A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como desenvolver a habilidade H22, que é utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação, são propostos para essa aula o seguinte objetivo:

·                    Deduzir a regra do cubo da soma e cubo da diferença de dois termos por meio de atividades teóricas e práticas. 

1 hora/aula de 50 minutos

·         Conceitos e definições de área e volume.

·         Quadrado da soma e quadrado da diferença de dois termos. 

Recursos da aula

 

•       Roteiro de atividades ou folha de acompanhamento (Figura 3).

•       Apresentação com Data Show.

 

Professor (a), projete o data show direto na lousa sem o uso da tela de projeção. Desta forma, poderá utilizar a lousa e as imagens ao mesmo tempo.

Proponha três momentos em sala de aula. Num primeiro momento (uma hora-aula) faça a demonstração algébrica do cubo da soma e do cubo da diferença de dois termos individualmente. Já no segundo momento, faça a demonstração geométrica desses produtos, e no terceiro momento atividades avaliativa, individual ou em grupos. 

Metodologicamente, aconselha-se manter a condução das atividades como descrito. Abordaremos nesta proposta apenas os procedimentos previstos no primeiro momento (Demonstração algébrica da regra do cubo da soma e cubo da diferença de dois termos). As demais serão abordadas na aula que compõe esta sequência didática (Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos – Parte 2) disponível no portal do professor.

 

Primeiro momento – revisão e demonstração algébrica do cubo da soma e da diferença de dois termos

 

Neste primeiro momento faça a revisão da regra do quadrado da soma de dois termos (PARTE 1). Logo após, a demonstração algébrica do cubo da soma e diferença de dois termos (PARTE 2).

 

PARTE 1

 

Inicie a aula revisando com os alunos a regra do quadrado da soma de dois termos. Para isso, apresente alguns slides no PowerPoint contendo figuras geométricas e perguntas. Segue os slides:

 

SEQUÊNCIA DE SLIDES: Disponível em http://migre.me/jfubh. (Acesso em 16 maio 2014).

 

 

Figura 1 - Quadrado de lado "a"

Fonte: arquivo da autora

 

·         Qual é a área de um quadrado de lado a?

Espera-se que os alunos respondam com “a⊃2;”, caso isso não ocorra, retome brevemente o conceito de área de um quadrado.

 

·         Como seria o resultado do quadrado da soma de a e b?

Espera-se que os alunos relembrem a regra dizendo: “É um quadrado de lado (a+b). A área do quadrado é (a+b)⊃2; que é a⊃2; + 2ab + b⊃2;”.

 

COMENTÁRIO: Reforce a regra demonstrando geometricamente por meio da figura 2. 

 

Figura 2 - Quadrado da soma de dois termos

Fonte: arquivo da autora

 

Peça aos alunos, que escrevam por extenso e algebricamente, no caderno, a regra do quadrado da soma de dois termos.

                Regra do Quadrado da Soma de dois Termos:

________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________

 

Para dar seguimento às atividades, referentes ao MOMENTO 2, recomenda-se que o roteiro das atividades (Figura 3) seja preparado previamente pelo professor, para que os alunos o preencham nos momentos oportunos. O roteiro também pode ser apresentado aos alunos usando o projetor multimídia ou TV conectados a um computador.

A utilização do roteiro permite ao aluno estar mais atento ao desenvolvimento da aula e, também, a ter mais tempo para desenvolver e registrar o seu raciocínio.

 

Figura 3 - Roteiro de atividades

Fonte: arquivo da autora

 

PARTE 2:

 

(A) Cubo da Soma de Dois Termos

 

Inicie o segundo momento, após a revisão, com a demonstração algébrica onde os alunos terão que construir a regra do cubo da soma de dois termos, por meio de conjecturas, levantadas através de análise de figuras e questionamentos.

Para demonstrar a regra do cubo da soma de dois termos, mostre aos alunos a figura a seguir

 

Figura 4 – Volume

Fonte: arquivo da autora

 

Solicite aos alunos que observem e analisem a figura apresentada e, em seguida, questione-os:

 

·            O que temos nesta figura?

·            Quais as dimensões desse cubo?

·            Qual é a expressão algébrica que permite calcular o volume desse cubo?

·            Observando as questões anteriores, qual é o significado geométrico, da expressão (A+B)⊃3; ?

 

Deixe que eles apresentem individualmente suas observações, anote-as no quadro e, em seguida, peça que as registrem no caderno.

 

COMENTÁRIO: É esperado que os alunos recordem as propriedades do cubo, e que deduzam que a expressão (a+b)⊃3; corresponde à expressão que permite calcular o volume de um cubo de aresta igual a “a + b”.

 

Depois dessa introdução, entregue aos alunos o estudo dirigido (figura 1) e solicite-lhes que respondam às questões de número 1 até 5.

Após a correção, considere o produto notável (a+b)⊃3;, apresentado no roteiro de estudo. Após a leitura de como se lê esse produto (cubo da soma de dois termos) instigue os discentes a, usando o quadrado da soma de dois termos, chegarem ao resultado do produto.

 

COMENTÁRIO: Caso seja necessário, desenvolva com eles a primeira linha e/ou a segunda linha, lembrando da definição de potenciação.

 

. Espera-se que os alunos desenvolvam o produto da seguinte maneira:

(a+b)⊃3; = (a+b).(a+b).(a+b) =

             = (a+b).(a+b)⊃2; =

             = (a+b).(a⊃2;+2ab+b⊃2;) =

             = a⊃3;+2a⊃2;b+ab⊃2;+ba⊃2;+2ab⊃2;+b⊃3; =

             = a⊃3;+3a⊃2;b+3ab⊃2;+b⊃3;.

 

Portanto,

                 (a+b)⊃3;= a⊃3; + 3a⊃2;b + 3ab⊃2; + b⊃3;

 

Para finalizar essa parte, peça aos alunos para registrarem, por extenso, a regra do cubo da soma de dois termos. Em seguida solicite-lhes que leiam o registro para todos ouvirem, socializando o que foi aprendido. Crie com os discentes uma regra coletiva.

 

Regra Esperada:

 

“O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.” 

 

Para fixar o que foi aprendido, apresente a atividade a seguir e corrija-a

 

Atividade

Resolva os produtos notáveis a seguir, a partir da regra originada:

 

1. (x+y)⊃3; =
2. (2a+6b)⊃3; =
3. (ax+b)⊃3; =
4. (7j+3)⊃3; =
5. (5+e)⊃3; =

 

COMENTÁRIO: No momento da correção, permita que alguns alunos socializem suas respostas.

 

(B) Cubo da Diferença de dois termos

Seguindo o roteiro de atividades, peça que os alunos completem o item (B), referente ao cubo da diferença de dois termos. (a-b)⊃3; = (a – b).(a – b).(a – b) =

            = (a – b).(a – b)⊃2; =

            = (a – b).(a⊃2; – 2ab+b⊃2;) =

            = a⊃3; – 2a⊃2;b + ab⊃2; – ba⊃2; + 2ab⊃2; – b⊃3; =

            = a⊃3; – 3a⊃2;b + 3ab⊃2; – b⊃3;           

 

Permitam que os alunos socializem suas respostas e crie com eles uma regra coletiva:

Regra Esperada:

 

“O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.” 

 

Peça para aplicarem a regra do cubo da diferença de dois termos nas potências seguintes:

1. (x – y)⊃3; =
2. (2a – 6b)⊃3; =
3. (ax – b)⊃3; =
4. (7j – 3)⊃3; =
5. (5 – e)⊃3; =

 

Professor (a) chame a atenção dos alunos para a diferença entre as duas regras, que se encontra basicamente no sinal. Assim, solicite-lhes que observem as duas atividades e, em seguida, questione-os:

 

– O que mudou?

Espera-se que respondam que alguns termos mudaram de sinal.

– Quais termos?

Espera-se que respondam “segundo e quarto termos”, que estão relacionados ao produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo e com o cubo do 2º termo.

 

A fim de que os alunos exercitem a diferença entre essas duas expressões, apresente aos alunos a atividade a seguir:

 

Figura 5 – Atividades

Fonte: arquivo da autora

 

Para que os alunos compreendam o significado geométrico desse produto, sugere-se que dê continuidade à aula, por meio da sequência "Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos – Parte 2", disponível no portal do professor.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

Cubo da diferença entre dois termos. Disponível em <http://migre.me/jftYE>. Acesso em 06 maio 2014.

Cubo da soma entre dois termos. Disponível em <http://migre.me/jftZQ>. Acesso em 06 maio 2014.

Produtos notáveis. Disponível em <http://migre.me/jfu1x>. Acesso em 06 maio 2014.

Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra – 2009. Disponível em <http://migre.me/jfu2L>. Acesso em 06 maio 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados tendo como critérios: a motivação, o empenho e a organização na execução das atividades e as atitudes em relação a interação e a cooperação com os colegas. Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que o professor avalie o roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.