A fim de desenvolver as competências da área 2 da Matriz de Referência de Matemática e sua Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como desenvolver a habilidade H22, que é utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação, são propostos para essa aula o seguinte objetivo:

• Deduzir a regra do cubo da soma e do cubo da diferença de dois termos por meio de conceitos geométricos e materiais manipuláveis.

2 horas/aula de 50 minutos

·         Conceitos e definições de área e volume.

·         Quadrado da soma e quadrado da diferença de dois termos. 

Essa aula, como seu próprio título indica, representa a continuidade da aula Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos – Parte 1, disponível no Portal do Professor.

Os sólidos, cubos e paralelepípedos (figura 1) podem ser construídos pelos alunos ou pelo professor.

 

 

Figura 1- Sólidos construídos com cartolina

Fonte: arquivo da autora

 

Para construção, utilize os padrões apresentados em alguns livros didáticos, ou então os modelos seguintes, figura 2 e figura 3.

 

 

Figura 2- Molde de um paralelepípedo

 

Fonte: Disponível em http://migre.me/jd7UQ. Acesso em 16 maio 2014.

 

 

Figura 3- Molde de um cubo

 

Fonte: Disponível em http://migre.me/jd7UQ. Acesso em 16 maio 2014.

 

    

Sugiro que utilize para construção:

• Papel cartão.
• Tesoura.
• Cola.
• Folha de papel A4 colorida (quatro cores diferentes).
• Folha de papel quadriculado (para facilitar os recortes).

 

                 Além disso, serão necessários:

• Roteiro de Estudos ou folha de acompanhamento (Figura 4).
• Apresentação com Data Show.

 

Professor (a), projete o data show direto na lousa sem o uso da tela de projeção. Desta forma, poderá utilizar a lousa e as imagens ao mesmo tempo.

Metodologicamente, aconselha-se manter a condução das atividades como proposto na aula anterior que compõem esta sequência. Vale lembrar que a presente proposta de aula prevê três momentos (de 1 a 3) a serem executadas em momentos distintos. Abordaremos nesta proposta apenas os procedimentos previstos para os momentos 2 e 3 (Demonstração geométrica da regra do cubo da soma de dois termos e aplicações). Ressalta-se que as propostas possuem o mesmo título e são identificadas como Parte 1 e Parte 2.

Recomenda-se que o roteiro das atividades seja preparado previamente pelo professor, para que os alunos possam realizá-las nos momentos oportunos. Além disso, esses roteiros podem ser apresentados aos alunos usando o projetor multimídia ou TV conectada ao computador. Porém, as figuras das atividades devem ser confeccionadas anteriormente pelo docente.

           

Segundo momento - Demonstração geométrica

 

O segundo momento é a demonstração geométrica do cubo da soma de dois termos. Professor(a), entregue a cada aluno um novo roteiro de estudos (Figura 4), para que o mesmo possa acompanhar o desenvolvimento da aula.

            Antes de iniciar as atividades, separe a turma em grupos com três participantes cada.

 

Figura 4- Demonstração geométrica

Fonte: arquivo da autora

 

Entregue também para cada trio os sólidos que serão utilizados na demonstração (figura 5).

 

Figura 5- Momento inicial

Fonte: arquivo da autora

 

            Iniciando as atividades, utilize o material manipulável. Ressalte que, as atividades a serem desenvolvidas nessa aula têm como proposta mostrar, geometricamente, que é válida a igualdade:

(a + b)⊃3; = a⊃3; + 3a⊃2;b + 3ab⊃2; + b⊃3;         (cubo da soma de dois termos)

 

            Para isso, peça aos alunos que separem os dois cubos que lhes foram entregues (figura 6).

 

Figura 6– Cubos

Fonte: arquivo da autora

 

Em seguida, peça que considerem o volume do cubo rosa igual a “a⊃3;” e do cubo azul igual a “b⊃3;”. Questione-os:

 

– Quais são as dimensões do cubo rosa?

– Quais são as dimensões do cubo azul?

 

Permita aos alunos que socializem as respostas e,  se necessário, retome com eles o conceito de dimensão destacando que em um cubo todas as dimensões têm a mesma medida. Após a socialização, peça para preencherem a introdução do roteiro de estudos.

Em seguida,  para preencherem o item (A)  e (B) do roteiro. Questões destacadas a seguir:

 

A)     Compare as dimensões dos cubos rosa e azul com os sólidos a seguir.

 

COMENTÁRIO: Para fazerem a comparação, solicite que manuseiem o material, de modo a perceberem que esses sólidos apresentam dimensões distintas mas, que possuem o mesmo comprimento das dimensões dos cubos, no caso ‘a’ e ‘b’.

 

Figura 7– Paralelepípedos

Fonte: arquivo da autora

 

• Quais as dimensões do sólido amarelo? Represente essas dimensões na figura.
• E do sólido verde? Represente essas dimensões na figura.

 

B)     Qual o volume de cada sólido?

• Rosa:                V = _____________
• Azul:                 V = _____________
• Verde:              V = _____________
• Amarelo:          V = _____________

 

Corrija com os discentes a atividade e em seguida peça para seguir o mesmo procedimento comparando o maior cubo com os cubos menores e solicite-lhes que respondam a parte (C). Corrija as atividades.

 

COMENTÁRIO: Espera-se que no item (C), os alunos cheguem percebam que a aresta do cubo maior é igual à soma das arestas dos cubos menores (rosa e azul) e que seu volume é dado pela potência: (a + b)⊃3;.

Os componentes dos grupos deverão, agora, discutir entre si e preencherem o item (D) do roteiro de estudos.

 

D)     A seguir vários sólidos foram agrupados. Qual o volume dos sólidos abaixo?

 

Apresente o paralelepípedo.

 

Questione:

 

– O que vocês estão vendo? Ou seja, qual o volume desse sólido?

– E agora?

– Considerando agora três paralelepípedos, o que temos?

– Então, qual é o volume desse sólido?

 

Prossiga com o roteiro de estudos:

 

• Some o volume dos sólidos a seguir:

 

Figura 8– Sólidos

Fonte: arquivo da autora

 

V = _______________________________

 

COMENTÁRIO: O aluno, nesse momento deve perceber que para encontrar a soma, basta juntar os valores encontrados anteriormente e, que, não sendo semelhantes, a soma possui 4 termos, cada um referente ao volume de um ou de um grupo de sólidos.

 

Depois de determinar a soma de todos os sólidos, solicite aos alunos que façam a atividade (E) do roteiro de estudos.

 

E) Use o material manipulável para tentar colocar todos esses sólidos no interior do “Cubão” (figura 9). Você conseguiu? O que você pode concluir?

Resposta esperada: Espera-se que os alunos consigam encaixar os sólidos (figura 9) verificando assim, a regra demonstrada algebricamente.

 

Figura 9– Cubão

Fonte: arquivo da autora

 

 

Terceiro momento – Atividade avaliativa

 

O terceiro momento trata-se da aplicação do que foi desenvolvido nos momentos anteriores. Entregue a cada aluno uma folha com atividades a seguir (figura 10).

 

Figura 10– Praticando

Fonte: arquivo da autora

 

Recolha a atividade para corrigir e avaliar se o conteúdo que foi apresentado foi compreendido pelos alunos e também se eles sabem aplicá-lo.

BRASIL.Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

Cubo da diferença entre dois termos. Disponível em <http://migre.me/jf7wz>. Acesso em 06 maio 2014.

Cubo da soma entre dois termos. Disponível em <http://migre.me/jf7xy>. Acesso em 06 maio 2014.

Produtos notáveis. Disponível em <http://migre.me/jf7y8>. Acesso em 06 maio 2014.

Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra – 2009. Disponível em <http://migre.me/jf7yP>. Acesso em 06 maio 2014.

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente. Tenha como critérios para a avaliação: a motivação, o empenho e a organização na execução das atividades, a interação e a cooperação com o outro.  Aconselha-se, inclusive, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula. Sugere-se, ainda, que o professor avalie o roteiro das atividades. Por meio dele, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo. A atividade apresentada no terceiro momento, também pode ser utilizada para avaliação formal.