A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como identificar características de figuras planas ou espaciais (H7), é proposto para essa aula o seguinte objetivo:

 

- Reconhecer que todo triângulo inscrito e que possui um dos lados coincidindo com o diâmetro numa semicircunferência é retângulo.

- Aplicar as relações métricas do triângulo retângulo no GeoGebra.

2 horas/aula de 50 minutos

·      Triângulo retângulo: conceito, elementos e relações métricas.

·      Raio e Diâmetro de uma circunferência.

·      Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.

 

Comentário: Caso seja possível, aconselha-se que a aula seja desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

 

 

O software GeoGebra - Apresentação

 

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.

 

O software GeoGebra: fazendo construções simples

 

Ao instalar o GeoGebra, um atalho será criado na sua área de trabalho. Para começar a utilizá-lo, basta dar um duplo clique sobre o atalho.

 

Inicialmente, peça aos alunos que observem a tela inicial do programa (Figura 1), questionando-os sobre as suas ferramentas, como utilizá-las, para que servem, estimule-os a experimentá-las até que descubram como se constrói um gráfico.

 

Figura 1: Tela inicial do GeoGebra

Fonte: Disponível em:  <http://migre.me/jBCP1>. Acesso em 14 nov. 2013.

 

        Caso deseje explorar todos os comandos, solicite que os alunos acessem o Manual Oficial do programa da Versão 3.2. Disponível em:  <http://migre.me/jBCSM>. Acesso em 14 nov. 2013.

 

PRIMEIRO MOMENTO DA AULA

 

1)      No primeiro momento, solicite a construção de uma circunferência qualquer, de centro O, utilizando o comando “Círculo dados Centro e Um de seus Pontos”, (Figura 2). 

 

 

Figura 2 - Construção de uma circunferência no GeoGebra

Fonte: Arquivo da autora

 

 

2)      Em seguida, solicite aos alunos que tracem o diâmetro AB dessa circunferência, usando o comando “Segmentos definido por Dois Pontos”. (Figura 3).

 

 

Figura 3: Construção do diâmetro AB

Fonte: Arquivo da autora

 

 

3)      Feita a construção, oriente os alunos para a escolha de um ponto C qualquer da circunferência, definindo assim um triângulo ABC. O aluno traça os segmentos AC e CB e pode destacar o triângulo em cores, por exemplo. (Figura 4).

 

 

Figura 4 - Construção das funções d, e, f

Fonte: Arquivo da autora

 

 

4)      Solicite aos alunos que meçam o ângulo com vértice em C e compare o resultado obtido com os resultados obtidos por seus colegas. (Utilizar a ferramenta “ângulo”) (Figura 5).

 

 

Figura 5: Medindo o ângulo

Fonte: Arquivo da autora

 

 

Padrão de resposta esperado:

“O ângulo mede 90º na construção de todos os colegas”.

 

 

5)      Solicite aos alunos que movimentem os pontos, observem os resultados e os compare. (Figura 6).

 

 

Figura 6: Movimentando os pontos

Fonte: Arquivo da autora

 

 

Em seguida, questione os alunos:

 

• O que a experiência sugere?

Espera-se que os alunos cheguem a um registro semelhante a:

“Todo triângulo inscrito numa semicircunferência e que tem um dos lados coincidindo com o diâmetro é retângulo”.

 

• Peça aos alunos para generalizar e registrar a propriedade abordada na experiência com o GeoGebra.

Espera-se que os alunos cheguem a um registro semelhante a:

“Se um vértice de um triângulo pertence à uma semicircunferência e os outros dois vértices são extremos do diâmetro desta circunferência, então este triângulo é retângulo”.

 

 

SEGUNDO MOMENTO DA AULA

 

1)     Solicite aos alunos que desenhem uma circunferência de raio igual a 5cm e que destaquem o diâmetro AB. (Figura 7).

 

 

Figura 7: Circunferência de raio 5 cm

Fonte: Arquivo da autora

 

 

2)     Oriente os alunos na construção de um ponto E  obre a circunferência e desenhem o triângulo ABE, retângulo em E, com altura de modo que a projeção de um dos catetos meça 2 cm. (Figura 8).

 

 

Figura 8: Construção do triângulo ABE

Fonte: Arquivo da autora

 

 

3)      Solicite que aplique a relação métrica do triângulo retângulo “altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa”, e obtenham o quadrado da altura relativa à hipotenusa.

 

4)      Oriente-os a medir o segmento EH no GeoGebra e comparar o resultado com o obtido no item anterior. (Figura 9).

 

 

Figura 9: Altura relativa à hipotenusa

Fonte: Arquivo da autora

 

 

Espera-se, com essa atividade, que os alunos percebam que, ao fazer a comparação, a medida do segmento correspondente a altura (no desenho) é igual ao valor encontrado anteriormente, isto é, igual ao produto das projeções.

Após conferir, por meio da comparação, a relação métrica (h² = m x n), solicite aos alunos que verifiquem as demais relações usando o mesmo procedimento, isto é, fazendo o cálculo algébrico com valores pré-determinados –  no caso anterior 10 cm, 8 cm e 2 cm – e, em seguida, comparando o resultado com a medida do segmento em questão.

 

Ressalte com os alunos que as demais relações métricas no triângulo retângulo são:

1)        a² = b² + c² (Teorema de Pitágoras);

2)        a x h = b x c;

3)        b² = a x m;

4)        c² = a x n.

 

Nessas relações são consideradas:

a: medida da hipotenusa;

b e c: medida dos catetos;

m: medida da projeção de b sobre a hipotenusa;

n: medida da projeção de c sobre a hipotenusa.

 

Peça aos alunos para registrarem os cálculos e para salvarem suas construções realizadas no GeoGebra. A correção dessa atividade servirá para avaliar se os alunos compreenderam o conteúdo e sanar possíveis dúvidas. 

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

 

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 10 jun. 2014

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Além disso, as construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor posteriormente, assim, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

 

Referências

 

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

 

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

 

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.