A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela, bem como Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano (H9), é proposto para essa aula o seguinte objetivo:

- Compreender o processo de construção do Tangram;

- Construir o conceito de área a partir da utilização do Tangram.

2 horas/aula de 50 minutos

• Construção e identificação de formas geométricas.
• Construção e identificação de diagonais e vértices.
• Construção e identificação de ângulos.

 

Conhecimentos prévios do professor

 

• Tangram: origem, montagem do quadrado, possibilidades metodológicas.

Recursos materiais

• Folha de papel A4 branca.
• Tesoura
• Lápis Lápis para colorir

 

A presente proposta de aula prevê a execução de uma atividade em que o professor montará o Tangram juntamente com os alunos, e a partir daí será realizado um estudo preliminar de área. Nessa proposta, a unidade de medida pré-estabelecida será uma das peças do Tangram.

 

MOMENTO 1: CONSTRUÇÃO DO TANGRAN

 

Divida a sala em grupos de 2 (dois) alunos, pois trabalhando em duplas os alunos tendem a se ajudarem mutuamente durante a atividade.

Para iniciar o assunto, o professor pode propor as seguintes questões para os alunos: 

 

• O que é um Tangram?
• Você já brincou com algum? 

 

Deixe que eles conversem entre si. Após as discussões apresente a história do Tangran e suas peças (Figura 1). 

 

BREVE HISTÓRIA DO TANGRAN

 

O Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês cuja origem se remonta a uma época desconhecida. O livro mais antigo com figuras de tangram data de 1813. Popular na China com os nomes de "quadrado mágico", "tabela da sabedoria" e "tabela da sagacidade", o tangram é composto por sete peças, as quais são o resultado da partição de um quadrado. As sete peças são: 2 (dois) triângulos grandes, 1(um) triângulo médio, 2 (dois) triângulos pequenos, 1 (um) paralelogramo e 1 (um) quadrado. Com esses simples elementos podem-se formar infinitas figuras.

Fonte: Disponível em <http://migre.me/jf7iK>. Acesso em 02 maio 2014.

 

Faça a apresentação de cada uma das peças e suas características. Como sugerimos abaixo:

 

Figura 1: Peças do Tangram

Fonte: arquivo da autora

 

Logo após, inicie a construção do Tangram, para isso entregue a cada aluno as instruções a seguir.

 

COMENTÁRIO: Enfatize a ideia do trabalho coletivo, por isso o estudo, a investigação e as construções deverão ser realizadas juntos com o professor. 

 

Instruções

 

Passo 1: Em uma folha de papel A4, recorte um quadrado e nomeie seus vértices ABCD (Figura 1).

 

Figura 2 - 1º Passo a ser seguido pelo(a) aluno(a) na Construção do Tangram

Fonte: arquivo da autora.

 

Alguns questionamentos podem ser feitos nessa primeira etapa.

– Quantos lados tem um quadrado?

Espera-se que os alunos digam quatro lado.

– Quantos ângulos internos temos em um quadrado? Quais são as medidas desses ângulos?

Espera-se que os alunos respondam que o quadrado possui quatro ângulos internos e que cada um desses quatro ângulos mede 90°.

 

Passo 2: Dobre o quadrado ao meio pelos vértices B e D e destaque com um lápis a linha formada (Figuras 2 e 3).

 

                      Figura 3 – 2º Passo da Construção do Tangram            Figura 4 – Verificação dos ângulos                             

                              

Fonte: arquivo da autora                                                       Fonte: arquivo da autora

 

 

Segue alguns questionamentos que podem ser feitos nessa etapa da construção.

 

– Quando dobramos o quadrado ao meio, quais figuras se formaram?

Espera-se que alguns alunos digam que foram formados dois triângulos.

– O que podemos falar sobre a “linha” destacada no quadrado?

Espera-se que os alunos respondam que a linha em destaque é a diagonal do quadrado e que a diagonal de um quadrado o divide em dois triângulos congruentes.

– O que podemos falar sobre os ângulos dos vértices B e D?

Espera-se que os alunos digam que os ângulos dos vértices B e D foram divididos ao meio. 

 

COMENTÁRIO: Este passo permite explorar o conceito de diagonal de um polígono, que pode ser definido “como o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos”. Com esta informação, os alunos podem concluir, naturalmente, que o quadrado possui duas diagonais. Também, constatar que os ângulos que foram divididos ao meio possuem a mesma medida, pois se sobrepõem e, juntos, formam um ângulo reto. Nesse momento, explorou-se o conceito de bissetriz de um ângulo sem entrar em conceitos formais e pode-se concluiu que a diagonal do quadrado também é bissetriz dos ângulos B e D.

Passo 3: Dobre novamente o quadrado ao meio, mas agora pelos vértices A e C. Faça um vinco apenas na linha que parte de A e encontra a diagonal  já traçada. Ao abrir o quadrado, marque com o lápis essa linha e nomeie o ponto de encontro das diagonais de O. (Figura 5).

 

  Figura 5 - 3º Passo da Construção do Tangram                     Figura 6 – Colorindo as peças

                                              

              Fonte: arquivo da autora                                                            Fonte: arquivo da autora

 

Oriente os alunos a colorirem o novo triângulo formado  de azul escuro e o novo triângulo formado  de vermelho. (Figura 6). Levante algumas questões: 

 

– O que o segmento  representa?

Espera-se que os alunos digam que o segmento  é metade da diagonal do quadrado.

– O que podemos dizer em relação aos segmentos   e   ?

Espera-se que os alunos respondam que  é a metade de  e que são perpendiculares. Caso seja necessário retome com os alunos a ideia de “perpendicular”.

 

COMENTÁRIO: Até aqui, já foram obtidas duas peças do Tangram. Peças 1 e 2 da Figura 1.

 

Passo 4: Dobre de maneira que o vértice C “encontre” o ponto O. Abra e marque a linha de dobra (Figura 7).

 

 

Figura 7 - 4º Passo da Construção do Tangram                             Figura 8 – Colorindo novas peças

                                                                                       

     Fonte: arquivo da autora                                                          Fonte: arquivo da autora

 

Solicite aos alunos para nomear os vértices E e F, e colorir de azul claro o triângulo FOE (Figura 8). Questione:

 

– O que podemos verificar sobre as medidas dos segmentos      e  ? E sobre as medidas dos segmentos   e  ? Como os pontos E e F podem ser chamados?

Espera-se que os alunos observem que as medidas dos segmentos   e   são iguais, bem como as medidas dos segmentos   e  . A partir desse procedimento, também se identificam os pontos E e F como os pontos médios dos lados    e  , respectivamente. Além de concluir que as medidas de  ,  ,   e   são iguais.

 

COMENTÁRIO: Neste passo, obteve-se a peça 3 (Figura 1) do Tangram.

 

Passo 5: Dobre novamente a diagonal   e faça um vinco até o encontro do segmento  . Nomeie o ponto de intersecção G. Marque essa linha de dobra. Dobre, então, de modo que o ponto E toque o ponto O. Vire a dobra entre o ponto G e a diagonal . Abra e marque esse segmento (Figura 9).

 

 

    Figura 9 - 5º Passo da Construção do Tangram         Figura 10 – Colorindo as peças do passo 5

 

                                           

                         Fonte: arquivo da autora                                                    Fonte: arquivo da autora            

       

                              

Solicite que coloram o triângulo que tem os pontos O e G como vértices de rosa claro e o paralelogramo formado de amarelo. (Figura 10).

Nesse passo, pode-se explorar as propriedades dos lados, ângulos e diagonais do paralelogramo.  A seguir seguem algumas sugestões: 

 

– Todo paralelogramo possui quantos vértices? Quantos lados? Quantos ângulos internos? Quantos ângulos externos? Quantas diagonais?

      Espera-se que os lados respondam que todo paralelogramo possui quatro vértices, assim como quatro lados, quatro ângulos internos, quatro ângulos

      externos e duas diagonais.

   – O que podemos dizer sobre os lados e os ângulos de um paralelogramo?

      Espera-se que os alunos digam que os lados opostos de um paralelogramo são iguais e paralelos e, em consequência, tem ângulos opostos congruentes.

 

COMENTÁRIO: Com este passo, foram obtidas as peças 4 e 5 (Figura 1) do Tangram.

 

Passo 6: Para obter as peças que faltam para completar o Tangram, dobre de maneira que o vértice D toque o ponto O. Vinque essa dobra do ponto F até a diagonal   (Figura 11).

 

 

Figura 11 - 6º Passo da Construção do Tangram                 Figura 12 – Colorindo as últimas peças

 

                                                                      

                 Fonte: arquivo da autora                                                                  Fonte: arquivo da autora            

 

                                

Questione os alunos sobre quais peças foram formadas nesse passo e oriente-os a colorir o triângulo de verde e o quadrado de laranja. (Figura 12).

 

COMENTÁRIO: Assim, com as peças 6 e 7 (Figura 1) o Tangram está completo. Nesta última etapa, os alunos podem classificar o triângulo obtido e verificar que o quadrilátero formado é um quadrado. Isso ocorreu por meio da comparação da medida de seus lados e ângulos com dobras nas duas diagonais do quadrilátero.

 

Sugira que os alunos sinalizem com um símbolos como (*), (#), (%), (+) e (●)  as peças obtidas, da seguinte forma: símbolos iguais para figuras congruentes e símbolos diferentes para não congruentes. (Figura 13).

 

Figura 13 – Selecionando peças congruentes

Fonte: arquivo da autora

 

COMENTÁRIO: Caso seja necessário retome com os alunos a ideia de congruência, em que consideramos a semelhança (por sobreposição) ou equivalência de características das peças.

 

MOMENTO 2: NOÇÃO DE ÁREA

 

A próxima parte da aula tem por objetivo desenvolver a noção de área utilizando uma unidade não padronizada: uma das peças do Tangram. No caso, sugere-se utilizar menor triângulo (verde ou rosa claro). Desta forma, as atividades envolvem:

- A verificação, por meio da comparação, de “quantas vezes” ou “quanto cabe” a unidade de medida na figura a ser medida;

- A apresentação de um número para expressar o resultado dessa comparação.

 

Inicialmente, é solicitado aos alunos que “sobreponham” as peças do Tangram utilizando o triângulo verde como unidade e respondam:

 

– Quantos triângulos pequenos cabem em cada peça do Tangram.

Espera-se que os alunos respondam que os triângulos verde e rosa claro são iguais, logo basta apenas um triângulo verde para cobrir o triângulo rosa claro. Já no triângulo azul claro, no paralelogramo amarelo e no quadrado laranja cabem dois triângulos verdes e são necessários quatro triângulos verdes para formar os triângulos azul escuro e vermelho.

 

COMENTÁRIO: Essa comparação faz com que os alunos notem que figuras de formas diferentes podem ter a mesma quantidade de uma figura padrão (unidade padrão) que, posteriormente, quando se usar o quadrado essa quantidade será definida como área. Ela possibilita também aos alunos observarem que figuras com formas semelhantes, como cada um dos três triângulos do Tangram, podem apresentar áreas distintas.

 

Em seguida, deve-se propor atividades de composição e decomposição de figuras, com o objetivo de verificar que mesmo figuras diferentes, possuem a mesma quantidade de unidades padrão. No caso, tendo o triângulo pequeno como unidade.

 

Segue um exemplo do que pode ser trabalhado:

 

1)    Com as peças do Tangram, monte as figuras abaixo, (Figura 14). 

 

Figura 14 – Imagens a serem construídas com o Tangram

Fonte: Disponível em: http://migre.me/jf7m1.

Acesso em 02 maio 2014.

 

2)    Utilizando o menor triângulo do Tangram como unidade de medida, responda:

 

– Quantas unidades são utilizadas nas figuras formadas no exercício 1?

                    Espera-se que os alunos encontrem 16 unidades em todas as figuras, e percebam que as unidades encontradas são iguais, pois em todas as figuras foram

                    utilizadas todas as peças do Tangram, porém em posições diferentes.

 

COMENTÁRIO: Durante a construção do Tangram aproveite para trabalhar conceitos como: segmento de reta, ponto médio, propriedades de triângulos entre outros.

 

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

Recomenda-se, como processo de avaliação, que o professor observe o interesse, a motivação e o envolvimento dos alunos na realização da atividade sugerida e na participação durante as discussões do grupo, pois, conforme apontam os PCN, a participação em grupos representa “uma conquista cognitiva, emocional, moral e social para a criança e um estímulo para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico” (BRASIL, 1997, p. 36).

Pode-se ainda, adotar como critério avaliativo formal o registro individual dos alunos quanto suas respostas nas diferentes etapas da atividade.