Disponível em:  <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em 14 nov. 2013.

 

1)    No primeiro momento, solicite a construção, no mesmo sistema de coordenadas, o gráfico das funções abaixo: (Figura 2)

a)   f(x) = 2^x

b)   g(x)  = (3,5)^x

c)    h(x)  = 4^x

d)   p(x)  = (0,1)^x

e)   q(x) = (0,5)^x

f)    r(x)  = (0,8)^x

 

Observação: 2 ^ x significa 2^x (dois elevado a x).

 

Para melhor destaque, peça que utilizem cores e ou traços diferentes (Figura 2). A opção de mudança de cor pode ser encontrada nas propriedades de cada objeto criado.

 

Figura 2: Construção das funções no GeoGebra

Fonte: Arquivo do autor

 

Observe todos os gráficos e as leis da função que o originaram. A seguir responda:

a)   Qual é a característica comum a todos os gráficos?

 

Padrão de resposta esperada:  Todos os gráficos passam pelo ponto de coordenadas (0, 1).

 

 

Figura 3: Construção das funções a, b, c

Fonte: Arquivo do autor

 

b)      Qual é a característica comum aos gráficos das funções dos itens a, b, c (Figura 3)?.

 

Padrão de resposta esperada:  Todos os gráficos passam pelo ponto de coordenadas (0, 1).

 

c)       Observe a lei de formação das funções constantes nos itens a, b, c, o que elas têm em comum, fora o expoente?

 

Padrão de resposta esperada:  Todas tem a base é maior que 1.

 

Figura 4: Construção das funções d, e, f

Fonte: Arquivo do autor

 

d)      Qual é a característica comum aos gráficos das funções dos itens d, e, f (Figura 4)?

 

Padrão de resposta esperada:  Todos os gráficos passam pelo ponto de coordenadas (0, 1).

 

e)      Observe a lei de formação das funções constantes nos itens d, e, f, o que elas têm em comum, fora o expoente?

 

Padrão de resposta esperada:  Todas tem a base entre 0 e 1.

 

De acordo com suas observações acima (Figura 2), pode-se concluir que:

 

a)        O gráfico da função exponencial da forma y = b^x sempre passa pelo ponto ___________.

b)        A função exponencial da forma y = b^x é crescente quando________________.

c)         A função exponencial da forma y = b^x é decrescente quando______________.

 

2) Invente um exemplo de função exponencial decrescente e construa o seu gráfico usando o GeoGebra para verificar se o seu exemplo está correto.

 

3)Invente um exemplo de função exponencial decrescente e construa o seu gráfico para verificar se o seu exemplo está correto.

 

4) Observe o que acontece no gráfico da função quando o expoente passa a ser uma expressão como, por exemplo,  y = 2^x+1. Para isso, construa o gráfico das funções seguintes no mesmo sistema de coordenadas e lembre-se de usar cores diferentes, sempre observando as modificações que ocorrem em relação ao mais simples, quando o expoente é apenas x.

 

5) Verifique o que acontece quando somamos um número ao x (Figura 5):

a) f(x) = 5^x (esta é a mais simples)

b) g(x) = 5^x+1

c) h(x) = 5^x+2

d) p(x) = 5^x+3

 

Figura 5: Construção das funções do Exercício 5

Fonte: Arquivo do autor

 

O que você observou?

 

Padrão de resposta esperada:  Quando somamos um número ao expoente, o gráfico da função se descola sobre o eixo Y (positivamente) tantas unidades somadas.

 

6) Verifique o que acontece quando subtraímos um número de x(Figura 6):

a) g(x)  = 5^x-1

b) h(x)  = 5^x-2

c) p(x)  = 5^x-3

 

Figura 6:- Construção das funções do Exercício 6

Fonte: Arquivo do autor

 

O que você observou?

 

Padrão de resposta esperada:  Quando subtraímos um número ao expoente, o gráfico da função se descola sobre o eixo Y (negativamente) tantas unidades subtraídas.

 

7) Verifique o que acontece quando multiplicamos um número por x(Figura 7):

a) g(x)  = 5^2x

b) h(x)  = 5^3x

c)  p(x)  = 5^4x

 

Figura 7:- Construção das funções do Exercício 7

Fonte: Arquivo do autor

 

O que você observou?

 

Padrão de resposta esperada:  Quando multiplicamos um número natural ao expoente, o gráfico da função vai se aproximando do eixo Y quanto maior o fator. 

 

8) De acordo com as observações, responda o que acontece com o gráfico da função quando dividimos a variável por um número natural diferente de zero (Figura 8)?

 

Figura 8: Construção das funções do Exercício 8

Fonte: Arquivo do autor

 

            Padrão de resposta esperada:  Quando dividimos o expoente por um número natural, o gráfico da função vai se afastando do eixo Y quanto maior o divisor. 

Como recurso complementar o professor pode consultar:

1.    BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v.1.

2.    TATIBANA, C.E.; TOFFOLI, S.F.L; SODRÉ, U.. Ensino Médio: Funções Exponenciais: Exercícios. Apresentação disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/expolog/exponenc-a.htm> Acesso em 14 nov 2013.

3.    O Site “Função Exponencial” abordando algumas situações. Disponível em:< http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/exponencial/fexponencial.htm> Acesso em 14 nov 2013.

4.    Manual GeoGebra (pt) Disponível em: <http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/>. Acesso em 14 nov 2013. 

A avaliação é feita no decorrer das atividades, observe a participação do aluno, seu envolvimento e desempenho ao fazer as atividades. Como sugestão, se possível, fechar a aula com um jogo, onde os alunos devem desafiar o colega propondo questões que deverão ser respondidas ou explicadas, como por exemplo: se a função é crescente ou não, onde a função intercepta o eixo y, se a função apresenta raiz, entre outras.