A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas e trigonométricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H19), são propostos para essa aula os seguintes objetivos:

 

• Trabalhar as razões trigonométricas a partir do software GeoGebra.
• Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas nos triângulos retângulos.

3 horas/aula (50 minutos)

• Noções de razão e proporção.
• Ângulos.
• Semelhança de triângulos.
• Triângulos: elementos e propriedades.
• Definição de cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa.
• Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Professor (a), não é novidade que em um mundo cada vez mais atraente fora da escola, é necessário utilizar diferentes recursos no trabalho escolar, que incentivem os estudantes a se apropriarem dos significados dos conceitos científicos e a buscarem estratégias para melhor trabalhar com os conhecimentos matemáticos adquiridos.

 

Para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o software GeoGebra para auxiliar a visualização das razões trigonométricas nos triângulos retângulos e compreensão dos conceitos seno, cosseno e tangente. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado ao computador com o referido software citado e um laboratório de ensino de informática para que os alunos possam desenvolver a atividade e construir seus próprios conceitos.

 

A atividade será realizada em duplas.

Caso não haja um laboratório disponível, é possível desenvolver a aula utilizando construções com régua e compasso, ressaltando que não será possível visualizar as animações.

 

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o seu download está disponível em: <http://migre.me/jBiaC>, acesso em 14 nov. 2013. Também é possível utilizar este software online, ou seja, sem realizar sua instalação. Para isso, acesse o link <http://migre.me/jBijx>, acesso em 14 nov. 2013.

 

O software GeoGebra- Apresentação

 

Segundo Humberto José Bortolossi(s.d.), o GeoGebra, criado por Markus Hohenwarter, é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem da matemática nos vários níveis de ensino (do básico ao universitário). O GeoGebra reúne recursos de geometria, álgebra, tabelas, gráficos, probabilidade, estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si. Além dos aspectos didáticos, o GeoGebra é uma excelente ferramenta para se criar ilustrações profissionais para serem usadas em outros programas, como no Microsoft Word, no Open Office, no LaTeX, entre outros. Escrito em JAVA e disponível em português, o GeoGebra é multiplataforma (figura 1) e, portanto, ele pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou Mac OS.

 

 

Figura 1- Software GeoGebra

Fonte: Disponível no site http://www.geogebra.im-uff.mat.br/. Acesso em 10 jan 2014.

 

A utilização de softwares de geometria dinâmica pode favorecer a verificação de hipóteses e conjecturas levantadas pelos alunos de maneira mais dinâmica, permitindo-lhes escolher seus próprios caminhos, interagir com outros espaços e seguir o seu próprio ritmo de aprendizagem, o que nem sempre é possibilitado na escola.

 

 

PRIMEIRO MOMENTO - O Triângulo retângulo: seus elementos e relações

 

Mostre aos alunos que o quadrante é um instrumento que foi desenvolvido com base em importantes relações existentes entre medidas de um triângulo retângulo. Vejamos aqui como podemos levar os alunos a investigar e chegar a outras relações além das que já estudaram.

 

Solicite que criem e considerem um triângulo retângulo ABC, reto em Â, conforme a figura 2.

 

Procedimentos:

a)      Trace um segmento de reta AB horizontal ao eixo x ou sobre o próprio (utilize a ferramenta )

b)     Trace uma reta, perpendicular ao segmento AB passando por A (utilize a ferramenta )

c)      Marque um ponto C sobre a reta construída no item acima (utilize o botão a ferramenta )

d)     Construa o triângulo ABC (utilize a ferramenta )

 

 

Figura 2- Construção do triângulo retângulo

Fonte: Arquivo da autora

 

Leve os alunos a prolongar os lados BC e BA do triângulo ABC e traçar segmentos paralelos a AB, obtendo os triângulos  conforme a figura 3.

 

Mostre aos alunos que para prolongar os lados BC e BA do triângulo ABC basta utilizar a ferramenta “Semirreta definida dor dois pontos”   e para traçar segmentos paralelos a AB utiliza-se a ferramenta “Reta Paralela”  .

 

 

Figura 3- Prolongando os lados

 

Fonte: Arquivo da autora

 

 

Figura 4- Prolongando os lados

Fonte: Arquivo da autora

 

Mostre aos alunos a janela de Álgebra e espera-se que observem na figura 4 que

 

Agora questione:

• Porque os lados homólogos desses triângulos são proporcionais?

Espera-se que os alunos respondam que são proporcionais, pois os triângulos retângulos formados  são semelhantes

• Como você justifica essa semelhança? Podemos identificar outras relações?

Espera-se que os alunos respondam que são semelhantes pelo caso AA (Ângulo-ângulo) e justifiquem a resposta mostrando as outras relações existentes:

 

SEGUNDO MOMENTO: Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

 

Mostre aos alunos que eles obtiveram três constantes ao relacionar as medidas dos lados em triângulos retângulos, estas são denominadas, seno, cosseno e tangente (figura 7).

Neste momento mostre e/ou crie a animação que segue.

 

Para que possa animar o segmento de reta AC, deve-se inicialmente construir um seletor (utilizando a ferramenta ), nomeie da forma como desejar, por exemplo, BRINCANDO. Lembre-se de escolher o intervalo conveniente (figura 5).

 

 

Figura 5: Construção do seletor

Fonte: Arquivo da autora

 

Neste momento é possível encontrar as relações de semelhança (figura 6) contidas nos triângulos. Para isso insira um texto utilizando a ferramenta .

 

 

Figura 6- Relações de semelhança

Fonte: Arquivo da autora

 

Faça o mesmo para o cosseno e a tangente (figura 7).

 

Figura 7: Seno, cosseno e tangente

Fonte: Arquivo da autora

 

Os alunos devem conferir os cálculos na calculadora e exemplificar quatro triângulos (semelhantes) a partir da animação feita. Solicite que utilizem uma tabela para auxiliar os trabalhos:

Um exemplo de tabela (1) que pode ser construído é:

 

Tabela 1: Construindo conceitos

Fonte: Arquivo da autora

 

Comentário: É interessante colocar uma coluna com os ângulos e pedir para que comparem com uma calculadora científica, por exemplo.

 

Questione os alunos:

• O que podemos concluir a partir da tabela construída?

Permita que os alunos socializem suas respostas.

 

Enfim, formalizando as ideias espera-se que os alunos concluam que:

 

• Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa.
• Num triângulo retângulo qualquer, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a ele e a medida da hipotenusa.
• Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida do cateto adjacente.

 

Para exemplificar calcule agora com os alunos o seno, cosseno e tangente do ângulo C da figura 8 abaixo:

 

Figura 8: Seno, cosseno e tangente

Fonte: Arquivo da autora

 

          Resposta esperada:

 

Atividades de contextualização

 

Dê exemplos de situações problemas onde o aluno possa utilizar as relações seno, cosseno e tangente.

 

Possíveis exemplos:

Exemplo 1 - Ao levantar voo, um avião sobe formando com a pista um ângulo de 30º. Considerando que o ângulo formado seja contínuo, determine a altura atingida pelo avião ao percorrer 2 km (2000 metros).

Exemplo 2 - Desejam–se esticar uma corda do topo de um mastro até um ponto P distante 40 metros da base do mastro. Sabendo que o ângulo formado entre a superfície e a corda é de 60º, determine o comprimento da corda.

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C. (Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27-36. v. 1.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília: MEC, 1998.

LOPES, Maria Moroni. Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de trigonometria usando o software GeoGebra. Dissertação de mestrado, Natal – RN, 2010.

Projeto Araribá: matemática: ensino fundamental. Editora responsável Juliane Matsubara Barroso. São Paulo: Moderna, 2006.

Ao final da proposta espera-se que o aluno tenha condições de representar geometricamente todas as etapas para encontrar as constantes, seno, cosseno e tangente, desta forma o fechamento da atividade pode ser a resolução das questões do plano de estudo. O processo avaliativo deve ser contínuo, desse modo, sugere-se avaliar o desenvolvimento e o desempenho do aluno por meio de suas produções, por isso, solicite-lhe que salve os arquivos em uma pasta e os comentários no Word.