• Reconhecer padrões em sequências numéricas;
• Analisar o comportamento do gráfico de uma função exponencial;
• Plotar pontos utilizando o software GeoGebra.

• Localização de pontos no plano cartesiano.

Os recursos a serem utilizados são:

• Folhas de papel (preferencialmente rascunhos);
• Material de escrita para os registros;
• Computador (caso o(a) professor(a) opte por complementar a aula utilizando o GeoGebra).

A AULA

Professor(a), instigue a curiosidade dos(as) alunos(as). Como o tema é progressão geométrica, a presente proposta busca mostrar uma forma de introduzir esse tipo de sequência numérica, bem como analisar graficamente seu comportamento, antes mesmo de se sintetizar fórmulas para o termo geral.

Inicialmente, distribua uma folha A4 a cada estudante (se possível usar rascunhos) e proponha entre eles uma disputa par ver quem, independentemente da forma que optar, consiga dobrar mais vezes aquela folha.  

Professor(a), enquanto os alunos fazem a tarefa proposta, é importante circular pela sala, para verificar o modo com o qual estão tentando resolver o desafio. Essa tarefa é importante, para que, quando terminarem, seja possível, a partir da observação,  solicitar que a disputa se restrinja a um tipo de dobra específica (que provavelmente algum deles deve ter feito), no caso, dobrar sempre ao meio a folha e, em seguida, irem contando, a cada etapa, quantos retângulos vão sendo formados. Oriente-os a desdobrarem a folha e contar, antes de tentar a próxima dobradura.

Comentário: Os estudantes perceberão que não conseguirão dobrar indefinidamente o papel. O número de dobras depende do tipo e da espessura da folha

Professor(a), a continuidade do desenvolvimento da atividade pode se dar individualmente ou em grupos. Tendo optado, solicite aos alunos (ou grupos) que façam novas dobraduras e que preencham o seguinte quadro (quadro 1):

Quadro 1: Quadro para preenchimento pelos alunos (ou grupos)

Fonte: arquivo do autor.

O número de linhas do quadro deve ser limitada pela maior quantidade de dobraduras (etapas) que o estudante ou grupo consiga fazer.

Após o preenchimento, os resultados devem ser socializados, tanto em relação ao número de dobraduras, quanto ao número de retângulos obtidos em cada passo. Caso ninguém se manifeste, professor(a), saliente que antes de se dobrar, a quantidade de dobraduras é igual a zero, e o número de retângulos formados é  um, no caso, formado pela folha inteira.

Como a quantidade de dobras não é tão grande, é possível esboçar um plano cartesiano e plotar os pontos do quadro. Esse é o momento é relevante, pois possibilita que estudante visualize a função exponencial, mesmo sem ter conhecimento de sua lei de formação. Esse é o ponto que liga a prática da dobradura com a ideia matemática da situação.

É possível ainda, plotar os pontos com o auxilio do software GeoGebra. Esse programa de computador é voltado para a matemática dinâmica e engloba aspectos de cálculo e geometria e se encontra disponível no site http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/ , acesso em 14 abr. 2014.

Vamos utilizar a planilha eletrônica contida no programa. Observe a figura e siga os passos abaixo:

Figura 1: Exibir planilha

Fonte: Arquivo o autor

No menu “Exibir”, selecione a opção “Planilha” (figura 1). Com a planilha aberta, podemos nomear as primeiras células como “Etapa” na posição de linha 1 coluna A e, “Retângulos” na posição de linha 1 coluna B (figura 2).

Figura 2: Planilha no GeoGebra

Fonte: Arquivo do autor

Comentário: No entanto, essa nomenclatura é apenas sugestão, fica a critério do professor ou dos estudantes optarem pelos nomes, ou até pela ausência dos mesmos.

Posteriormente, preencha as respectivas colunas com os dados obtidos no quadro inicial.

Figura 3: Planilha preenchida

Fonte: Arquivo do autor

A seguir, selecione a tabela preenchida. Para isso, use o mouse e, no caso, clique sobre a célula de linha 2 coluna A, arrastando, e soltando apenas na célula de linha 8 coluna B (figura 3). Para criar a lista de pontos que deverão ser marcados no plano cartesiano, clique com o botão direito sobre a parte selecionada (em azul) e escolha a opção "criar" e, por fim, "lista de pontos". 

Ao clicar nessa opção, o software plotará automaticamente os pontos na janela de visualização (figura 4).

Figura 4: Pontos plotados

Fonte: Arquivo do autor

Observe que, a direita, podem ser visualizados os pares ordenados.

Professor(a), sugerimos que, caso tenha o interesse de utilizar o software, pondere antes sobre os conhecimentos que os estudantes possuem a respeito da construção de gráficos, sobretudo da plotagem de pontos no plano cartesiano utilizando o software GeoGebra, pois assim, é possível determinar se o mais produtivo é utilizar diretamente o GeoGebra, após o preenchimento do quadro, ou a confecção do gráfico em papel usando, por exemplo, o papel quadriculado.

Como sugestão de atividade para que os(as) alunos(as) possam refletir, deixamos as seguintes questões:

• É possível verificar um padrão nessa sequência?
• Tente utilizar esse mesmo padrão para elaborar outra sequência numérica.
• Podemos mudar esse padrão constatado e mesmo assim conseguir obter outras sequências? Dê exemplos e construa os gráficos.

        A ideia é que os(as) estudantes respondam que é possível verificar um padrão na sequência, que está dobrando.

        Espera-se que com esse padrão eles criem outras sequências com termos iniciais diferentes.

        A última questão direciona a proposta para que os(as) alunos(as) mudem o padrão (razão) para obter novas sequências e gráficos. 

Professor(a), como recursos complementares apresentamos abaixo o link para o manual do GeoGebra e, em seguida, uma curiosidade envolvendo a progressão geométrica e uma folha de papel:

Manual do GeoGebra:

Fonte: http://wiki.geogebra.org/pt/Manual:P%C3%A1gina_Principal  Acesso em 14 abr. 2014.

Como chegar a lua com um pedaço de papel?

Fonte: http://www.mundogump.com.br/como-chegar-na-lua-com-um-pedaco-de-papel/Acesso em 14 abr. 2014.

Sugerimos que todo o processo seja avaliado, inclusive o envolvimento dos estudantes nas discussões. No entanto, há pontos que podem facilitar a avaliação como,

• no primeiro momento, observar se todos estão tentando dobraduras;
• no segundo momento, o preenchimento do quadro e
• a plotagem do gráfico e a criação de novas sequências.